2021年新高考新题型多项选择题专项训练《专题16平面解析几何(2)》(解析版)

1、专题16平面解析几何（2）多项选择题1. （2020?齐宁模拟）设抛物线C：y2 2Px（p 0）的焦点为F ,准线为l , A为C上一点，以F为圆心，|FA |为半径的圆交l于B, D两点.若 ABD 90 ,且 ABF的面积为9阴，则（）A . | BF | 3B. ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为 3D.抛物线C的方程为y22. （2020?兖州区模拟）设椭圆的方程为 24 6x【分析】由题意可得 AB垂直于准线，可得AF BF ,又有圆可得BF AF AB ,可得三角形ABF为等边 三角形，又有面积可得 p的值，进而可得命题的真假.【解答】解：因为|FA|为半径的圆交l于B,

2、D两点，所以FA FB ,若 ABD 90可得FA AB ,所以 可得 ABF为等边三角形，所以 B正确；过F作FC AB交于C ,则C为AB的中点，C的横坐标为 卫，B的横坐标为 卫，所以A的横坐标为：3P ,222代入抛物线可得y2 3p2, 1yA | T3p ,ABF 的面积为 9J3,即:（xA xB）|yA| -1（ 22 2所以抛物线的方程为：y2 6x ,所以D正确3,所以C正确;焦点坐标为：（3, 0）,所以焦点到准线的距离为：2A不正确,此时A的坐标：9 ,所以BF AF AB 9 3 22 2故选：BCD .7 / 17A,1 ,斜率为k的直线不经过原点 O,而且与椭圆相

3、交于B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是 （）A .直线AB与OM垂直B.若点M坐标为（1,1）,则直线方程为2x y 3一1 4C.若直线方程为y x 1,则点M坐标为（二口 3 34D.若直线万程为y x 2,则|AB| -J2 3可以判断A, C选项错误,B选项正确，对于D选项,【分析】根据椭圆中点弦的性质kABjkOM!直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB|,从而判断正误.【解答】解：对于A选项:因为在椭圆中,根据椭圆中点弦的性质kABjkOM1 ,故选项A错误;对于B选项：根据kABkOM所以kAB2,所以直线方程为y2(x1),即 2x y 3 0,故选项B正

4、确;对于C选项：若直线方程为1 4M(3,3),则 kAB I kOM2,所以选项C错误;对于D选项：若直线方程为联立，得到22x(x22)4 0,整理得:3x24x 0 ,解得 x1 0,x2所以301434 23,故选项D正确;故选：BD .3. （2020笛博一模）22已知椭圆 L 1的左、右焦点分别为43m(1）与椭圆相交于A.当m 0时,FAB的面积为V3FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA面积最大D .存在m ,使 FAB的周长最大【分析】通过计算易知A选项正确，根据椭圆的对称性可知，存在FAB为直角三角形，故选项 B错形FBEA面积最大，故C正确，FAB的周长ABAFBF

5、 4aAB AEAF,即直线x m过椭圆的右焦点E时，FAB的周长最大，但是1 m 1,所以不存在 m ,使 FAB的周长最大，故选项 D错误.【解答】解：如图所示:对于 A选项：当 m 0时，|AB| 273 , F( 1,0),FAB的面积为1 273 1 卮故选项 A正确;对于B选项：当m 0时，可以得出 AFE 3当m 1时,AFE 一，根据椭圆的对称性，存在m使FAB 4为直角三角形，故选项 B错误;对于C选项：根据椭圆的对称性可知，当。时,四边形FBEA面积最大，故选项 C正确;FAB 的ABAF BFAB (2a AE) (2 aBE)4a AB AE BE , AEBE/ABA

6、B AE BE10,当AB过点E时取等号,ABAF BF4a AB AE AF4a,即直线x m过椭圆的右焦点 E时，FAB的周长最大,D错误;故选：AC .4. (2020春？t坊月考)已知抛物线x2 2py(p 0)的焦点为F ,过点F的直线l交抛物线于 AB两点,以线段AB为直径的圆交x轴于MN两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是()A.抛物线的方程是x2 2yB.抛物线的准线是 y 1此时直线AB的方程为x m c 1 ,但是1 m 1 ,所以不存在m,使FAB的周长最大，故选项C. sin QMN的最小值是1D .线段A

7、B的最小值是62【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p ,进而得到抛物线方程；判断 A,求出准线方程判断B,求得F(0,1),设A(x , yj , B(x2 , V2),直线l的方程为y kx 1 ,联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得圆 Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值.判断C ,求出距离的最小值判断 D .【解答】解：(1)抛物线C：x2 2py(p 0)的焦点为F(0,-),2得抛物线的准线方程为 y 上，2点点E(t,2)到焦点F的距离等于3,可得2 p 3 ,解得p 2 ,2则抛物线C的方程为x2 4y

8、;所以A不正确；抛物线的准线方程：y 1 ,所以B正确；(2)由题知直线l的斜率存在，F(0,1),设A(x , yj , Bd , V2),直线l的方程为y kx 1 ,由，2奴1 ,消去y得x2 4kx 4 0,x 4y所以 x1 x2 4k , x1x24,所以 y1 y2 k(x1 x2) 2 4k2 2,所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2 1),| ab | y y2 p24k 2 2所以圆Q的半径为r 2k2 2 ,在等月QMN中,2sin QMN|yQ| 2k 1 ,1 11 2 1 -24r 2k 2 2k 2Z 2 2当且仅当k 0时取等号.所以sin QMN的最小值为.

9、所以c正确;2线段AB的最小值是：yi V2 2 4k2 4 >4 ,所以D不正确;故选：BC .225. （2020春?启东市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 x X 1,则（）412A.实轴长为2B.渐近线方程为y73xC.离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【分析】由双曲线的方程可得 a, b的值，求出准线方程与渐近线的方程可得正确答案.【解答】解：由双曲线的方程可得，a24,b212 ,c2a2b216,所以a 2, b2J3 ,c 4,所以A不正确，c_b -所以实轴长2a 4,离心率2,渐近线方程为y -xJ3x,所以B, C正确，aa

10、2因为准线方程为x 1,设渐近线y J3x与渐近线的交点为 A,两个方程联立可得 A（1,T3）,另一条渐 c近线的方程为：麻 y 0,所以A到它的距离为d |网1a J3,所以D不正确.2故选：BC .6. （2019秋?龙岩期末）2 x已知F1 , F2分别为双曲线-2 a2y 1(a 0,b 2b0）的左右焦点，且|E F2 |，点P a为双曲线右支上一点,I为PF1F2的内心，过原点。作PI的平行线交PE于K ,若S1PF1 S1PF2S IF1F2 成立，则下列结论正确的有 （B.C.点I的横坐标为a【分析】设PF1F2的内切圆半径为r,由|PF" IPF2I 2a, |F

11、1F2 |2c ,用PFF2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标；运用三角形相似的性质和双曲线的定义，可得PK的值.【解答】解:IF1F2I 型 a2c2 2a2» r 2 _2c2a-,整理得e e 1 0(e为双曲线的离心率) a28 / 17设PF1F2的内切圆半径为r由双曲线的定义得|PF1 |PF2 | 2a ,IF1F2I 2c,23 / 17SIPF11|PFl|r，SIPF21|PF2|r，SIF1F21|2c（rCr，S，'IPF1 S，IPF2SlF1F2故|PF1| |PF2| a2c12 IP

12、F1 *1515212 IPF2 l|rcr ，1,所以A正确，B错误.设内切圆与PF pf2、F1 F2的切点分别为M , N , T ,故选：ACD .2 X7. （2019秋?岳麓区校级期末） 设椭圆C： 42A.当点P不在x轴上时, PF1F2的周长是B.当点P不在x轴上时, PF1F2面积的最大值为 石可得 |PM | |PN|. |F1M | |FT |, IF2N | 5.由 |PF" IPF2 | |F1M | | F2N | | F1T | |F2T | 2a, |讦2|9| |F2T |2c,可得|F2T | c a ,可得T的坐标为（a,0）,即I的横坐标为a

13、,故C正确；设 PI 延长线与 F1 F2 交于 H ,可得 LPF2J 1FHJ，由 |PF1 | | PF2 | 2a ,IPF1 | | EH |可得 3 21OHJ,由三角形的相似的性质可得 IPKI LPFJ ,IPF1 | IF1H |OH | |HF1 |由可得|PK | a .故D正确.1的左、右焦点分别为E, F2,点P为椭圆C上一动点, 3则下列说法中正确的是（）C.存在点P ,使PF1 PF2D . PFi的取值范围是1 , 3【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证选项的正误即可.【解答】解：由椭圆方程可知， a 2,b J3,从而c Vab2 1 .据椭圆定义，PFi

14、PF2 2a 4,又 F1F2 2c 2 , 所以PF1F2的周长是6, A项正确.设点 P（xo , yo）（y。 0），因为 F1F2 2,yo 则S 因为0 y°4b J3,则PFiFz面积的最大值为 73, B项正确.由图可知，当点 P为椭圆C短轴的一个端点时，F1PF2为最大.此时，PFi PF2 a 2,又 F1F2 2,则PF1F2为正三角形，F1PF2 60 ,所以不存在点 P ,使PF1 PF2 , C项错误.由图可知，当点 P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，此时 PF1 a c 3；当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时 PF1 a c 1 ,所以PF

15、1 1 , 3 , D项正确,故选：ABD .220）的左、右焦点分别为F2,点M在双曲线8. （2019秋?罗庄区期末）已知双曲线与 与1（a 0,ba b的左支上，若2|MFz| 5IMFJ,则双曲线的离心率可以是A. 3B. 73C. 2【分析】由双曲线的定义可得| MF2 | | MF1 | - | MF1122a再根据点M在双曲线的左支上，可得IMF1 | 4a）c a ,从而求得此双曲线的离心率e的最大值.3 /【解答】解：由双曲线的定义可得|MF2| |MF1| 3|MF1|2a根据点M在双曲线的左支上，可得|ME|a ，e双曲线离心率白最大值为 7,观察选项，选项 BCD符合题

16、意. 3故选：BCD .229. (2019秋隔州期末)已知椭圆 C: y- 1的左、右两个焦点分别为 Fi , F2,直线y kx(k 0)与C交 42于A, B两点，AE x轴，垂足为E ,直线BE与C的另一个交点为 P ,则下列结论正确的是 ()A.四边形AF1BF2为平行四边形B.F1PF2 901C.直线BE的斜率为-kD. PAB 902【分析】由椭圆的对称性可判断 A;由b c,以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，可判断B；联立直线y kx和椭圆方程，结合直线的斜率公式可判断C ;求得直线BE的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得P的坐标，由向量的数量积的性质，计算

17、可判断D .【解答】解：直线y kx(k 0)与C交于A, B两点，由椭圆的对称性可得 。为AB的中点，又。为F1F2的中占可得四边形 AF1BF2为平行四边形，故 A正确； 由椭圆方程可得 a 2, b c J2,以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点,F1PF290 ,故B正确;由y kx与椭圆方程 x1 2k 2y2 4联立，可得 A( , 2, 2k ) , B( , 212k12k1 2k21即有 E(T=, 0), kBE ,k,故 C 正确；1 2k22设直线BE的方程为y】k(x-近 联立椭圆方程x2 2y2 4,21 2k2P在圆外，可得2k1 2k22_ 2k22k

18、 x2k21 2k2由Xp21 2k22k21 2k2解得Xp4 6k24 6k2r ,即有 P( 1 2k2 (2 k2)1 2k2(2 k2)2k3可得AB (4一1 2k2二aP (一1 2k21 2k2 (2 k2)4k),1 2k2 (2 k2)即有Ab|Ap216k2Z2 Z 2(1 2 k2 )(2 k2)216k2Z2 Z 2(1 2k2 )(2 k2)0 ,可得ABPAB 90 ,故D错误.可得(1 )xl于故选：ABC .10. （2019秋?胶州市期末）过抛物线 C:y32 一所以|PQ| 6 一 4 一，所以B正确；如图 M在抛物线上， ME垂直于准线交于 E ,可得|

19、 MF | ME |, 3 8x的焦点F且斜率为 善的直线l与抛物线交于 P, Q两点（P在第一象限），以PF , QF为直径的圆分别与 y轴相切于A, B两点，则下列结论正确的是（）2A .抛物线C : y 8x的焦点F坐标为（2,0）B.32 lpQl W 3C. M为抛物线C上的动点,N(2,1),则(|MF| |MN|)mmI AB|再由题意可得 A, B的坐标，进而求出AB的值;D.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标;由题意可得直线 PQ的方程与抛物线联立求出 P, Q的坐标，进而可得 PQ的长度;由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得| MF | |MN |的最小值;然后

20、判断所给命题的真假.【解答】解：由题意可得抛物线的焦点F（2,0）,所以A正确;由题意设直线PQ的方程为：y 石（x 2）,与抛物线联立整理可得：3x2 20x 12 0,解得：x 2或6,4.33代入直线PQ方程可得y分别为：由题意可得 P（6 , 4君），Q（-,3所以 |MF | |MN | | ME | |MN |4 ,当N , M , E三点共线时，|MF | |MN |最小，且最小值为4,所以C不正确;一.-2因为 P(6 , 4肉,Q(,3乎)，所以PF ,QF的中点分别为:3 2拘£所以由题意可得A(0 ， 2肉，B(0,所以|AB| 2石空3逆，所以D正确;33故选

21、：ABD .11. (2019秋？宾州期末)已知双曲线22x yC: 1 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1( 5,0), a bF2(5,0)，则22能使双曲线C的方程为y- 1的是(169、, 5A .离心率为一4C.渐近线方程为3x 4y 0)9B.双曲线过点(5,一)4D.实轴长为4【分析】利用已知条件求出双曲线方程判断选项的正误即可.2【解答】解：双曲线 C:1 a可得c 5 ,如果离心率为：2当 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1( 5,0) , F2(5,0),b225 .可得a 4 ,则b 3,所以，双曲线C的方程为上41691,所以A正确;c 5,双曲线过点

22、(5,9),可得42225 ab2581 解得aT 21a 16b23 ,所以双曲线C的方程为上161,所以B正确;一 b 322c 5 ,渐近线方程为3x 4y0 ,可得9 3 , a b 25 ,解得a 4 , b 3 ,所以双曲线 C的方程为a 4221,所以C正确;16 922c 5,实轴长为4,可得a 2, b J21,双曲线C的方程为 x X 1,所以D不正确;421故选：ABC .12. （2019秋？临沂期末）已知斜率为 73的直线l经过抛物线C:y22 Px（p 0）的焦点F ,与抛物线C交于点A, B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点 D,若|AB| 8,则以下结

23、论正确的是（）11A . 1 B. |AF | 6C. | BD | 2 |BF | D. F 为 AD 中点|AF | |BF|【分析】方法一：由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p ,进一步求出|BF|, |BD |的值，逐一判断四个选项得答案；方法二：利用抛物线的焦点弦公式，即可分别判断答案.【解答】解：方法一：如图，F（E , 0）,直线l的斜率为33,则直线方程为y V3（x上），22得 12x2 20Px 3p2 0.卫62y 2 px联立y 3(x解得：Xa 3P由 |AB| |AF | |BF| Xa Xb所以抛物线方程为 y2 6x.

24、则 |AF | Xa p 2p 6,故 B 正确； 2所以|BF | 2 ,| BD| J-BF-L 4, |BD| 2|BF|,故 C 正确; cos60所以|AF | |DF | 6 ,则F为AD中点.112.幺,故A错误, |AF| |BF| 3方法二：设直线 AB的倾斜角为利用抛物线的焦点弦的性质，由 |AB| -2-pp- 8,则p 3 , sin| AF | -p 6 , | BF | -p 2 ,1 cos1 cos1122，|AF| |BF| p 3,IBB I .在Rt DBB中，cos |，所以|BD | 4 ,因此F为AD中点.|BD|故选：BCD .213.（2019秋

25、？章州期末）设椭圆 C:x- y2 1的左右焦点为Fi , F2 , P是C上的动点，则下列结论正确的 2是（）A . | PFi | IPF2I 2夜B.离心率e 2C. PF1F2面积的最大值为 亚D.以线段F1F2为直径的圆与直线x y 点 0相切【分析】根据椭圆方程求得a , b和c ,根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案.2【解答】解：由椭圆 C: y2 1可知，a 72, b 1, c 1, 2所以左、右焦点为 Fi（ 1,0） , F2（1,0）,根据椭圆的定义| PF1 | | PF2 | 2a 242 ,故A正确；离心率e c且，故b错误； a 21所以APFiF2

26、面积的最大值为-2c b bc 1,故C错误； 22由原点（0,0）到直线x y J2 0的距离d7,1 c,12 12所以以线段F1F2为直径的圆与直线 x y 衣 0相切，故D正确;故选：AD .14.（2019秋？惠州期末）若原点 O到直线l的距离不大于1,则直线l与下列曲线一定有公共点的是（）2 222X 2/22A.yx2B. （x1）y1 C. y 1 D.xyl【分析】原点（0,0）到直线l的距离小于或等于1,故直线l 一定经过圆面x2 y、1内的点，画图可得与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 AC .【解答】解：原点（0,0）到直线l的距离小于或等于1, 故直线l 一定经过圆

27、面x2 y241内的点，如图所示:故与直线l一定有公共点的曲线的序号是AC ,故选：AC .15. （2019秋徵县期末）已知双曲线点，且 |PF1| 2|PF2|,若 sin F1PF2B. e 222xr与1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为E , F2, P为双曲线上一a b15“5,则对双曲线中a, b, c, e的有关结论正确的是（）4C. b 75a【分析】根据余弦定理列方程得出a , c的关系，再计算离心率.|PF1 | 严 | |PF2 | 2a , |PF1 | 4a ,1F1PF2-,42 一 224a16a4c1-,22a4a4【解答】解：由双曲线定义可知：,15 一由

28、 sin F1PF2 ,可住f cos4在PF1F2中，由余弦定理可得： 22解得：与 4或3 6 , a ae c 2 或 #6 . ac 2a 或 c 76av u 22,2乂 1 c a b ,b 43a或b 而a故选：ABCD .222216. （2019秋？城期末）已知万程 mx ny 1 ,其中m n 0,则（）A. mn 0时，方程表示椭圆B . mn 0时，方程表示双曲线C. n 0时，方程表示抛物线D. n m 0时，方程表示焦点在 x轴上的椭圆【分析】由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论.【解答】解：方程mx2 ny2 1 ,其中m2 n2 0,当m 0,

29、n 0时，方程不表示椭圆，故 A错；当mn 0时，方程表示双曲线，故 B对；当n 0时，mx2 1, m 0 ,方程表示两条直线； m0时，不表示任何图象，故 C错;n m 0时，方程表示焦点在 x轴上的椭圆，故 D对.故选：BD .2 Px（p 0）的焦点为F ,准线为l .设l17. （2019秋?枣庄期末）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C:y2EPF的外角平分线交x轴于点Q ,与x轴的交点为K , P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E ,过Q作QM PE于M ,过Q作QN PE交线段EP的延长线于点 N ,则（）EQ 耳A . I PE I |PF IB. |PF | |QF

30、 |C. |PN |IMF ID . I PN I IKF I【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得A正确；角平分线性质及平行线的性质可得BD正确;正确；由平行四边形的性质及直角三角形中边长的关系可得 假设C正确得到角PFQ为定值，而由题意可得 P为动点，所以C不正确.IPF I IPE I,即 A正确;【解答】解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得PQ为 EPF的外角平分线，所以FPQ NPQ ,又 EP/FQ ,所以 NPQ PQF ,所以 FPQ PQF ,所以 I PF I IQF I ,所以B正确;连接EF ,由上面可得:PE PFQFPE/FQ ,所以四边形EFQP为平行四边形,所以 EF PQ ,EF /PQ所以 EFK PQFEFK中，KF EF cos EFKPQN 中，PN PQlcos QPN所以FK PN ;所以D正确;C 中，若 PN MF ,而 PM PN ,所以M是PF的中点，PMPF ,所以 PQ FQ ,由上面可知 PQF为等边三角形，即 PFQ 60 ,而P为抛物线上任意一点，所以PFQ不一定为60 ,所以C不正确;故选：ABD .Ep /a2X 918. （2019秋？临沂期