两次相遇行程问题的基本解法

1、精品文档两次相遇行程问题的基本解法例 1甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两车继续前进， 甲车到达 B 地、乙车到达 A 地后均立即按原路返回， 第二次在距 B 地 60 千米处相遇。求 A、 B 两地间的路程。 分析与解 根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了 3 个全程，第一次相遇距 A 地 80 千米，说明行完一个全程时， 甲行了 8O千米。两车同时出发同时停止，共行了 3 个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了 8× 3240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多 60 千米，所以

2、 A、B 两地间的路程就是：24060180（千米）例 2甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两车继续前进， 甲车到达 B地、乙车到达 A 地后均立即按原路返回， 第二次在距 A 地 60 千米处相遇。求 A、B 两地间的路程。 分析与解根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了 3 个全程，第一次相遇距 A 地 8O千米，说明行完一个全程时， 甲行了 8O千米。两车同时出发同时停止，共行了 3 个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了： 80×324O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少 60 千

3、米，所以 A、B 两地间的路程就是：（24O 6O）÷ 2150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程， 然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。寻找最佳的解题方法有些题目，如果从不同的角度去分析， 就会得到不同的解题方法， 也就是说从多个角度去想就会有多种解法。 这样做可以使思维更开阔， 也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。1欢迎下载精品文档例 某建筑工地， 第一天用 6 辆汽车运沙子， 共运 96 吨，第二天用同样的汽车 12 辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求

4、 12 辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。6÷6×12 9696（吨）解法二：先求出 12 辆是 6 辆的多少倍， 再求 12 辆汽车每天运的吨数， 最后减去 6 辆汽车每天运的吨数。96×（ 12÷ 6） 9696（吨）解法三：先求一辆汽车一天运的吨数， 再求第二天比第一天多几辆车， 这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。96÷ 6×（ 126） 96（吨）答：第二天比第一天多运48 吨。你认为哪种算法最好？我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解

5、法？例 某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210 千克，用去一半后，连桶称还有120 千克，油桶重多少千克？解法一：把 120 千克扩大 2 倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210 千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。120×221030（千克）解法二：先求出半桶豆油的重量，再从 120 千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。120（ 210120） 30（千克）解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。210（ 210×2 120×2） 30（千克）解法四：基本上与解法三相同，也

6、可以说是它的简便算法， 但算理稍有不同。210（ 210120）× 230（千克）解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。（120 210÷2）× 230（千克）答：油桶重 30 千克。我们再来看一道题：李师傅要加工 3080 个零件，他用 4 天加工了 280 个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。2欢迎下载精品文档（3080280）÷（ 280÷4） 40（天）解法二：先求每天加工多少个零件， 再求加工这批零件一共需要多少天， 最后求还需要加工多少天。30

7、80÷（ 280÷4） 4 40（天）解法三：先求这批零件的总数是他 4 天加工零件的多少倍， 再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。4×（ 3080÷280） 4 40（天）解法四：先求还要加工多少个零件， 然后求还加工的零件数是 4 天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。4×（ 3080280）÷ 2840（天）答：加工剩下的零件还需要40 天。一道思考题的三种解法题目是这样的：选择、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9

8、。（1）222220（2）222221（3）222222（4）222223（5）222224（6）222225（7）222226（8）222227（9）222228（10）222229下面向你介绍三种解这道题的方法， 希望你能受到启发， 从而举一反三， 学会解更多的思考题。猜测法，也叫试验法。 它完全是靠边猜测、 边试验的方式求解。 如（1）题，先试 2×2÷2220，后试 2÷22220最后试得 2÷ 2 2÷ 2 2 0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推

9、理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（ 2）题，因为等号右边的 1 比等号左边的 2 小，所以只能在等号左边第一个 2 前面添上减号或者除号。如添上减号，使原题变成 2 2 2 2 3。同理又因 3 2，故可在等号左边第二个 2 的前面添上加号， 使原题变成 2 2 2 1。这时就很容易看出 22÷2。3欢迎下载精品文档 1 了。综合前两步逆推，就得到 22÷2221 的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三种解法。前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急， 慢慢地消化理解， 逐步加以接受。下面请看第三种解法。凑数法，这是一种综合运用知

10、识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（ 3）题，可以让等式左边的 5 个 2 两两相减得 0，剩下的一个 2 当然就和等式右边的 2 相等了，即 2 2 2 2 2 2。从某种意义上说， 它和猜测法有相同的地方， 那就是都要试验， 但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了， 因为你现在的思路宽了， 解题的速度和正确率都会大大提高的。好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。选择适当的运算符号和括号，使下式成立。（1）235712 （2）235714（3）235716 （4）2

11、35718找出等量关系解决复杂应用题同学们在解答较复杂的应用题时， 往往不知从何下手。 如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。 题目 修一多公路，已修和未修长度的比是 1:3 ，再修 300 米后，已修和未修长度的比是 1:2 。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题） 分析与解解法一：这道题的条件是：再修 300 米后，已修和未修长度的比是 1: 2 ，这里隐藏着一个等量关系， 如果抓住这个等量关系， 就可列方程解答。 设已修的长度为 x 米，那么未修的长度为 3x 米。4欢迎下载精品文档利用双向思考解决奥数题早晨小明和爸爸、妈妈

12、一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2 倍少 2O米，比妈妈的 2 倍多 10 米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第 86 页思考题）此题可以用三种方法来解。解法一：画线段图来解。由图可见，小明比妈妈跑的路程长。解法二：用方程解。设小明跑了 100 米，爸爸跑的路程就是 100× 2 20180（米），再设妈妈跑了 x 米，列出方程： 2x10 180 x 85（米）即妈妈跑了 80 米，可见小明比妈妈跑的路程长。解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为 x 米、 y 米、 z 米，根据题意可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：y2x 20y2

13、x 20y2x 10y2x 10（xz）即小明比妈妈跑的路程长。画图法解决奥数难题一个山清水秀的村子里有三个好朋友： 小明、小刚和小强， 他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下。5欢迎下载精品文档休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下 8 条鱼。第二天，他们又合伙到河边打鱼， 才知道昨天

14、分的鱼不合理。 小明立即把剩下的 8 条鱼给小刚 3 条，小强 5 条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？这个问题直接从文字上分析有一定难度， 为了帮助我们理解题意， 启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。由于最后剩的 8 条是小强分的三份中的两份， 所以小强拿走的鱼是 8÷2 条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是 8÷2×3 条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（ 8÷2×3）÷ 2；同样可得知小明拿走的鱼是（ 8÷ 2× 3）÷ 2× 3÷ 2 条。所以打的

15、鱼一共是（ 8÷ 2× 3）÷ 2×3÷ 2×32 7（条）。当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是 8 一条和第二天又拿了 5 条知道，每人平均拿了 8÷25 条，所以打的鱼一共是（ 8÷2 5）× 327（条）。小明、小刚和小强三个伙伴互相关心， 他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说： “我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了 1 个。接着，他又把剩下的给了小强一半， 也同样给小强加

16、了 1 个，最后剩下 5 个山梨，他自己留下了。你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢？可以按照上次的方法，先画出下面的图。然后列出算式：（ 5 l ）× 21 ×2。6欢迎下载精品文档 6 ×21×226（个）答：筐里一共有 26 个山梨。你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来， 对于复杂的题目， 可以根据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系， 也就比较容易列出算式、求出结果。逆向思维的巧妙运用逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来， 用对立的、 看上去似乎不可能的办法解决问题的思维方法。 利用这种思维方法， 可以巧妙地解决一些我们

17、正常思维所不能解决的问题。比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。小远买 1 角钱的邮票和 2 角钱的邮票共 100 张，一共花了 17 元钱。他买了 1 角和 2 角邮票各多少张？解这一题目，假设买来的 100 张都是 2 角邮票，那么总钱数应为： 2×100 200（角） 20（元）。可实际上小远只花了 17 元钱，比假设少 3 元钱，这是因为其中有 1 角钱的邮票。若有一张 1 角邮票，总钱数就相差 1 角。由此可求出 1 角邮票张数为： 3 元 30 角， 30÷130（张）。2 角邮票张数为： 1003070（张）。请你用这种方法算出下面的题目：三年级

18、的 46 名同学去划船，准备了可乘 6 人的船和可乘 4 人的船共 10 只，如果所有的学生恰好分配在这 10 只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？利用周密的推理解决难题解答奥数习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我们要善于挖掘题中所隐含的条件， 把它作为推理的依据， 有次序地进行， 使前面得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。有这样的一道题： 甲、乙、丙三人进行一场田径比赛， 比赛项目有： 100 米、4OO米、 800 米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得5 分、 2分、l 分；乙 800 米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲 22 分，乙、丙各得 9 分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？由题中条件可知：乙800 米赛跑得第一名，乙得5 分；而甲总分是 22，只有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得 22 分，很显然，甲只能是 800 米得第二名， 其余四项均为第一名； 由于参加比赛的只有三人， 每人每项至少能得第三名， 拿 1 分；乙只有除 8OO米外四项都得第三名， 才会获得 9 分（ 5 l 1 1 1）；那么剩下的名次皆为丙的， 即丙除 800 米得第三名外，其余四项都得第二名。如下表所示：总分100 米400 米800 米跳高跳远甲2255255。7欢迎下载精品文档乙91151