高等数学：3-7 曲率

1、1第七节第七节 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径小结小结 思考题思考题 作业作业(curvature)(arc element)第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用2曲曲 率率一、弧微分一、弧微分 为了得出曲线为了得出曲线 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先先计算弧长函数计算弧长函数s(x)对对x的微分的微分,称为弧微分称为弧微分.000(,)Mxy,),(为任意一点为任意一点yxM,)2(sAM ,取正号取正号s 规定规定., 取负号取负号相反时相反时 s 设函数设函数 f (x)在区间在区间(a,

2、b)内内具有连续导数具有连续导数.基点基点:(1) 曲线的正向与曲线的正向与x增大的方向一致增大的方向一致;当当AM 的方向与的方向与曲线正向一致时曲线正向一致时,xyOsxM0 x0M00(,),A xy或或3)(xss 单调增函数单调增函数.),(yyxxM 设设如图，如图，曲曲 率率, xx 的的增增量量设设对对应应于于, s sMM 0 MM0MM 于是于是 2xs2 xMM 2)( x 2MM|MM 2|MM 2 MM|MM 222)()()(xyx 2 MM|MM 21xy弧弧 s的增量为的增量为那末那末xyOsxM0 x0Mxx M s x y 4曲曲 率率 xs2 xs2 MM

3、|MM 21xy0 x令令取极限取极限,MM 221|xyMMMM|limMMMMMM 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 为单调增函数为单调增函数,xyOsxM0 x0Mxx M s x y 5如将如将.)d()d(d22yxs 则则如如曲曲线线),(yxx ,d)(dttx .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 s曲曲 率率xysd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )( 可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以

4、极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程xd写到根式内写到根式内,得得6是描述曲线局部性质是描述曲线局部性质(弯曲程度弯曲程度)的量的量.弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大越大转角相同弧段转角相同弧段越短越短1. 曲率的定义曲率的定义曲曲 率率曲率曲率转角转角越大越大弯曲程度大弯曲程度大二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式1M2M3M1 2 1S 2S 1M2M1N2N 1S 2S 7sK 设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点MMM 定义定义sKs 0lim曲线曲线C 在点在点M处的曲率处的曲率为为sssddlim0 在在.ddsK 曲曲 率率,sMM

5、. 切切线线转转角角为为（的的弧弧段段MM 平均曲率平均曲率为为存在的条件下存在的条件下,xyOss C 0MMM 82. 曲率的计算公式曲率的计算公式(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany d.)1(232yyK ,arctan y 有有.d1d2xys 由由注注,ddsK 曲曲 率率xy d 211y 9 ),(),(tytx 设设.)()()()()()(2322ttttttK ,)()(ddttxy .)()()()()(dd3

6、22tttttxy ,)1(|232yyK 曲曲 率率二阶可导二阶可导,由公式由公式10例例?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(1 2232baxaK 显然显然,2时时当当abx )44,2(2aacbab 又又232)1(|yyK 曲曲 率率为抛物线的顶点为抛物线的顶点, 抛物线在顶点处的曲率最大抛物线在顶点处的曲率最大.K最大最大.11定义定义D 曲曲 率率.1 KDM(circle of curvature)三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径使使曲率圆曲率圆. .曲率中心曲率中心, ,曲率半径曲率半径. .设曲线设曲

7、线 y = f (x) 在点在点M(x, y)处的曲率为处的曲率为K (K 0).在点在点M处的曲线的法线上处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点D,以以D为圆心为圆心, 为半径作圆为半径作圆(如图如图). 称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点M处的处的xyO)(xfy DK1 M12(1) 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的,1K (2) 曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处(3) 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注注曲曲 率率.1 K曲率半径越小曲率半径越小,

8、曲率越大曲率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);附近曲线弧附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数曲率互为倒数, 即即13基本概念基本概念: 弧微分弧微分, 曲率曲率, 曲率圆曲率圆,曲率中心曲率中心,曲率半径曲率半径;研究曲线的弯曲程度研究曲线的弯曲程度: 曲率曲率;曲曲 率率四、小结四、小结基本计算基本计算: 弧微分弧微分, 曲率曲率; 曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近曲线弧曲线弧,使问题简化使问题简化.14思考题思考题 的曲率最小？的曲率最小？曲曲 率率 t为何值时为何值时, 曲线曲线)2, 0(),cos1();sin( ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率, 写出该点的曲率半径写出该点的曲率半径.解解 232)(1|)(yytK