第五章电磁波的辐射

1、授课主要内容备注第五章电磁波的辐射上一章讨论了电磁波在空间的传播规律，但尚未解决电磁波是怎样产生的？电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如：无线电波是由发射天线上的交变电流辐射出来的，本章讨论咼频父变电流辐射电磁波的规律。严格说来，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用的。天线电流激发电磁场，而电磁场发过来作用到天线电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也是 个边值问题。 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用天线外表上的边界条件，同时确定空间中的电磁波形式和天线上的电流分布。这种问题的求解 般是比较复杂的，对此我们不准备作深入探讨，而仅局限于讨论由天线上给定电流分布如何计算辐

2、射电磁波的问题。和恒疋场情形 样，当考虑由电何电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到 般变化电磁场情况，然后通过势来解决辐射问题。第一节电磁场的矢势和标势对静电场和静磁场，当考虑电荷、电流分布激发电磁场时，引入势的概念是比较方便的，对父变的电磁场也是如此，只不过势的定义与静电静磁情况有所不同一.非恒定情况下电磁场的势1、真空中的麦克斯韦方程组为简单计，讨论真空情况下的电磁场。麦氏方程组为E B , H D J ( Jf)t tfD ( f ), B 0电磁性质方程 D oE, BoH ,2、电磁场的势(1)矢势Bo磁场仍是无源场，B 0，与静磁场

3、样。尽管两种情况下B的旋度不同，由于磁场仍是无源场，故可引入矢势A,BA,与静电场不同的是，两者是时间与空间的函数。与静磁场相同。A的物理意义是任意时刻 A的环路积分等于该时刻通过回路的磁通量。(2)标势电场E的特性与静电场不同 ，静电场是有源的 E,无旋的E 0。0现在，在一般E青况下电场是有源A( A) E所有旋的E B，因而不可能用 0t单一的标势来描写。由于电场还 与磁场有关，因而应该把电场与磁场合在一起考虑。由于E A是无旋场，可引标势t 1ct由于EA是无旋场，可引标势，满足E A ,tt故E A汪意：,B A t(1) 由于 E不是单由确定，还要矢势 A。因而 已不再与势能联系，

4、 频电路中电压也失去确定的意义。此时相应的称为电磁场的矢势与标势。(2) 此结果已把静电场，静磁场作为特殊情况包含在其中。在高乙标准变换和标准不变性(1 )标准变换和标准不变性给定一组 和A，可确定唯一的一组E和B，但给定 E和BA,与之对应的当作变换3 T V = VI Y应 k = W (Jf + VV) =Vx X = 3为任意标量函数)不唯一。设由给定的一组和A可得到E A , b即，如果在矢势A ' (A )A上加任意标量函数 的梯度，同时在标势上减去，那么B、保持不变。变换AA，)称为一种标准。在称为势的标准变换，每一组(t经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性的可观测的物

5、理量为E、而不同的标准又 对应着同一的 E和B，因此如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的标准无关。变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为标准不变性。不仅在电磁相互作用中，而且在其他根本相互作用，包括弱相互作用和强相互作用中，决定相互作用形式的一条根本原理。传递这些作用的场称为标准场。电磁场是 人们最熟知的一种标准场。由于A和的这种任意性，需要对它加上限制条件。数学上来说，标准变换的自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出了 A的旋度，而没有给出 A的散度。为了确定 A，还 必须给定它的散度。电磁场 E 和B本身对 A的散度没有任何限制。因此，作为确定势的辅助条件，

6、我们可以取 A为任意值。每一种选择对应一种标准。采用适当的辅助条件可以 使根本方程和计算简化， 而且物理意义也较明显。 静磁场情况下， 对A也是加了限制条件A 0的，限制条件不唯一。(2)常用两种标准：库仑标准辅助条件为：A0当势作标准标准不变性是这种标准下 A是无源的，电场的表达式为式中的第二项 是无源场横场，而第一项 为无旋场纵场。这种标准的tA特点是E的纵场1 全由 来描述，而横场局部由 A描述，A项不含纵场局部。项对应库伦场， 对应感应电场。这种划分对于讨论某些问题是很方便的。t洛仑兹标准辅助条件为：C20采用这种标准时，势的根本方程化为特别简单的对称形式，其物理意义也特别明显。 因这

7、种标准在根本理论研究以及解决实际辐射问题中特别方便。此，三、达朗贝尔方程 由麦氏方程组出发，使用洛仑兹标准，可得到程和满足的微分方程一一达朗贝尔方1、A满足的微分方程达朗贝尔方程D 由H DJ对真空tB 0 0 Et oJ代入得到(A)0 J 0 0 ( A )0 0 0 t t2=oJ 12 12 22A=0 J c2 t c2 t2由矢量分析可得2A ( A) 2 A上两式相等可得oJ 0 0 t 0 0 t ( At)1A221 22 ai(A 12c2 t )oJ1C考考虑到洛仑兹标准限制条件C2 t得到 2 A 12 2AoJct2满足的微分方程达朗贝尔方程由D，D oE得到EA把E

8、 A代入，得t由洛仑兹标准限制条0A1 A C2 t件故2C12 t t Ct这两个方程22A 12 2AC2 tC2 t 012 Ct 称为达朗贝尔方程。由此可看出， 使用洛仑兹标准的好处： 的，都是非齐次波动方程。A 和 满足的方程是对称 J 产生 A 的波动， 产生 的波动，离开电荷分布区域时 0, J 0 矢势、标势都以波动形式在空间传播，由它们导出的电磁场 动形式在空间中传播。当然E、 B的波动性质是和标准无关的也。以波 1在洛仑兹标准下，达朗贝尔方程及洛仑兹条 件学根本方程组取代麦氏方程组及D 0E， B 0HA 12 是用势来表述的电动力C2t C tE、 B求出 A 和 后可求

9、出 假设采用库伦标准那么可得到2 A A22C1 J ，2 2 0 J ，2 2 0Ct A 0 ，这个条件是前提，不要忘了假设 ,J 0 ，称之为受迫波动方程。 等式右边的项等于作用项。 受迫振动然后向外传播。 电 荷激发电场， 电流激发磁场， 两者相互激发， 由近及远传播， 没有电荷电流处仍有电磁场， 不过是以电磁波的形式传播。矢势、标势可以分开研究，但麦克斯韦方程组是电场与磁场搅在一起的。例题分析了两种标准的优缺点第二节 这一节的任务是求解达朗贝尔方程，得到其解 入手，要研究特殊的，利用线性叠加原理。推迟势、达朗贝尔方程的解矢势和标势方程的形式类似，都依赖于各自的源1212 2c2 t标

10、势满足的方程是2电荷密，(x,t)为t时刻x处(x,t )(x ,t )c dV (尝试解)，4 or证明:1 2 (x ,t cr)(2c12 t2)(x,t J其中(2c12 t2)ct(x,t r ) c rx ,t rx ,t r c利用2 1 r r1r1、A的表达式。我们不从一般 的时刻的)x考虑标势满足的方程。2 o其中(幼为t电磁场的标势。可以证明的解为其中r x x为源点x与场点x的距离。(x,t r)中的t r称为函数的宗量，表征是由多个自变量组成的，随着c远处传播。x， t增大，向22)rcdV41 0( 2(x,t r )c22x/crrr我们得到ct1 1x ,tr

11、c rrt 2 (x, tc r t ccr)x ,t1 r2r，t cc2r t2x ,t21x,tr rrx ,tx ,tcr3，r r3 rrct2x ,t r cx,t crcrtct r 1 c c r同理cx ,t r1 r 1 t r r c c r1trrcc r ，x ,tr1 r r2x ,t cc1 11 r r 2 r tt112cccrr2 2t crr cc 12 trr2c而2t2故,t(2t rc2122ctx，trx, 1cr4 x xx ,trc13 r c 2rr c4 x x x ,tc12 t2 )ct因此，x, t1ct ctrr Lc r c22c

12、r40r c x ,t r c4ocr 2 r2cr12crx ,t rx ,tr4 x x x,t dVx ,t r确是关于 的达朗贝尔方程的解。c dV r同理，关于A的达朗贝尔方程的解 A x,t 40 为1由电,A称为推迟势。荷守恒定律可验证上面的和A满足洛仑兹条件 A 12 c2 tx,t40J x,tC dVA x, tr11 t) crrJ(x ,t r c1 1 J( x ,t )1对x作用为零1 c r r (t r ) c (t c)dVJ (x,t cr)利用cr代入上式中得1 J(x,t r ) J(x ,t rc(XdvJ(x,tC)dV J(x，tC) dS 0(所

13、以上式J没有dS法向分量),t 400 1 J(x ,tcr) t不变1 J(x，t ) r 11 c (t r ) 1 r (t r )cJ(x,t r ) 1c(1r)dVcc r r(t )t不变dV1 J (x,t r)4r由电荷守恒定律t上式可得012 (1 2 +c t14 t r c0 1 (x , t r )dV ) c t 4 r c:即验证了其满足洛伦兹标准条件。A有了，A，可得到E， B，( B(x,t r )dVE A)t二、推迟势的物理意义为什么称达朗贝尔方程的解为推迟势呢?t时刻空间点 x处的 和A(因而E和B )是由t r时刻x处的 和J激发的， 因而c是由电荷电

14、流分布区域V中不同点在不同时刻所激发的，这是立足于场点。如果立足于源r点，x处t时刻的 和J，它将在x激发出t时刻的势。 这说明，电磁作用不是超距的， 有一定的传播速度一一光速。相互作用是以有限速度传播的。第三节电偶极辐射电磁波是由运动电荷辐射出来的。这一节讨论分布在小范围内的电荷以远小于光速的 速度 运动时在远处辐射的场。 电偶极辐射是最根本的一种辐射， 它在宏观无线电辐射和微观 带电 粒子辐射中都占重要地位。、计算辐射场的一般公式设空间某区域中，电流密度J以一定的频率振荡，Jx,t Jxe 11其中波数为k因此Ax4reikr是推迟作用因子，表示电磁波由x'传到x时有位相滞后eik

15、r，求出A后由(E(x,t) E(x)e积分，因为由真空中的麦氏方程组，在BA可得磁感应强度，至于电场，不必再由 电荷电流分布区域外面，c ic因而EcB ic c B ic B ik总之，在这种情况下，由矢势 A可完全确定电磁场 B、E。二、矢势的展开式现在的任务是对3.4式做级数展开，象在“磁多极矩 尺度，电荷分布区域的线度I， x'I节所做过的。该式涉及三2c2E， 激发的电磁波的波长，k 电荷电流到观察点场点的距离此时仍有三种不同的区域1 近区rk 1， eikr 1，场近似为静电场。恒定场2 感应区r3 远区辐射区r我们仅讨论r l的情况，即讨论局限在小范围其线度远小于波长

16、的电流 分布在远处距 电流分布区域的距离 r远大于波长产生势的情况。矢量,AX)表达式中被积函数为，其中p是电流分布区域关于原点的电偶 极J(x)eikj(x)eik(R nx)rR n x取原点在x，各取至多少级的近似？我们说，分子中nx的作用比分母电流分 作用更重要，指数位上的表达式不能随意展开省略。因而分母中Rnx近似取为布区域V'内，以RikRe展开中分子分母都有 ikR RJ(x)eik(R nx) J(x)表观察点到原点距离R x，取n为x方向单位R中n x R，而对分子做级数展开因而A(x)0eJ(x) 1 ikn x4RidV三、电偶极辐射A( x)展开式中第一项 A(

17、x)0eikRJ(x )dV'4R由第一章习题 5可知J(x)dV ' dP4Re i t，把时间因子加上去，就可以理解了。 下面，要由 开时，只对分子取了最初级的dt0eikR矩。因此 A( x) 0 P，它表示由振荡电偶极矩产生的 辐射。这里没有写出时间因子近似R作用在分子的 eikR上，(eikR4RA计算B、 E，因此要用算子 对A作用。注意， 我们前面对 A做级数展n x R，因而算子 无须作用 在分母R上，仅需0 eikR P (对P无作用，ikR ikR R ike dRikB0 eikR n P 4R由此可以看出的作用等价于下述代换:ikn，而由于 J(x

18、9;,t) J(x')e i t， A(x,t)ikR de e因为 P P(t) ) 4RikRikne所以i，或i tt而上式中的k为k 0 0c0 0 eikRn4ReikR ()n P1 ikn x Rn x4 oRc3 ick ikR eB k ikn B cn B cB n2 (P n) n4 o Rc2方向为极轴，辐射出来的电磁波是横波TEM 如果 把坐标原点取在电荷电流分布区域内并以 那么B沿纬线上振荡E沿经线上振荡B1 3 P4 oRc3ikR . e sin e4 oRc2ikR e sin e0由于电荷分布在场点处教材上的电场线与磁场线都是闭合的 为零四、辐射能流

19、角分布S E HP si n2cos2(KR t)n22 2 5160 R c2S 1 2 2 3-2So 32 2 o R2c3sin n我们需要注意的是，前面我们采用的是复数的形式iKR其实部，此时考虑时，应考虑时间因子e i t)辐eiKR，现在要采用余弦表示即射功率为P r S dSP232 2 oc3 sin2 dP2322 3 sin3 d d32 2 oc3 o o4 o c3 与球的半径无关，这就保证电磁能量可以传到任意远处。由于电场，磁场大小都与 1成正比，因而能流与R112成正比，对球面积分后，总功率假设保证p的振幅不变，那么辐射正比于频率的四次方。频率变高时，辐射功率迅速

20、增大，源于下式：设 p poe i t24Ppo12 oc3在实际应用中， 无线电用的载波频率高，用于载荷频率较低的声音等信号，通过调幅等将电波内容下载出来。这种现象称为光波面上每一点惠更斯原理可由2 k20使用格林函数方法可第四节电磁波的衍射简介电磁波在传播中遇到障碍物或透过屏幕上的小孔时会改变原来的传播方向， 电磁波的衍射。 光是电磁波的一种， 光学中衍射理论的根底是惠更斯原理： 都可以看作次级光源，它们发射出子波。这些子波迭加后得到向前传播的光波。 电动力学理论导出。推导的思想是，电场 E磁场B的任意直角分量都满足亥姆霍兹方程： 衍射问题实质是电磁波的边值问题，而边值问题解法之一是格林函

21、数法。得到基尔霍夫公式。基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。第五节电磁场的张量、有电磁场时的动量守恒定律电磁场具有能量，但能量只是物质的一种属性，还应该考虑电磁场的动量。运动的物质 具有动量。电磁场有物质性，因而也有动量。 通过电磁场对电荷电流的作用，根据能量守恒 定律来描述电磁场的能量。动量也采用类似的方法。根据动量守恒定律来描述电磁场的动量。当研究某一区域内的动量时，仔细区分一下， 这里的动量应有两个方面：一是电荷电流系统 的动量，二是电磁场本身的动量。动量守恒定律是迄今为止，自然界最为精准的定律之一。带电体系的动量变化，应对应 有电磁场的动量的变化。电磁场的动量要能用电场磁场等场量来表示

22、。某一区域内电荷电流系统的动量的变化率与电磁场的动量的变化率之和， 入区域内的动量。这就是有电磁场时动量守恒定律的形式。洛仑兹力公式给出电荷系统受到电磁场的作用力的力密度单位体积的力 化率，因而力密度等于动量密度的时间变化率下面把应等于单位时 间内从界面流f E J B，而力等于动量变H1f用电磁场表示出来，即把真空B D J 0 E J0t 0t,J用电磁场表示出来h丄“df生，%a4 =£()( ( Vx / )X 豪Eo 其中E B E B E B ( E B) E E (利用E B) t t t t t将上式和 B 0因而 f 0 E E 10B B 10 B B 0 t(E

23、 B) 0E代入1式得(1)11f g f g f g gE22E E 2 E E 2 E E 2 EI .23)0 E E B B B B故 E E E E 1 E 2 因此 E E E E E E E E 1 E2 fg f g f g，EE E E E E0 (E B) (2) 00 fgEE 1IE 212 同理2B B B B BBIB 2代入2式得1 21IE22BB1 21IB220tE BoEE o BB 2I oE2 1o B如果令g oE B2 oEA B2T oEE BB I1oo 2，当电o要注意这不是推理出来的， 这么选取的原因为：这种假设最简单朴素的物理思想 磁场为