高等数学：7-1 向量及其线性运算

1、1第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数几何空间中的一些图形与方程对应起来几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代用代数方法研究了几何问题数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题讨论如下几个问题:1. 向量、向量的一些运算向量、向量的一些运算;2. 空间中的平面与直线空间中的平面与直线;3. 空间中的一些曲面和曲线空间中的一些曲面和曲线;4. 二次曲面二次曲面.在平面解析几何中在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维曾通过坐标法把二维2第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算向量概念向量概念向量的向量的线性运

2、算线性运算小结小结 思考题思考题 作业作业空间直角坐标系空间直角坐标系利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算向量的模向量的模 方向角方向角第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数3向量向量既有既有向量表示向量表示a模长为模长为1的向量的向量.21MM00a零向量零向量 模长为模长为0的向量的向量.0|a21MM| |向量的模向量的模向量的大小向量的大小.单位向量单位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向a以以1M为起点为起点,2M为终点的为终点的有向线段有向线段.21MM1M 2M 一、向量概念一、向量概念向量及其线性运算向量及其线性运算(vector)

3、(module)4自由向量自由向量不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量相等向量 大小相等大小相等且且方向相同方向相同的向量的向量.负向量负向量 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a aba a向量及其线性运算向量及其线性运算ba 记作记作5加法加法cba （平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地特殊地 若若ab|bac 分为同向和反向分为同向和反向|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）(1)加法定义加法定义二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加减法向量的加减法向量及其线性运算向量及其线性运算abba a

4、bbacaabbcb6 (2) 向量的加法符合下列运算规律向量的加法符合下列运算规律交换律交换律 ba结合律结合律 cba);(cba . 0)( aa减法减法 baabb b cbabac )(3) 减法定义减法定义;ab cba)()( b ac向量及其线性运算向量及其线性运算abba ba 7, 0 |;|aa , 0 ; 0 a , 0 . |aa aa2a21 2. 向量与数的乘法向量与数的乘法 (简称数乘运算简称数乘运算)注注向量向量a a 向量的向量的“伸缩伸缩”,是一个数是一个数设设 向量向量 与与a的乘积的乘积a 规定为规定为aa与与 同向同向,aa与与 反向反向,为为向量向

5、量.与数与数的乘积的乘积向量及其线性运算向量及其线性运算8(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律结合律结合律 )(a ;)(a分配律分配律 a)( 第一分配律第一分配律 )(ba 第二分配律第二分配律 )( a ;aa .ba 线性运算线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算由向量由向量 常用数乘运算说明常用数乘运算说明两向量平行关系两向量平行关系(两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件):定理定理1.ab 使使a a与与平行平行,设向量设向量 ab则则存在唯一的实数存在唯一的实数 , |aa aaa就就是是与与|a0 同方向的同方向的单位向量单位向量. 记作记

6、作0,a 9下列命题是否正确下列命题是否正确错错,错错,(1) ji 2. 1,0)2( aaa时时选择题选择题 设设向量向量 互相平行互相平行,但是但是方向相反方向相反,则当则当ba,0| ba|;| )(babaA ( )| |;()| |.CababDababA没有定义向量的除法没有定义向量的除法.向量不能比较大小向量不能比较大小, 只有模才能比较大小只有模才能比较大小.时时, 必有必有( )向量及其线性运算向量及其线性运算( )| |;Babab10例例 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(ba252 向量及其线性运算向量及其线性运算11例

7、例 试用向量方法证明试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形对角线互相平分的四边形必是平行四边形必是平行四边形.证证ABCD MAMMC BMMD AD AM MDMC BMBC 结论得证结论得证.BCAD且且BCAD 向量及其线性运算向量及其线性运算12上两式相减得：上两式相减得：, cba , acca ,)1()1(ca . 01, 01 且且故故只只能能1, 1 即即 设设 均均为非零向量为非零向量,其中任意两个向量其中任意两个向量 不共线不共线, 但但 与与 共线共线, 与与 共线共线. 证明：证明：cba,ba ca. 0 cba证证. 0 cba,acb 为常数为常数.不共线不共

8、线与与而而ca向量及其线性运算向量及其线性运算bc13x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点O空间直角坐标系空间直角坐标系, 三个坐标轴的三个坐标轴的点点O叫做坐标原点叫做坐标原点(或原点或原点)正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 轴轴, 当右手的四个手指当右手的四个手指 从正向从正向x轴以轴以 2 角度角度转向正向转向正向y 轴时轴时, 大大拇指的指向就是拇指的指向就是z轴轴的正向的正向. 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1.1.空间点的直角坐标空间点的直角坐标ijkOxyz称称坐标系坐标系 或或,;kjiO坐标系坐标系.向量及其线性运算向量及其线性运算14x

9、yzO向量及其线性运算向量及其线性运算空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限面面xOy面面yOz面面zOx15空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C向量及其线性运算向量及其线性运算OxyzB), 0(zyR), 0 , 0(zA)0 ,(yxQ)0 , 0(yP)0 , 0 ,(x ),(zyxM16(3) 点点M(2, - -3, 1)关于关于y 轴轴的对称点是的对称点是( ). (1) 点点M(2, - -3, 1)关于关于坐标原点坐标原点的对

10、称点是的对称点是( );选择题选择题(2) 点点M(2, - -3, 1)关于关于xOy面面的对称点是的对称点是( ) ;(A) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).ACB向量及其线性运算向量及其线性运算17 P?21 MMd 21PM、设设),(1111zyxM),(2222zyxM为空间两点为空间两点. 2PN22NM 2d在直角三角形在直角三角形21NMM 和和PNM1 中中, 用用勾股定理勾股定理,121xxPM ,12yyPN 122zzNM 向量及其线性运算向量及

11、其线性运算2.空间两点间点的距离空间两点间点的距离22221NMPNPMd 21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式xyzO2M 1M RQ N d18若两点分别为若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd 222zyx 特殊地特殊地向量及其线性运算向量及其线性运算向径向径空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M与原点构成的与原点构成的向量向量. OM常用常用r表示表示. 21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式19解解 设设P点坐标为点坐标为)0 , 0 ,(x 1PP2223)2( x112 x

12、2PP2221)1( x22 x 1PP22PP112 x222 x1 x所求点为所求点为),0 , 0 , 1()0 , 0 , 1( 向量及其线性运算向量及其线性运算例例)3 , 2, 0(,1PxP它到点它到点轴上轴上在在设设的距离为到的距离为到)1, 1 , 0(2 P点点的距离的两倍的距离的两倍,求点求点P的坐标的坐标.201. 两向量的夹角的概念两向量的夹角的概念, 0 a0 bab ),(ba ),(ab )0( 类似地类似地,特殊地特殊地,可定义可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.当两个向量中有一个零向量时当两个向量中有一个零向量时, 规定规定它们的夹角

13、可在它们的夹角可在 与与0之间任意取值之间任意取值.向量及其线性运算向量及其线性运算向量向量a与向量与向量b的夹角的夹角四、利用坐标作向量的四、利用坐标作向量的线性运算线性运算21空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u过点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在轴u上上A 交点交点的的投影投影.向量及其线性运算向量及其线性运算空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那么轴那么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的值的值, 称为向量在轴称为向量在轴u上的上

14、的投影投影.2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 AA B A uAB22ABjuPrBA ABjuPr cos| AB Projection在轴在轴u上的上的向量向量AB轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量AB在轴在轴u上的上的投影投影记为记为投影性质投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以向量及其线性运算向量及其线性运算uAB)(投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为非负值模只为非负值. cos|)(ABABu B A ABuu B 23 )(Pr21aaju（可推广到有限多个）（可推广到有限多个） )(Praju 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两

15、个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和. 1Praju2PrajuajuPr 向量及其线性运算向量及其线性运算投影性质投影性质2 2投影性质投影性质3 324112,OuABu u是轴 坐标原点、 坐标依次为.的的两两个个点点证证,1uA的坐标为的坐标为因点因点同同理理于是于是例例,1uOA 即即故故向量及其线性运算向量及其线性运算.)(:12euuAB 证证明明,1euOA .2euOB OAOBAB u OB 2uA 1u),(如图如图同方向的单位向量同方向的单位向量是与轴是与轴uee2121() .u eu euu e253. 向量在坐标轴上的分向量与向量

16、的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标上上投投影影分分别别在在轴轴点点uMM21,.,21PP为为点点uPP在在轴轴又又设设21,.,21uu.121221uuOPOPPP 而而.12uuau 向量及其线性运算向量及其线性运算,21为为一一向向量量设设MMa 上上在在轴轴由由向向量量uMM21 )(21MM的投影的投影.ua如如 是与轴是与轴 u正向一致的单位向量正向一致的单位向量, e因此因此可知可知:.)(12euu eaPPu21上坐标分别为上坐标分别为1P2P1M2MuO)(1u)(2u26kajaiaazyx 12xxax 12yyay 12zzaz 向量及其线性运算向量及其线性运

17、算),(1111zyxM),(2222zyxM起点起点终点终点PNQR,21MMa 向量在向量在x轴上的投影轴上的投影向量在向量在y轴上的投影轴上的投影向量在向量在z轴上的投影轴上的投影 21MMa按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：kzzjyyixx)()()(121212 向量的向量的坐标表达式坐标表达式： 21MMa),(121212zzyyxx 坐标坐标坐标坐标坐标坐标 x轴轴分向量分向量 y轴轴分向量分向量 z轴轴分向量分向量特殊地特殊地),(zyxOM xyzO 1M 2Maijk27),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa

18、),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 向量及其线性运算向量及其线性运算4. .利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算28由由按坐标表示式即为按坐标表示式即为: zzyyxxababab 当分母为零理解为分子也为零当分母为零理解为分子也为零.注注向量及其线性运算向量及其线性运算也即向量也即向量 与与 对应的坐标成比例对应的坐标成比例: ba定理定理.ab 使使设向量设向量 ab则则存在唯一的实数存在唯一的实数 (,)(,)xyzxyzb b ba

19、aa0,a 29解解 AM MB设设),(zyxM为直线上的点为直线上的点,oxyzAB向量及其线性运算向量及其线性运算例例 已知两点已知两点),(),(222111zyxBzyxA和和以及实数以及实数, 1 在直线在直线AB上求点上求点M, 使使MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz同理同理,得得的定比分点的定比分点为有向线段为有向线段ABMM 30非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量非零向量 的的方向

20、角方向角：a 、 、 ,0 ,0 .0 向量及其线性运算向量及其线性运算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角(direction angle )xyzO 1M 2Ma 31由图分析可知由图分析可知 xa ya za向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦方向余弦222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 向量及其线性运算向量及其线性运算(direction cosine )通常用来表示向量的方向通常用来表示向量的方向. cos|a cos|a cos|axyzO 1M 2Ma PQR320222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zy

21、xxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 cos|aax cos|aay cos|aaz 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征(cos , cos, cos )|aa特殊地特殊地向量及其线性运算向量及其线性运算oa33解解222)6(76| a11 |aa 0akji116117116 或或0a|aa kji116117116 a所求向量有两个所求向量有两个,一个与一个与同向同向,一个与一个与a反向反向.向量及其线性运算向量及其线性运算|aa oa求平行于向量求平行于向量的单位向量的单位向量k

22、jia676 例例的分解式的分解式.34解解 、 、 ,3 4 1coscoscos222 21cos ,3 32 22cos ,21cos 向量及其线性运算向量及其线性运算设有向量设有向量例例,21PP已知已知, 2|21 PP它与它与x轴和轴和y轴的轴的夹角分别为夹角分别为,43 和和如果如果P1的坐标为的坐标为(1,0,3),求求P2的坐标的坐标.设向量设向量21PP的方向角为的方向角为35|)(cos2121PPPP cos21 x21, 2 x cos20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 |121PPx 向量及其线性运算向

23、量及其线性运算),3 , 0 , 1(1P2|21 PP设设P2的坐标为的坐标为),(zyxx|021PPy cos|321PPz P2的坐标为的坐标为36解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 向量及其线性运算向量及其线性运算,742,853kjinkjim 设设,45kjip 求向量求向量例例x轴上的轴上的pnma 34投影及在投影及在y轴上的分向量轴上的分向量.在在x轴上的投影为轴上的投影为,13 xa在在y轴上的分向量为轴上的分向量为7 .ya jj 37向量及其线性运算向量及其线性运算六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的线性运算向量的线性运算（注意（注意:与数量的区别与记法）与数量的区别与记法）(平行四边形法则平行四边形法则, 三角形法则三角形法则, 注意数乘后的注意数乘后的方向方向)空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式(注意它与平面直角坐标系的注意它与平面直角坐标系的区别区别)(点、坐