§15.1两角和与差的正弦、余弦公式实用教案

1、回顾回顾(hug)旧旧知知三角函数三角函数(snjihnsh)的定义的定义设角设角 的终边上的终边上(bin shn)的非原点任意一点的非原点任意一点P(x，y)，点点P到原点的距离为到原点的距离为 r. rx 比值比值 叫做叫做角角 的余弦的余弦. ry 比值比值 叫做叫做角角 的正弦的正弦. 则则rx 即即 cos ry 即即 sin yOxP比值比值 叫做叫做角角 的正切的正切. xytanyx即第1页/共40页第一页，共41页。回顾回顾(hug)旧旧知知如图，角如图，角 的终边与单位的终边与单位(dnwi)圆交于点圆交于点P(x，y )，O y1 P x 1-1-1sin = y，co

2、s = x，显然显然(xinrn) r =1则则(cossin)P即 点的坐标为，cos ,sin)OP 向量的坐标为(| 1OP 第2页/共40页第二页，共41页。11( ,)aOAx y 22(,)bOBxy |cosa ba b 1212a bx xy y 第3页/共40页第三页，共41页。回顾回顾(hug)旧旧知知（ ）+-+-+-( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )sincostanxxxyyy三种函数三种函数(hnsh)的值在各象限的符号的值在各象限的符号 一二(y r)正 （三四负） 一四正 （二三负） 一三正 （二四负）全正 正弦正 切正 余弦正y

3、rxryx第4页/共40页第四页，共41页。回顾回顾(hug)旧旧知知同角三角函数基本同角三角函数基本(jbn)关系关系平方平方(pngfng)关系关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk第5页/共40页第五页，共41页。回顾回顾(hug)旧旧知知诱导诱导(yudo)公式（公式（4组）组）)k(tan)2k(tan)k(cos)2k(cos)k(sin)2k(sinZZZ （公式(gngsh)一） tan)(tancos)cos(sin)sin(（公式三）（公式三）tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式二）（公式二）tan)tan(cos)co

4、s(sin)sin(（公式四）（公式四）第6页/共40页第六页，共41页。15.115.1两角和与差的正弦两角和与差的正弦(zhngxin)(zhngxin)、余弦公式余弦公式第7页/共40页第七页，共41页。新课导入新课导入下列各式是否成立？已知,2330cos,2160cos探究(tnji)30cos60cos)3060cos() 1 (30cos60cos)3060cos(2)第8页/共40页第八页，共41页。第9页/共40页第九页，共41页。探索(tn su)新知一(cos ,sin)(cos ,sin )aOPbOQ 向量向量(xingling)| | |cos()cos()a ba

5、b 则则coscossinsina b 又有又有因此因此(ync)sinsincoscos)cos(第10页/共40页第十页，共41页。探索(tn su)新知一sinsincoscos)cos(两角差的余弦公式两角差的余弦公式第11页/共40页第十一页，共41页。分析：注意到分析：注意到 ，结合两角差的余，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以弦公式及诱导公式，将上式中以代代 得得 （）cos()cos() coscos()sinsin()coscossinsin上述上述(shngsh)(shngsh)公式就是两角和的余弦公式公式就是两角和的余弦公式cos cossin sincos()c

6、os()?思考：由思考：由 如何如何求求: 探索探索(tn su)新知一新知一cos(+ +) = coscos sinsin第12页/共40页第十二页，共41页。 例题例题(lt)剖析剖析例例1 不用不用(byng)计算器，求计算器，求cos75和和cos15的值。的值。42-62221-2223sin45sin30-cos45cos30)45(30cos75cos解42621222322sin30sin45cos30cos45)30(45cos15cos解第13页/共40页第十三页，共41页。练习(linx)：不用计算器，求 值1 cos105（）02 cos( 15 )（ ）第14页/共

7、40页第十四页，共41页。cos40 cos20sin40 sin20解：cos(4020 )cos40 cos20sin40 sin20计算：cos6012第15页/共40页第十五页，共41页。练习：不用(byng)计算器，求下列各式的值 1 cos80 cos20sin80 sin20 2 cos22.5 cos22.5sin22.5 sin22.5第16页/共40页第十六页，共41页。例题例题(lt)剖析剖析例例2 已知已知 ，且，且 为第二象限角，为第二象限角，求求 的值。的值。43cos)3cos(解解 因为因为 为第二象限角，所以为第二象限角，所以47)43(1cos1sin228

8、3214723)43(21sin3sincos3cos)3cos(第17页/共40页第十七页，共41页。练习(linx)已知 ， ，求 ， 的值。2cos33,22cos6cos6第18页/共40页第十八页，共41页。探索(tn su)新知一sinsincoscos)cos(两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式sinsincoscos)cos(第19页/共40页第十九页，共41页。 用两角和与差的余弦公式证明用两角和与差的余弦公式证明(zhngmng)：cos()sin2问题问题(wnt)解决解决sin() cos2第20页/共40页第二十页，共41页。小结小结(xioji)1 1 、两角

9、和与差的余弦公式及应用、两角和与差的余弦公式及应用(yngyng);(yngyng);2 2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数、利用公式可以求非特殊角的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)值值, , 灵活使用使用公式灵活使用使用公式. .sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(cos()sinsin()cos22第21页/共40页第二十一页，共41页。 探索探索(tn su)新知二新知二sin()?思考：如何求思考：如何求sincos()2coscossinsin22sincoscossincos()2sin)sincoscossin(上述公式上述公式

10、(gngsh)(gngsh)就是两角和的正弦公式就是两角和的正弦公式(gngsh)(gngsh)第22页/共40页第二十二页，共41页。第23页/共40页第二十三页，共41页。 探索探索(tn su)新知二新知二sin()?那那上述上述(shngsh)(shngsh)公式就是两角差的正弦公式公式就是两角差的正弦公式sin)sincoscossin(sincoscossinsin() sin cos() sin()cos 有将上式中以将上式中以代代 得得sin由sincoscos sin第24页/共40页第二十四页，共41页。探索(tn su)新知二sincoscossin)sin(两角和与差的

11、正弦两角和与差的正弦(zhngxin)公式公式sincoscossin)sin(第25页/共40页第二十五页，共41页。例例3 不用不用(byng)计算器，求计算器，求sin75和和sin15的值。的值。42621222322sin3045ccos3045s)30(45sin75sinosin解42621222322sin3045ccos3045s)30(45sin15sinosin解第26页/共40页第二十六页，共41页。练习：不用(byng)计算器，求下列各式的值01 sin105（）0sin15（2） （- ）00003 sin80 cos20cos80 sin20（ ）0000sin3

12、3 cos27 +cos33 sin27（4）第27页/共40页第二十七页，共41页。例4 已知 的值。)3sin()23,(,53sin求，解解 因为因为 为第三象限角，所以为第三象限角，所以54)53(1sin1cos2210343)53(21)54(23sin3coscos3sin)3sin(第28页/共40页第二十八页，共41页。练习练习(linx)：4sin,(, ),sin(),sin().5233已知求的值第29页/共40页第二十九页，共41页。 思考思考(sko)不用不用(byng)计算器，如何求计算器，如何求tan15 和和tan75 的值。的值。tantan1tantan)

13、tan(tantan1tantan)tan(第30页/共40页第三十页，共41页。小结小结(xioji)1 1 、两角和与差的正弦、两角和与差的正弦(zhngxin)(zhngxin)、余弦公式及应用、余弦公式及应用; ;2 2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值、利用公式可以求非特殊角的三角函数值, , 灵活灵活(ln hu)(ln hu)使用使用公式使用使用公式. .sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(第31页/共40页第三十一页，共41页。两角和与差的正弦(zhngxin)、余弦公式第3

14、2页/共40页第三十二页，共41页。例例5 已知已知 ，且，且 为为第第二象限角，二象限角， 为第三象限角，求为第三象限角，求 的值。的值。31cos,43sin),sin()sin(解：因为解：因为 是第二象限角，所以是第二象限角，所以47sin1cos2 因为因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以322cos1sin2第33页/共40页第三十三页，共41页。因此因此(ync)121423sincoscossin)sin(121423sincoscossin)sin(第34页/共40页第三十四页，共41页。练习(linx)3331.sin,cos,5422,cos. 已知求sin 2.3

15、11sincossin2262 sin3cos2sin3xxx证明下列各式：第35页/共40页第三十五页，共41页。例例6 工业用三相交流电的电压工业用三相交流电的电压u是时间是时间t的函数。的函数。现已知三相电流的电压分别现已知三相电流的电压分别(fnbi)为为 零线的电压零线的电压u=u1+u2+u3 。根据常识，零线的电压。根据常识，零线的电压u=0。这是为什么？这是为什么？,100sin22201tu),120100sin(22202tu),120100sin(22203tu第36页/共40页第三十六页，共41页。解解 123220 2sin100220 2sin(100120 )22

16、0 2sin(100120 )220 2sin100(sin100cos120cos100sin120 )(sin100cos120cos100sin120 )220 2(sin1002sin100cos120 )220 2sin100sin100uuuuttttttttttt( 1)220 2sin100sin1000ttt 第37页/共40页第三十七页，共41页。问题问题(wnt)解解决决(1)P到原点的距离(jl)6033xyPPO233322OP轴正方向的夹角与向量xOP)2(4560105(3) 求点P的坐标(zubio)( cos , sin)P rr第38页/共40页第三十八页，共41页。小结小结(xioji)1 1 、两角和与差的正弦、两角和与差的正弦(zhngxin)(zhngxin)、余弦公式及应用、余弦公式及应用; ;2 2 、利用公式可以、利用公式可以(ky)(ky)求非特殊角的三角函数值求非特殊角的三角函数值, ,证明等式成立，证明等式成立， 灵活使用使用公式灵活使用使用公式. .sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(第39页/共40页第三十九页，