考研数学三历真题及答案

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1) 设/= FeOSFO,其导函数在X二O处连续，则几的取值范围是0 rx = 0,(2) 已知曲线y = x3-3a2x + b与X轴相切，则/异可以通过a表示为庆=(3) 设a>0,心“)=严牴“而D表示全平面,则0,其他，1 =/Mg (y-x)dxdy =D(4) 设n维向量 = (d,0,O,)7 V O; E为n阶单位矩阵，矩阵A = E-CLa, , B = E 七一aa' ,U其中A的逆矩阵为B,则a二.(5) 设随机变量X和Y的相关系数为，Z

2、 = X-OA ,则Y与Z的相关系数为(6) 设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,-,Xw为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yll=-±X依概率收敛于.n r-l二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且广(0)存在，则函数S(X) = X(A) 在X二O处左极限不存在.(B)有跳跃间断点X二0.(C)在X二O处右极限不存在.(D)有可去间断点X二0.(2) 设可微函数f(x, y)在点(儿,y°)取得极小值，则下列结论正确的是(A)

3、 f(x0,y)在y = y°处的导数等于零.(B) f(x0,y)在)，=儿处的导数大于零.(C)/(-0,y)在y = y0处的导数小于零.(D) f(x0,y)在y =儿处的导数不存在.(3) 设几=沁玷，f h = 1-,则下列命题正确的是2 2(A) 若£心条件收敛，则£几与£佈都收敛.l-!nl(B) 若绝对收敛，则”与i>“都收敛./!1-!Ml(C) 若条件收敛，则£几与£么敛散性都不定ln-!/1-1(D) 若土心绝对收敛，则£几与敛散性都不定./!1H-Iliab b(4)设三阶矩阵A= ba b,

4、若A的伴随矩阵的秩为1,则必有bb a(A) a二b 或 a+2b=0.(B) a二b 或 a+2b0.(C) abfi a+2b=0.(D) ab 且 a+2b0.(5) 设创。2,，均为n维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数匕、匕、k$,都有kxax + k2a2 + + ksas O ,则 1,2,t线性无关.(B) 若內,色，匕线性相关，则对于任意一组不全为零的数&出、K，都有Zc11 +k2a2 + + R、y = 0.(C) QlG2,匕线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.(D) 创,色，,匕线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)

5、 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A二掷第一次出现正面, A产掷第二次出现正面,舛二正、反面各出现一次,人二正面出现两次,则事件(A)1,a2,a3相互独立.(B)A2M3M4相互独立(C)A1,A2,A3两两独立.(D)A2iA3,A4两两独立.三、(本题满分8分)设试补充定义f (1)使得f (x)在|,1上连续四、(本题满分8分)设f(u, V)具有二阶连续偏导数，且满足 J +J = I,又Olr g(, y) = /XVU2-y2)j 求©+奧五、(本题满分8分)计算二重积分其中积分区域 D=(x,y)-2 + v2 <.六、(本题满分9分)求幕级数1+(-rr(&

6、lt;i)的和函数f(X)及其极值./-I2n七、(本题满分9分)设F (x) =f(x)g(x),其中函数f (x), g (x)在(-,+)内满足以下条件:广(X) = g(x)， g3 = f(x)，且 f (0) =0, /(x) + g(x) = 2ex.求F(X)所满足的一阶微分方程；求出F(x)的表达式.八、(本题满分8分)设函数 f(x)在0, 3上连续,在(0, 3)内可导,且 f(0)+f (l)+f(2)=3, f(3)=l. 试证必存在 (0,3),使,(<f) = 0.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组其中fHo.试讨论1,2-,M和b满足何种关系时，1-

7、1(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型f (Xl,x2,x3) = XTAX = OXy + 2x1 2对 + 2bxlx3(Z? > 0)»中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a, b的值；利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩 阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为F(X)是X的分布函数 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为'1 2、0.3 0.7而Y的

8、概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1) 设Z(X)= CoS-,0,其导函数在=o处连续,则几的取值范围是2>2.【分析】当XHo可直接按公式求导，当X二O时要求用定义求导.【详解】当几>1时，有显然当A>2时，有Iim厂(X) = O =广(O),即其导函数在X二O处连续.x<)(2) 己知曲线y = x5-3a2x + b与X轴相切，则力2可以通过a表示为戸=V .【分析】曲线在切点的斜率为0,即y = o,由此可确定切点的坐标应满足的

9、条 件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到戸与a的关系.【详解】由题设，在切点处有y'= 3 3 = 0 ,有 x = a2.乂在此点y坐标为0，于是有故 Ir =x(32 -Xq)2 =R 44 =46【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.0,其他,(3) 设a>0,.心) = gW =而D表示全平面，则【分析】本题积分区域为全平面，但只有当OxLO,y-xl时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】I = (x)(y - x)dxdy -2 dxdyD0<<1.0<y-x<l= 62&

10、#39; JX£+1 dy = °2 j ( +1)_ XYIX =Za2【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可(4) 设n维向量 = (,0,O,)z v; E为n阶单位矩阵，矩阵A = E-aa1 , B = E + -aa1 , a其中A的逆矩阵为B,则a二 _.【分析】这里为n阶矩阵，而LQ = 2/为数，直接通过AE = E进行计算并 注意利用乘法的结合律即可【详解】由题设，有二 E-aa' + -aal -aal Cta' aa-E-aa1 +-aa1 -aalaal aa*

11、fw二 E -aa +aa -ICIaa-E + (-l - 2a + -)aa1 =E,a于是有 -1-2 +丄=0, BJ 2'+-I=0,解得 a = , = -l.由于 A<0 ,故 a=-1 a2(5) 设随机变量X和Y的相关系数为，若Z = X-0.4,则Y与Z的相关系数为【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为=E(Xy) 一 0.4E(y) - E(Y)E(X) + OAE(Y)=E (XY) E(X)E(Y)=CoV (X, Y),5. DZ = DX.于是有【评注】注意以F运算公式：D(X +a) = DX，CoV(X,Y + ) = cov(X,Y)

12、.(6) 设总体X服从参数为2的指数分布，x1,X2,为来自总体X的简单随机 样本，则当时，Yll=-±xr依概率收敛于丄n r-12【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 1,2-,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平 均值：【详解】这里Xi2,X7,-,Xj满足大数定律的条件，且EX,2=DXr+(EX,)2 = l÷(l)2=l,因此根据大数定律有r =lxf2依概率收敛于-=I-n f-1IJ r-12二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字

13、母填在题后的括号内)(1) 设f()为不恒等于零的奇函数,且厂(0)存在，则函数gd) =竺X(A) 在X二0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点X二0.(C)在X二0处右极限不存在.(D)有可去间断点X二0.D 【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点X二0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然沪0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有Iim R(X) = Iim S = Iim /( V二/)一=厂(0)存在，故x=0为可去间断点.x0x(> Xx0 Jt-O【评注1】本题也可用反例排除，例如f ()=,贝IJ此时g()三 Jl'2&

14、#176;'可排除X 0,x = 0,(A) , (B), (C)三项,故应选(D)【评注 2】Cf(X)在 X = Xo 处连续'则 Iim - -(= A <=> /(a0) = 0,/ '(XO) = A.XTXO X-XO(2) 设可微函数f(, y)在点(心,儿)取得极小值，则下列结论正确的是(A) f(0,y)在，=儿处的导数等于零.(B) /(A0, y)在y = ),°处的导数大于零.(C)f(x0, y)在y =儿处的导数小于零.(D) f(x0, y)在y =儿处的导数不存在.【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即

15、可得结论.【详解】可微函数f(x, y)在点(儿,儿)取得极小值，根据取极值的必要条件知f；(Xi), yo) = O,即/(x0,刃在y = y0处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，/(0,y)在儿处的导数即/(x0,y0);而 f(x, J0)在 X = XO 处的导数即 t,(0, .V0 )【评注2】本题也可用排除法分析，取/(A-,.y) = x2+r»在(0,0)处可微且取得极 小值，并且有/(0,) = y2,可排除(B), (C), (D),故正确选项为(A).(3) 设几=3竝J,f-N, ,7 = i-,则下列命题正确的是2 2(A)

16、若条件收敛,/!1则i> ”与i> ”都收敛 H-I(B) 若£陽绝对收敛,/1-1则i> ”与i> “都收敛 -l/!1(C)若“条件收敛,1则 Pn与N敛散性都不定-li(D)若“绝对收敛,l则i> “与敛散性都不定 -!lB 案.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答【详解】 若工°”绝对收敛，即工|心|收敛，当然也有级数工°”收敛，再根据K-I/!1-)空也，及收敛级数的运算性质知，£几与都收敛，故应选22/1-1M-I.Uhb(4)设三阶矩阵A =b a bb b a(A) a=b 或

17、 a+2b二0(C) aHb 且 a+2b=0.,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有(B) a二b 或 a+2b0.(D) ab 且 a+2b=0.C 【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a, b应满足的条 件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A) =2,故有U b bh a b = (U + 2b)(a -b)2 = O ,即有 + 2? = O 或 a二b.b b a但当a二b时，显然秩(A) 2,故必有a#b且a+2b二0.应选(C).【评注】n (n2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：(5) 设6z1,2, -均为n维向量，下列结论不正确的

18、是(A) 若对于任意一组不全为零的数kltk2y - ,ks,都有kial + k2a2 + + ksas O,则 1,2, -,<2ft 线性无关.(B) 若6，匕，,勺线性相关，则对于任意一组不全为零的数Z出,都有klal +k2a2 + + ksas = 0.(C) QlG2,匕线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.(D) 创,色，,匕线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无 关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数K，都有ka + k2a2 + - + k

19、sas O,则 1,2,j 必线性无关，因为若l,2,-,j线性相关，则 存在一组不全为零的数热虫,匕,使得ArIal +k2a2+ +ksas =0,矛盾.可见(A)成 立.(B) :若SG2,，线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 k,k1、匕,都有 A:Ial + k2a2 + + ksas = 0. (B)不成立.(C) 创心，心线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组创心的 秩为s,则1,2,-,6zv线性无关，因此(C)成立.(D) 2,匕线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线 性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其

20、逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的 数kvk2y ,ks,使得kya +k2a2 + +kias = 0成立，则al,a2, - ias线性相关.其逆否命 题为：若对于任意一组不全为零的数kl,k2i- ,ks,都有kxax +k2a2 + +ksas 0,贝!| 创。2,线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的 等价性.(A) 1,A2M3相互独立.(C) A1M2M3两两独立.(B) A2M3M4相互独立.(D) A2M3M4两两独立.C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独 立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】

21、因为P(Al)=P(A2)=,P(A) =亍，P(Aq)=二,且 P(A1A2) = 4 ' P(AIA3) = :， P(A2A3) = 4 ' P(A2A4) = : P(A1A2A3) = O 4444可见有P(A1A2) = P(A1)P(A2), P(A1A3) = P(A1)P(A3), P(A2A3) = P(A2)P(A3)，P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3), P(A2A4) P(A2)P(A4).故i,A2M3两两独立但不相互独立：A2M3M4不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三、

22、(本题满分8分)设试补充定义f(D使得f ()在|,1上连续.【分析】只需求出极限Iim/(x),然后定义f(l)为此极限值即可.l【详解】因为Iim /M 二 lim丄 + 丄一- 一)一 JXT】-vr x SinZrV ( - x)Z=丄 + 丄 Iim (I-A)-Sin- * (I-X)Sin 加11 .一兀一；TCOSTrV二一+ IIm -vr 一 sin /Tv + (1 x COS2 SinTZX二丄+丄Iim.龙 兀 一 COS x -cos TZX-(I- x) Sin 兀T丄 由于f(x)在1,1)±连续,因此定义2/(D = -使f (x)在丄,1上连续厶【

23、评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的 概念在计算过程中，也可先作变量代换y二l-x,转化为求y0÷的极限，可以适当 简化.四、(本题满分8分)设f(u, V)具有二阶连续偏导数，且满足 H + H = l,又 r g(,y) = kvi(2-y2),求£4 + 孚2x Cy【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：. = <w,v), M = I(-/), 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用窮=爲【详解】Z%=÷2A÷x÷,x' ruv v所以兽+皐曲+小笋+ (宀小孚CXa- OyCIrOV-

24、X2 +y2.【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五. (本题满分8分)计算二重积分 其中积分区域D=（x,y）p2 +f2 %【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：X = rcos,y = rsin<9 ,有=e £rer Sin r2dr.令 = r2,贝9I = Q Sin tdt.记 A = f e! Sin tdt,贝9Jo-（?" Sinr ）-J l Q costdt-f CoStdeTJO二_不 COSr + J Sin tdt二严 +I-A.因此A =丄（1 +厂），2【评注】本题属常规题型，明显地

25、应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为 定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查 了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幕级数1 + （- （x V 1）的和函数f（X）及其极值. W-I2料【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当X二0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值【详解】上式两边从0到X积分，得 由 f(0)=l,得令/3 = 0，求得唯一驻点-0.由于厂(O) = -IVO,可见f(x)在X二O处取得极大值，且极大值为f(O)=l.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接

26、求和的儿 何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数七、(本题满分9分)设F(X)二f (x)g(x),其中函数f (x) J g(x)在(-,+)内满足以下条件：,(x) = g(x)， g,M = f(x)，且 f (0)=0, f(x) + g(x) = 2ex.求F(X)所满足的一阶微分方程；求出F(x)的表达式.【分析】F(X)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(X)求导， 并将其余部分转化为用F(X)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方 程.【详解】由= g2(x) +f2(x)=f +g(x)2-2f (X)8(X)= (2ex)2-

27、2F(x),可见F(X)所满足的一阶微分方程为(2) F(X) = e m j*4e" edxdx + C二宀 J4e% + C二戶+心二将F (0) =f (0)g (0)=0代入上式，得于是【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方 程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本 要求的范围.八、(本题满分8分)设函数 f(x)在0, 3上连续,在(0, 3)内可导，且 f (0)÷f(l)÷f(2)=3, f(3)=l. 试证必存在 e (0,3),使.厂(J) = 0.【分析】根据罗尔定理，只需再证明

28、存在一点C 0,3),使得/(C) = I =/(3),然 后在c, 3上应用罗尔定理即可.条件f(0)÷f(l)÷f(2)=3等价于/2)7(12 /(2)=1,问题转化为1介于f()的最值之间，最终用介值定理可以达到 3目的.【详解】 因为f(x)在0, 3上连续，所以f(x)在0, 2上连续，且在0, 2 上必有最大值M和最小值m,于是In /(0) M ,m /(1) M ,m < /(2) M .故由介值定理知，至少存在一点c e 0,2,使因为f(c)=l=f(3),且f(x)在c,3上连续,在(c, 3)内可导,所以由罗尔定理 知，必存在 (c,3) (

29、0,3),使 f,() = 0.【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两 两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组其中f e 0.试讨论4,°2,4和b满足何种关系时,r-l(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有 列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算 出行列式的值.【

30、详解】方程组的系数行列式= bni(b + jai).当"0时且b + ai0时，秩二n,方程组仅有零解.r-1当b=0时，原方程组的同解方程组为由£卩工0可知，e(f = l,2,n)不全为零.不妨设671 0,得原方程组的一个基础 1解系为1 =（-ZIQ,O）? , G =（-2。丄,O）?,S=（一红OQ,1）1 a 6 6当b = -±a,时，有bH,原方程组的系数矩阵可化为 r-1(将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以一 倍) /1>/-1原方程组的一个基础解系为【评注】本题的难点在b = -jai时的讨论，事实上也可这样分析：

31、此时系数矩 /-1阵的秩为n-l (存在n-l阶子式不为零)，且显然 = (l,l, ,1为方程组的一个非零 解，即可作为基础解系.十、(本题满分13分)设二次型f (1 , x2 , x3 ) = X rAX = ax; + 2xi 2后 + IbxvX3 (“ > 0)，中二次型的矩阵A的待征值之和为1,特征值之积为-12.求a, b的值；利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩 阵.【分析】待征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由 此可求出a, b的值；进一步求出A的待征值和待征向量，并将相同特征值的特征向量 正交化(若有必要)，然

32、后将待征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正 交矩阵.【详解】(1)二次型f的矩阵为设A的特征值为2,-(/ = 1,2,3).由题设，有AI + A9 + 几3 = + 2 + (2) = 19解得 a-l, b- -2.(2) 由矩阵A的特征多项式A-I O -2E - = O 2-2 O =(-2)0 02 00 一3且二次型的标准形为【评注】本题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定:二次型f的矩阵A对应特征多项式为设A的特征值为p2,23,则入=2説2 + =a-Z23 =-(加+庆)由题设得Al + A9 + AJ = 2 + (“ 一 2)=, 解得 a

33、二l,b二2.十一.(本题满分13分)( + 3),-2 O +2得A的特征值A1 = A2 = 2, A3 = 3.对于A =A2 =2,解齐次线性方程组(2E-A)X = 0,得其基础解系 = (2,0,l)r , =2 =(0,l,0)r.对于=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)=0,得基础解系由于5已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将匚°5单位化，由此得= (-,0, ，2 = (0,1,0)r > jt = (；= ,0,)1.令矩阵Q = 71fJifh =230131希02则Q为正交矩阵.在正交变换X二QY下，有QIAQ =设随机变量X的概率密度为F(

34、X)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(X)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求 Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(OF(X)1),再对y分段讨论.【详解】易见，当Xd时，F(x) =0;当x>8时，F(X)二1.对于xl,8,有设G(y)是随机变量Y=F (X)的分布函数.显然，当yv时,G(y)=O;当yAl时, G(y)=l.对于y 0,1),有= PVT-ly = PX (y + l)3= F(y+l)3J = >.0,若y V 0,于是，Y=F(X)的分布函数为Go)=，,若0><l,1,

35、若yl【评注】事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀 分布：当 y0 时，G(y)=O;当沖1时，G(y)=l;当 Oyvl 时，G(y) = PY y = PF(X) < y= PXF-,Cy)= F(F-I (y) = y.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为XA 1 2L(0.3 0.7 J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U二X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率

36、公式，知U=X÷Y的分布函数为=0.3PX + Y uX = + O.7PX + Y uX = 2=o.3Py w- X = i+o.7Py “ 一 2x = 2.由于X和Y独立，可见G(U)= 0.3Pr -1 + 0.7Pr u -2= 0.3F(-l) + 0.7F(-2).由此,得I；的概率密度二 0.3/(“ 一 1) + 0.7/(" - 2).【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离 散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综 合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共6小

37、题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1) 若 Iim -sn A (COSx - /?) = 5 » 则 a -, b =.ao ex - (2) 设函数f(u, y)由关系式f hg(y) , y二x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y) 0,则 =-Ollov 2 ,-1<1 设/(X)=2.2, W1J 1 fx-)d =-1 ,x>-y2(4) 二次型 f(xl.x29x3) = (XI +x2)2 +(x2 -X3)2 +(x3 +X )'的秩为 设随机变量X服从参数为久的指数分布，则PX>DX= 设总体X服从正态分布N

38、(2),总体Y服从正态分布/V(ju2,2)> XX?,X竹和Yj2,冷分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则W_ 巾_为(X 厂 X)+(rf-y) /-17-1+ t2 - 2二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 函数fW= I VlSin(X2在下列哪个区间内有界.X(X I)(X 2)(A) (1 , O).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).J 设于(0在(，+)内有定义，且Iim f(x) = a, g()= /()"°,则i

39、O ,X = O(A) X = 0必是g(0的第一类间断点. (B) X = 0必是g(劝的第二类间断点.(C) X=Q必是g(0的连续点.(D) g(x)在点x=0处的连续性与*的取值有关.设于3 = x(l X),贝IJ(A) x=0是f(X)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f 3的拐点(B) X=O不是f 3的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f x)的拐点(C) . = 0是于(力的极值点，且(0 , 0)是曲线y二f (0的拐点(D) /二0不是f (劝的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (0的拐点(10) 设有下列命题:若(2n-l +%)收敛，则“收敛/1

40、=1n若f>”收敛，则z,+1(K)O收敛.7?=1/1=1若li>l,则发散.,rx UnElYJVn都收敛./1=1OOOC若工(Itn +卩“)收敛，则工IIn » =l=l则以上命题中正确的是(2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).(11)设f(x)在a , b上连续,且广() > O. fr(b) <0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点XOW(Zb),使得f(x0)> f (a).(C)(D)至少存在一点XO (a.b),至少存在一点Xo (,b),至少存在一点XQ ("),使得f(x0)

41、> f (方)使得 () = 0.使得 /()= 0.(14)设随机变量X服从正态分布N(OJ),对给定的 w (OJ),数"满足>ua=a,(12) 设阶矩阵A与3等价，则必有(A)丄I A I= a(a Ho)时， B = a .(B) IAl= a(a Ho)时，IBl= a (C)当AO时,IBI=O.(D)当 IAI=O 时，IBI=O.(13)设阶矩阵A的伴随矩阵AhO,若是非齐次线性方程组AX j的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组/U = 0的基础解系(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量(D)含有三个线性无关的解向量若 Pl

42、 X <x = a9 贝IJx等于(A) Ifa .(B) (C) IlI_a .(D) III_a.2"I三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)(15) (本题满分8分)求 Iim (s. -) v Sin-X Q(16) (本题满分8分)求(>MW+JW,其中Q是由圆F + y2=4和("I)? + /=所围成的 D(17)(本题满分8分)设f 3 , g(x)在3, ZJ上连续，且满平面区域(如图)xf(t)dt ( (t)dt9 X Iay Z?), ihft)dt= bg(t)dt JdJ aJaJa证明：J

43、bf(x)dx bxg (x)dx (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = IOO 5P,其中价格P (0 , 20), Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性Ed(EQ 0)；(II) 推导学= Q(IEd)(其中水为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化UP时， 降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(0.求:(I) s(劝所满足的一阶微分方程；(ID S(0的表达式.(20) (本题满分13分)设 1 =(l,2,0)r, a2 = (l, +2,-3)r, a3 (-l-b-2ia + 2b) f = (1,3-3)r,试讨论当方为何值

44、时，(I) 0不能由1,2,3线性表示；(II) 0可由a、" 唯一地线性表示，并求出表示式；(III) 0可由1,2,3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式(21) (本题满分13分)设“阶矩阵'1 b b、b bA=.：b1丿(I) 求A的特征值和特征向量；(II) 求可逆矩阵P,使得P-XAP为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A, B为两个随机事件,且P(A) = I, P(BIA) = I, P(AIB) =丄，令432求(I) 二维随机变量(X")的概率分布；(ID X与Y的相关系数 PXY ；(川)z = x2÷r2的概率分布.(23

45、) (本题满分13分)设随机变量X的分布函数为其中参数>O>l.设XX2,为来自总体X的简单随机样本,求未知参数0的矩估计量;(II) 当G = I时，求未知参数0的最大似然估计量;(In)当0 = 2时，求未知参数Q的最大似然估计量.2004年考研数学(三)真题解析.填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)若 Iim m A- (COSX - b) = 5 > 则臼二 1 T b =-4.ao ex - a 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题【详解】因为 Iim SIn A (COSX-Z>) = 5 > 且 Iim SinX (

46、COSX-Z>) = O ,所以 o ex aoIim("-) = 0,得目二1.极限化为oIim-(COSX-Z?)= Iim 丄(COSX-Z?) = 1 = 5， 得 5 二 4 o e Cl.vo X因此，a = L Z?二 4.【评注】一般地，已知2 = A,g(x)(1) 若 g(0 0,则 f (Jr) 0；(2) 若 f (00,且力 0,则 g(00. 设函数f (U ,卩)由关系式f l>g(y) , y二X + g(y)确定，其中函数g(y)可微, 且 g(y) 0,则空=-L uv g2(")【分析】令m二Xgy),卩二y,可得到f (U

47、 , V)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 m 二 xg(y), f = y,则 f (U , V) =- + g(V),gW) 所以，££=丄，兰C =兽.011(V) ltv -(V)XgSXV 设 fx) = <22,则 (-IXV =-.-1 ,X-2=2【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：X 1二其再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令 X 1 = tf f(X-)dx = f(t)dt = /(>r2 2 2=21 exdx + ¼-lWx = O + (-l) = -| "Z/Z22【评注】一般地，对于分段

48、函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型 f (xl.x29x3) = (XI +2)2 +(x2 -X3)2 +(-V3 +1)2 的秩为 2 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等 变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为 /(xpx2,x3)=(xl +X2)2 +(j-3)2 +(X3+1)2(2 1 1于是二次型的矩阵为由初等变换得A= 12-1-12、5-12A 03-303-3<03-3>W00U 一1 2 丿从而 NA) = 2,即二次型的秩为2.【详解二】因为/(xpx2,x3) = (xl +x2)2 +(x2

49、 -X3)2 +(x3+xiy)2_ C 232=2)、+ ),2，其中yl = Xl + -X2 + -V3,>,2 = x2 _*3所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X服从参数为2的指数分布，则PX>yDX= 1. e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于DX*, X的分布函数为故P(X > y5x = -Px yfx= -PX lj = i-f = -.Z e【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型. 设总体X服从正态分布N(i,2),总体Y服从正态分布N(z2,2),1,2, -Xni和 "，冷分别是来自总体X和Y

50、的简单随机样本，贝IJWI 2 n2- 2工(X, X)+(r7.-r) E 空Iii + n2 - 2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 £1-Y(X,-X)2J = 2,Y(Ky-F)2J = 2,q - 1 伺fl2 一 1故应填2.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 函数/()= I ylSin-2在下列哪个区间内有界.X(X I)(X 2)(A) (1 , O).(B) (0 , 1).(C) (1 ,

51、2).(D) (2 , 3).A 在心，方)内有界.【分析】如f CY)在(Q , b)内连续,且极限Iinl f(x)与Iim f(x)存在，则函数f (x)+.V"【详解】当-¥0,1,2时，f CY)连续，而Iim /Cv) = - t Iim门无)=一岂2, -+18 XT(T4Iim f (X)=也2 , Iim f(x) = OO , Iim /(x) = S ,xo+4 .vl2所以，函数f (Jr)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (0在闭区间3,方上连续，则f (力在闭区间由，b上有界;如函数f(X)在开区间(a,方)内连续，且

52、极限Iim f(x) - Iim /(a)存在,则 X*xh"函数f (.Y)在开区间(臼，b)内有界(8)设f (力在(，+)内有定义，且Iim f(x) = afg(/Gm 则0 ,x = 0(A) x=0必是g(0的第一类间断点.(B)X二0必是g(劝的第二类间断点.(C) x=0必是g(0的连续点.(D) g(劝在点X二0处的连续性与曰的取值有关.D 【分析】考查极限Iimg(X)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u = -f 0X可将极限Iimg(X)转化为Iim f(x).V0A【详解】因为 Iim g(x) = Iim /() =Iim /(“)= <

53、;2(令”=丄) 乂 g(0) - 0,所以'.v0A0 X uX当自二0时，Iimg(X) = g(0),即g(0在点*二0处连续，当& 0时，X()limg(x)Hg(0),即X=O是gCr)的第一类间断点,因此,g(x)在点X=O处的连续性 .t0与曰的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.设 f 3 = Ar(I X),贝IJ(A) x=0是f (0的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f(X)的拐点(B) x=0不是f 3的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f x)的拐点(C) X= 0是于(劝的极值点，且(0 , 0)是曲线y二f (0