高等数学：5-2 微积分基本公式

1、1第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 问题的提出问题的提出积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式小结小结 思考题思考题 作业作业 (v(t)和和s(t)的关系的关系)fundamental formula of calculus 第五章第五章 定积分定积分2 通过定积分的物理意义通过定积分的物理意义,例例变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21d)(TTttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的关系的关系)设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度)(tvv tTT上上,21

2、的一个连续函数的一个连续函数, 0)( tv且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔是时间间隔).()(d)(1221TsTsttvTT )()(tvts 微积分基本公式微积分基本公式一、问题的提出一、问题的提出其中其中积分的有效、简便的方法积分的有效、简便的方法.找到一个计算定找到一个计算定3 如果能从如果能从v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 这正是第四章已经解决了的微分运算的这正是第四章已经解决了的微分运算的定积分的计算有捷径可定积分的计算有捷径可寻寻进行进行一般性一般性 的讨论的讨论.运算运算.定积分定积分运算就可化

3、为减法运算就可化为减法微积分基本公式微积分基本公式)()(d)(1221TsTsttvTT 启发启发不定积分问题不定积分问题.逆运算逆运算 4定积分定积分 attfd)(积分上限函数积分上限函数,bax ).(x 记记为为 注注)d)( xaxxf一定要分清函数的一定要分清函数的如果上限如果上限 x 在区间在区间a,b上任意变动上任意变动,每一个取定的每一个取定的x值值,则对于则对于定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a,b上定义了一个函数上定义了一个函数,设设f (x)在在a,b中可积中可积,则对任一点则对任一点x )(x 与与自变量自变量x积分变量积分变量t.xtt微积分

4、基本公式微积分基本公式二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数5 xattfxd)()( 这个函数的几何意义这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性下面讨论这个函数的可导性.是如图是如图红色部分红色部分的面积函数的面积函数.微积分基本公式微积分基本公式ab)(xfy Oxyx)(x 6证证 )(xx 定理定理1 1 (原函数存在定理原函数存在定理),)(baCxf 设设则积分上限函数则积分上限函数且且对对上上限限的的导导数数等等于于.,)()(上上的的一一个个原原函函数数在在是是baxfx 因为因为,上上的的可可导导函函数数是是ba即即函函数数在在上上限限处处的的值值被被积积. x

5、xxd)(d)( xattfxd)()( )(xf )(bxa xattfd)()()(xxx xdd从而从而ttfad )( xx 微积分基本公式微积分基本公式7)()(xxx .之之间间与与在在xxx )( fx ,)(上上连连续续在在因因baxfxxx 0lim)( )(lim fx )(xf .x 积分中值定理积分中值定理xf )( xxxttf d)(定积分性质定积分性质3故故,0时时而而 x微积分基本公式微积分基本公式 xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 8 定理定理1指出指出:积分联结为一个有机的整体积分联结为一个有机的整体(3) 连

6、续函数连续函数 f (x) 一定有原函数（可积）一定有原函数（可积）, xattfxd)()( 就是就是f(x)的一个原函数的一个原函数.(1) 积分运算和微分运算的关系积分运算和微分运算的关系,它把微分和它把微分和所以它是微积分学基本定理所以它是微积分学基本定理.函数函数微积分基本公式微积分基本公式 微积分微积分,反之，有原函数的函数未必可积反之，有原函数的函数未必可积.(2)常量、变量是辩证统一的常量、变量是辩证统一的,注意求导、求积，注意求导、求积，9但 在 无界，故 在 不存在定积分。1( )sinF xx211( )( )cosF xf xxx)(xf)(xf(0,1(0,110推论

7、推论 axttfxd)(dd)1( )(d)(dd)2(xgattfx xattfxgxd)()(dd)3( xattfxgd)()()(xg)(xf )(xgf)(xg )()(d)(ddxgxhttfx微积分基本公式微积分基本公式 xattfd)(xdd )()(xfxg ,)(baCxf 设设,)(可可导导函函数数xg.,bax 利用区间的可加性利用区间的可加性11例例 ).(,d1)(02xfttttxfx 求求设设解解 )(xf例例 ).(,d11)(2sin2xfttxfx 求求设设解解xusin )(xf )(xf utt22d11ttxd11sin22 xudd xx2sin1

8、cos xucos112 uttu22d11dd微积分基本公式微积分基本公式12 xxx12例例 ).(,d)(23xftexfxxt 求求设设解解tetexfxtxtdd)(32 20dxtte texxfxtddd)(202xe textd30 x2 3xe 23x 00texxtddd30 微积分基本公式微积分基本公式13例例21cos0dlim2xtextx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00这是这是 型不定式型不定式,分析分析应用洛必达法则

9、应用洛必达法则)(cos x微积分基本公式微积分基本公式14证证 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd微积分基本公式微积分基本公式例例. 0)(), 0)( xfxf内连续且内连续且在在设设证明函数证明函数 xxttftttfxF00d)(d)()(内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数. xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF15200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0)( xf0)()( tftx)0( x0)( xf0 微积分基本公式微积分基本公式20)d)( xttf

10、xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数.故故)(xF x0 xdt x0tdt16证证 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf微积分基本公式微积分基本公式为单调增加函数为单调增加函数.上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上连连续续在在设设xf. 1)( xf且且证明证明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一个解只有一个解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一个解只有一个解.1111d )(20

11、ttfxx 1)( f0 或或17且且满满足足连连续续时时当当,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf 分析分析 求求必须先化掉必须先化掉积分号积分号,只要对所给积分方程两边求导即可只要对所给积分方程两边求导即可.解解 对所给积分方程两边关于对所给积分方程两边关于x求导求导,得得.51)2( f即即,1时时当当 x),2(f需先求出需先求出).(xf1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xx微积分基本公式微积分基本公式2(1)f xx18,)(d)(CxFttfxa 定理定理2 2（牛顿（牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨公式）公式）,)()(C

12、xFx ,bax 证证牛顿牛顿( (英英)16421727)16421727 莱布尼茨莱布尼茨( (德德)16461716)16461716如果如果)(xF是连续函数是连续函数上上区间区间在在, )(baxf的一个原函数的一个原函数, 则则)()(d )(aFbFxxfba xattfxd)()( 都是都是f(x)在在a,baa因为因为及及)(xF上的原函数上的原函数, 故有故有C是待定常数是待定常数, 即有即有,bax 0 微积分基本公式微积分基本公式三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式19)()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布

13、尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式微积分基本公式,bax 特别特别, xxfbad)(baxF)()()(aFbF CxFttfxa )(d)(微积分基本公式微积分基本公式bb20)()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式表明微积分基本公式表明 baxF)( 注注求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间一个连续函数在区间a, b上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间a, b上的增量上的增量.,时时当当ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立.微积分基本

14、公式微积分基本公式21例例 20d)1sincos2( xxx原式原式 20cossin2 xxx 23 解解 面积面积 A 0cosx 2 例例 解解轴轴上与上与在在计算曲线计算曲线xxy, 0sin 平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的微积分基本公式微积分基本公式xysin xsin 0 xd 1)1( Oxy 22例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf设设.d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx6 12 10d)(xxf 21d)(xxf微积分基本公式微积分基本公式xyO523例例 222d,maxxxx解解 由图形可知由图形可知,max)

15、(2xxxf 原式原式211 注注 如被积函数是分段函数如被积函数是分段函数, 应分段分成几个应分段分成几个再用再用牛牛莱公式莱公式.积分积分, 022dxx 10dxx 212dxx微积分基本公式微积分基本公式,2x02 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy 2 2124xxxd)12(10 解解,210时时当当 x,121时时当当 x 原式原式 1dx41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx微积分基本公式微积分基本公式25例例解解xxd2sin120 求求xxd2sin120 xxxd)si

16、n(cos202 40)cos(sin xx 20dsincos xxx222 如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值,注注 24)sincos( xx 再用再用微积分基本公式微积分基本公式去掉后去掉后,N-L公式公式.04 xxxd)sin(cos 4 2 xxxd)cos(sin 应分区间将绝对值应分区间将绝对值26例例 已知函数已知函数 .21, 1,10,01, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 解解分段函数分段函数微积分基本公式微积分基本公式 )(x ,01时时当当 x xtd1,10时时当当 x xttd.21时时

17、当当 x xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 错错!27已知函数已知函数 .21, 1,10,01, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 微积分基本公式微积分基本公式正确做法正确做法,)0 , 1时时当当 x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0时时当当 x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(时时当当 x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22时时当当时时当当时时当

18、当xxxxxxxx 28微积分基本公式微积分基本公式例例试证明试证明:积分中值定理中的积分中值定理中的 可在开区间可在开区间),(ba取得取得,即如果即如果,)(baCxf 则至少则至少存在一点存在一点),(ba 使得使得).)(d)(abfxxfba 证证 令令),(d)()(bxattfxFxa 上上在在,)(baxF由由定理定理1 1 (原函数存在定理原函数存在定理)知知:可导可导,根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理,至少存在一点至少存在一点),(ba 使得使得),)()()(abFaFbF 即即 baxxfd)().()(xfxF ).)(abf 29例例 解解 nnnnn121

19、11lim求极限求极限此极限实为一此极限实为一积分和的极限积分和的极限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x 2ln 微积分基本公式微积分基本公式)1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定积分是代数和的推广定积分是代数和的推广,无穷小无穷小的的无限项无限项的代数和的代数和.即它表示每项为即它表示每项为用定积分求极限时用定积分求极限时,需将需将(1)式中的两个式中的两个任意量任意量 用特殊的值处理用特殊的值处理.10 x 1130微积分基本公式微积分基本公式2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题 nnnnnn c

20、os12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式 22 xx dcos1 1031)21(lim2nnnn 求极限求极限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni 微积分基本公式微积分基本公式3232 微积分基本公式微积分基本公式积分上限函数积分上限函数(变上限积分变上限积分) xattfxd)()( 积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系积分学之间的关系微积分基本公式微积分基本

21、公式四、小结四、小结注意注意其推论其推论.33作业作业习题习题5-2 (2405-2 (240页页) )3. 4. 5.(1) (3) 6.(8) (11) (12) 9. (2) 10. 12. 微积分基本公式微积分基本公式34例例 解解求极限求极限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00 2002年考研数学年考研数学(三三) 5分分 原式原式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0lim2 x2cos12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim32 xx2)1arctan( 2xx2 6432 00微积分基本公式微积分基本公式35微积分基本公式微积分基本公式思考题思考题1 xttftxx0