河北大学高数题库计算题答案

1、(x,y 叫J1(0,1)1xy)lim (1(x,y) (0,1)1yxy)xy(5 分)lim yey 1=e(3 分)2、解:由于2xyy2，故 0xy2x(5分）分）(1 分)x2xy2y(x,y)Hmxy )x2丿y(2=03、解:Ux(1,1,1)2y_x(21,1,1分）1,1,1(2 分)Uz(1,1,1)2y_xz 2lny x(21,1,1分）dudxxdy dz y z分）故 du1,1,1dx 2y(2xute2ssin ycosy。分）5、解：uff2x2yx分）uff(2y)2xy分）2uf2f2f2f2f2 x22x2 2x2y2y-2x2y分）(5(1(1(4分

2、)2f2 f2 f2 f2 fU2 2yr( 2y) 2x 2x(2y)2xy(2分)6解设 F x,y,zx2y2 z2 6zFx2x, Fz 2z 6（2分）zFx2xxFz6 2z(2 分)=262z 2 8x23（46 2z分）7、解令Fx,y,zez xyzFxyz,Fz ez xy（2分）zFxyzxFzze xy(2 分)2y2zez 2xy3z y2z2ez(ez xy)3(4 分)8、解f1exy y2xf2(32 zx yf1exyf1exyxyf11exyx 2yf12 exy y 2x f21exyx 2yf分）分）(52 2 29、解设 F x,y,z z ex y

3、z10、解-f1 yf2x分）2f-xf12 yf1x yf21x f22（5分）(2 分)(3则2 2 2Fxex y z2 2 2g2x, Fyex y zg2y,Fz12 2 2x y z eg2z（6分）2 2 22 2 2故zFx2xex y z2 2 2zJFyx y z2 ye2 2 2xFzx y z1 2zexFz1x y z2ze(211、解f(xy) f (xy) y (x y)x xx分）分）1'i '”-f (xy) - f (xy) yf (xy) xx(x y) y "(X y)(4yf (xy)(x y) y (x y)(2(3分）12

4、、解2f g- yg2分）22 fxgi2 xyg22 g2x y(5分)13、解xf 1(2xxy) f 211一 (y sin x) 2 f 1 ycosxf 2 x(3分）2x y(2f y111 y cos xf 2)=II2( f11(2xyn1y) f 12 一(y sinx) cosxf 2 yII(f21(2xyIIy) f 22 一 (ysin x)ycosx y(4 分)2f''11(2sin xIIII1y cosx) f 12 ysin xcosxf 22 cosxf 2(1分）14、解x3x2f(xy,£ x:zv3yf1 xyf2(3分）4

5、x3 f12xf2x4yf11yf22(5分）15、解xf1(x)f2，(3分）2x yf11(x)f12(x) (y)f21f22(y)。(5分）16、解xf 1y f 2-g'(yJ2)x(3分）2x y(f 1 yy f 2丄yg2(舟)xf 11X12(笃y)y f 1f 21 x22(为丄y y11 xy(5分）分）分）分）分）分）分）分）17、1819、(2 分)20、解x, y, z则 Fx 2x,Fy2y,Fz(2所求切平面在点2,1,4的法向量n4,2,(2故所求切平面方程为法线方程为xydD4584x2y z 60,(2(221dy2xydx(5(2原式=；dxx2

6、 dy0dxy dy(61130D1 (x, y) 0 x 1,0 yx,D2 (x, y) 0 x 1,x y1,emaxx2,y2dxdy= emaxx2,y2dxdy+ emaxx2,y2dxdyDDD2分）分）x2edxdy + ey dxdy = dx exi ydy+ dy e"dxo o(3分）12=xex dx+12yey dy:=e 100（1分）21、解2 31x 2xy 3xy z dxdydzxdx y dy z dz0 0 J 7 0(5D20 0Dix5dx6 .y dy(2分）（1 分）22、解:1364x2 y2dv244 sind d0 0 0g d

7、z(6分）512分）23 、解利用球面坐标系计算(2xdv1r sin0cos2 .r sindr =sinsin 24(4分）2 4 1zdv d d r cosr2sin dr =21 2 区 1 sin 一2 0 4(3(x z)dv（1分）24、解224zdv =zrdrd dzdrdr 2 zdz00r2(5分）1 22464=dr(16 r )dr2 003(3分）25、解 立体在z轴上的投影区域为0,4，平行于xoy平面的平面截立体所得的截面x22y2z , (0 z4），于是(1分）42H(x2y2 z)dv2dz d(r z)rdr0 0 0（6分）4 2256=4 z dz

8、=。03（1分）26、解：令xcost, y sint，则z 2 cost sint，积分曲线C的起点与终点所对应的t的值分 别为t 2 ,t 0。(2分)0?(z y)dx (x z)dy (x y)dz =2(sint cost) 2cos2t 1dtC2(5分)2(1分)27、解 P y ex,Q 2x cosy2 .设L围成的区域为D(2当L相对于D取正向时1dxdy QdxD申1沖3（4分）当1L 相对于D 取负向时1,I -3。（2 分）28、解因为Px2 2y x 2xy2 2 2x yQ y, x, y0,0(2分）又0,0x, yx 2 2y 1 21（3分）所以根据格林公式

9、得xQ y dy x y dx02 2x y(3 分)29、补充直线段Ci : y 0，方向为从点O 0,0到A 2,0分）分）30、分）xe sin yadxdy 22x xay dxxeCi写出L的参数方程:?L x2 y2dsex cos y a dyex cos y a dysin yay dx(5(3ta|cos |2adt22cost，0 t|s int(1(2 分)31、解：记 L(a)为曲线 y asinx,0 x，则分）分）分）分）32、解L(a)= (1Ly3)dx(2x y)dy= 10a3sin3 x (2x asin x)acosxdx4a令 L(a)24a 40，得

10、 a 1 (a1）舍去，又L（1） 8所以,L(a)在 a故所求曲线为y原式=(4Dxy2x1处取得极小值，即为最小值,sin x,043y2x4.61分）分）分）分）4.6133、解zdxdyzdxdy(1 xDxyy)dxdy1dx0x(1 xy)dy1ydzdx xdydz 召34、解 曲面 在xoy面上的投影区域为Dxy (x, y) x2 y2(2分)dS 1 z'2x z'2y、-2dxdy，将积分曲面方程zzds=、x2x2 y2带入被积表达式,y2 、2dxdy(4(1(2(1(5(3(5(32x,(4xy分）"22cos2 d r2dr_ 02（2

11、分）（435、解 易看出（x y）ds 0 （或通过计算得出） 分）用球面坐标写出 的参数方程:22于是1zdsd sin cos d。（400分）36、解 记 P x, y, z x, Qx,y,z y, R x, y,z z，则 P, Q, R在球面 S 及 S所围成的区域V上有连续的偏导数，由高斯公式：xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz。（ 5SV分）4 R3（ 3分）37、 解 已知积分曲面为闭曲，且满足高斯公式的条件，可直接用高斯公式将积分化为三重积分Ix3dydz y3dzdx z3dxdy=3 （x2 y2 z2）dxdydz（4 分）213dd r2 r2sin

12、 dr0 00分）分）分）38、解令S1表示闭区域（2 分）由高斯公式得yzdzdxS S（3 分）按投影法得其中Dxy39、解（3 分）（1 分）原式=Dxy40、解xx2y2 402dxdy、R2由高斯公式:1 dydzyzdzdxSi2（x, y） xy2 2I yzdzdxS S2dxdyyzdzdx 2dxdySizdv2dxdy = 2dxdyS1y2dxdydzdxSir cos r2 sin dr02Dxydxdy（2yzdzdx 2dxdy yzdzdxS12dxdy = 123 dxdyr2 rdr2 （3r2）2（5R33x23y2 3z26 dxdydz（4 分）其中为

13、单位球x2y2 z21，采用球面坐标变换12452 0（4535分）41、解补充曲面0 :z 1x2y21，上侧- xdydz ydzdx zdxdy03dxdydz（4分）21 1=d dr 23rdz030r2（12分）而xdydzydzdxzdxdydxdy 20x2y2 1所以原式2（3分）42、解补充1 : z0 x2y2 R2取下侧，而xdydz ydzdx zdxdy 01在0上利用高斯公式得（3 分）1 1 1 dxdydz（42 R3所以，原式=° xdydz ydzdx zdxdy1分）（1 分）分）43、解lim an 1nann 1 tann ilim3nnt

14、an-3n（544、解InIn aIn分）45、解nnx0nnx(xn)1(3分）x(n(1x 百.(5 分)46、解12 x 3x(x(x分）分）47、解收敛半径limn分）设和函数为分）(2 分)4&解2) (x 1)_2)( x1)n(1anan 1，则S(3limn1,1)1n n 4 丁14n 111 n 4nS1x 1 x 2 x 1 x 2(214x4In(2分）分）分）分）分）49、解anbn1 1N x 41 -21 13彳X 41 -312n0 (n130,1,2,L L )13nf (x)sin nxdx2-1 ( 1)n n4 ,n n0,n1,3,5,L ,2

15、,4,6,L .x ；x 0,nx 43(3n，其中 x 6, 2 .2 ,L ).50、解f (x)2411cos x 2cos3x L2 cos(2k 1)x L ,3(2 k 1)分）(x)(1分）51、解an0,(n0,1,2,L ),分）分）bnf(x)sinnxdx 2( 1)n 1,(n 1,2,3,L ),(2(2(3(3分）52、解:分）(2 分)53、解分）分）分）(2 分)54、解分）f(x)1 12(sinx 2sin2x 3sin3x2xdx(xe2 xdxdx C)x2特征方程为设特解为求得bor22rboxbi1,bi对应的特征方程是两个特征根是也2i ,因此，对

16、应的齐次方程的通解是YL AsinnxC),xc1 cos2x(2 k1),kc2sin 2x，Z)(31)(2(2(2(3(2 分)2i是特征方程的根，所以设非齐次方程的特解为y x( Acos2x Bsin2x)代入原方程得A QB寸，故原方程的通解为 y sin2x qcos2x c2sin 2x。4分)55、解设 y 2y' 3y 0GexC2e3x（3分）设方程y 2y' 3y 3x21的特解为：y* ax2 bx c（2分）可解得：a 1,b4，c1739通解为：y C1ex C2e 3x x2 4 x 17（31239分）56、解设 y 4y 0解得：y C1 c

17、os2x C2sin 2x（3分）令方程y 4y 10cos3x的特解为*y a sin 3x b cos3x（2分）解得：a 0,b2通解为：y C1 cos2x C2 sin2x 2cos3 x（3分）57、 解 原方程可化为y丄y ex.（1x分）根据一阶线性微分方程的求解公式得所求方程的通解为P x dxP x dxdxdx*y eeQ x dx C e xe x e dx C .(4分）1x .1xX c=xe dx Cxe e C .(1xx（2分）58解分）分）因此所求特解为*1xxyxe e 1x特征方程为r2 3r 2 0,r-2,心1对应齐次方程的通解为YGe2x C2ex（3由于f x3xe x,1是特征方程白勺单根，可设*y x AxB e x（2则*ye x Ax2B 2A x B*ye x Ax2B 4A x 2A2B代入原方程得（3 分）59、解分）（2 分）比较系数得A3B*3, yx 3 2 ex3x22故原方程通解为yGe 2x C2e % e x - x23x2特征方程为2 r6r90,r12 3对应齐次方