2020年高三数学上期末试卷(及答案)

1、3a1,1a3,2a2 成等差数列，则 a8 a92a6 a7A6B 76已知 0 x 1， 0 y 1，则222222xyx 1 y1xyA 5B227已知数列an 中， a11,an 12anA63B61C 8D 9221 x 1 y 的最小值为（ ）C 10D 2 31 n N , Sn为其前 n 项和， S5 的值为（C62D8在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A ，B， C的对边，若b 2c ，57a 6 ，cosA778，则ABC 的面积为（A 17B 3C 1522020 年高三数学上期末试卷 （ 及答案）、选择题1下列结论正确的是（)bc2B若 a2 b2 ，则 a bA若

2、 ab ，则 ac2C若 ab,c 0 ，则acbcD若 a b ，则 a b2数列an 满足 anan 1n1n ，则数列an 的前 20 项的和为 （ ）A100B-100C-110D1102 2n13 已知数列 an 的通项公式是ann2 sin(2），则 a1a2 a3 L a10A110B100C55D04 等比数列 an 的前n 项和为Sn ，S10若 S3=2， S6=18 ，则S5等于 （ ）A3B5C33D 315已知等比数列an 的各项都是正数，且9如图，为了测量山坡上灯塔 CD 的高度，某人从高为 h=40 的楼 AB 的底部 A处和楼顶B处分别测得仰角为=60o， =3

3、0o ，若山坡高为 a=35 ，则灯塔高度是（）A15B 25C 40D 6010 等差数列 an 中， a3 a4 a512 ，那么 an 的前 7 项和 S7A 22B24C26D28a811设Sn为等差数列 an 的前 n项和， (n 1)Sn<nSn 1(n N ).若1，则( )a7A Sn 的最大值为 S8 B Sn 的最小值为 S8 C Sn 的最大值为 S7 D Sn 的最小值为 S71 x 2 12已知函数 f(x) 1 ，则不等式 f a2 4f (3a)的解集为 ( )2A( 4,1)B ( 1,4)C (1,4)D (0, 4)二、填空题(x 4)(y 2)13

4、设 x>0，y> 0，x2y4，则的最小值为 .xy1a14 已知数列 an 中，其中 a 9999 ， an (an 1) ，那么 log99 a100 15 (广东深圳市 2017 届高三第二次( 4月)调研考试数学理试题 )我国南宋时期著名的数 学家秦九韶在其著作数书九章中独立提出了一种求三角形面积的方法-“三斜求积术”，即 ABC 的面积 S，其中 a、b、c 分别为 ABC内角 A、B、C 的对边 .若 b 2 ，且 tanC3sinB ，1 3cosB则 ABC的面积 S 的最大值为x2y 016若实数 x,y 满足约束条件xy 0 ，则 z 3xy的最小值等于 x2y

5、 2 01712 设 (1 x)1 (1 x)2 L(1n2 x)a0 a1x a2xLanxn ，其中 n N ，且n2 ，若 a0 a1 a2 Lan1022 ，则 n =18如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于2)，且所有项之和为N，那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3， 4，5，6 为 20 型标准数列，则2668 型标准数列的个数为 19在ABC中，内角 A， B ， C所对应的边长分别为 a，b，c，且 cosC223bcosAacosB 2 ，则 ABC的外接圆面积为 2x y 2 0,20设x， y满足则 x 2y 2 0,则 z x 3y 的最小

6、值是 .x y 2 0,、解答题21已知在等比数列 an 中, a1 1,且 a2是a1和a3 1的等差中项 .（1）求数列 an 的通项公式 ;（2）若数列bn满足bn2n 1annN*,求bn的前 n项和 Sn.22已知 a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边，且 b2 c2 a2 ac cosC c2 cosA.（1）求 A ；（2）在 ABC中， BC 3， D为边 AC的中点， E为 AB边上一点，且 DE AC， DE 6 ，求 ABC 的面积 .2123设 an 是等比数列，公比不为 1已知 a1，且 a1， 2a2， 3a3成等差数列（1）求 an 的通项公式；（

7、2）设数列 n 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn an24如图，在 ABC中， B 45 ， AC10 ,cos C 2 5 点D是 AB的中点 , 求51）边 AB 的长；2） cosA的值和中线 CD 的长25已知 a，b，c 分别为 ABC三个内角 A， B， C的对边，且 acos C 3 asin C bc 0.10 1 191002(2) 若 AD为 BC边上的中线， cos B 1 ，AD 129 ，求 ABC的面积 7226已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn,a2 a5 12,S4 16(1) 求 an 的通项公式；(2) 数列 bn 满足 bn14Sn 1Tn 为数列

8、bn的前 n 项和，是否存在正整数m，k 1 m k ，使得 Tk23Tm2 ?若存在，求出 m， k的值；若不存在，请说明理由参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除、选择题1D 解析： D 【解析】选项 A中，当 c=0 时不符，所以 A错选项 B中，当 a 2,b1时，符合 a2 b2 ，不满足 a b，B错选项 C中, a c b c ,所以 C错选项 D中，因为 0 ab ，由不等式的平方法则， a b ，即 a b 选 D.2B解析： B【解析】【分析】数列an满足 an 1 an ( 1)n n，可得 a2k1+a2k( 2k1)即可得出【详解】数列 an满足 an 1 an (

9、 1)n n ， a2k1+a2k( 2k1)+19)则数列 an的前 20 项的和( 1+3+故选： B点睛】 本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题3C解析： C【解析】【分析】由已知条件得an n2sin2n2 1)n2, n是奇数 n2,n是偶数，所以 a1+a2+a3+ +a10 22 12+421q32+ +102 92，由此能求出结果详解】 2n 12=n+ ，n N*，22 an n sin2n 1)2n ,n是奇数 n2 , n是偶数10 1+10 a1+a2+a3+a102212+4232+ +10 2 92 1+2+3+ +10

10、=552 故选 C【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中 档题4C 解析： C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出S10S5【详解】设等比数列 an 的公比为 q （公比显然不为 1），则a1 1qS61q1 q613q39 ，得 q= 2 ，S3a1 13 q1 q31qa1110 q因此，S101q110 q1 q5 1 25 33 ，故选 CS5a115 q15q5【点睛】 本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一 般在求解等比数列问题时，有如下两种方

11、法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用5D解析： D【解析】【分析】设各项都是正数的等比数列 an的公比为 q，（ q> 0），由题意可得关于 q 的式子，解之可 得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得【详解】 设各项都是正数的等比数列 a n的公比为 q，（ q>0）1由题意可得 2 a3 3a1 2a2，即 q2-2q-3=0 ，2解得 q=-1 （舍去），或 q=3，2故 a8 a9a6 a7 q2 q2 9a6 a7a6 a7故选：

12、 D 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题6B解析： B【解析】【分析】根据均值不等式，可有22xy2x2 y，则 x2 y2x y 2 2 ， x2 1 yx 1 y2，2 2 1 x y1 x 2 y2 1 x2 y ， 边分别相加求解。【详解】 因为 x2 y2 所以 2（x2 y2）22x 1 y1x12y ，再利用不等式的基本性质，两所以 x y2xy22xy x(x y)2xy2所以 x2 y2xy2x1y1xyx22所以两边分别相加得1 y 2 2 2当且仅当 x y故选： B1 取等号2点睛】 本题主要考查了均值不等式，还考查了运算

13、求解的能力，属于中档题7D解析： D解析】解：由数列的递推关系可得：an 1 1 2 an 1 ,a1 1 2 ，据此可得：数列 an 1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，则：n 1 n an 1 2 2n 1, an 2n 1 ，2 1 25 分组求和有： S 2 1 2 5 57 .5 1 2本题选择 D选项 .8D解析： D【解析】【分析】b与c.1三角形的面积公式为 S ABC bcsinA ，故需要求出边 b 与 c ，由余弦定理可以解得 2【详解】解：在 ABC 中， cosA2 2 2bca2bc将 b 2c ， a6 代入上式得4c2 c2 64c2解得： c 2由co

14、sA 87 得sinA158所以， S ABC 2bcsinA 2 2158152故选 D.【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：高）11，二是 bcsinA . 借助 （底22高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1bcsinA时，需要求出三角形两边2及其夹角的正弦值 .9B解析： B解析】分析】过点 B作BE DC 于点E，过点 A作 AFDC 于点F ，在 ABD 中由正弦定理求得AD ，在 Rt ADF 中求得【详解】DF，从而求得灯塔CD 的高度过点 B作BE DC 于点E，过点 A 作 AFDC 于点 F ，如图所示，在 ABD 中，由正弦定理得，ABsin ADBAD

15、 ， sin ABD即 sin90 h (90 )AD ， sin(90 ) ，hcosAD ，在 Rtsin（ ）又山高为 a，则灯塔 CD 的高度是ADF 中， DFADsinhcos sin sin( )hcos sinCD DF EF a sin( )40 3 321 2 35260 35 25 故选 B 点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题10D解析： D【解析】试题分析：由等差数列的性质 a3 a4 a5 12 3a4 12 a4 4 ，则考点：等差数列的性质11C解析： C【解析】【分析】由已知条件推导出( n2n) d<2n2d，从而得到 d

16、>0，所以 a7<0，a8>0，由此求出数列 Sn 中最小值是 S7【详解】 ( n+1) Sn< nSn+1 ， Sn< nSn+1 nSnnan+1n n 1 d 2 即 na1< na1+n2d ，2 整理得( n2 n) d<2n2d n2n2n2 n2n<0d>0 a8 8 < 1< 0 a7a7< 0， a8> 0 数列的前 7 项为负， 故数列 Sn 中最小值是 S7 故选 C【点睛】本题考查等差数列中前 n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的灵活运用12B解析： B【

17、解析】【分析】1 x 2先判断函数 f(x) 1 的单调性，把 f a2 4 f(3a) 转化为自变量的不等式求解 . 2【详解】可知函数 f (x) 为减函数，由 f (a2 4) f (3a) ，可得 a2 4 3a ， 整理得 a2 3a 4 0 ，解得 1 a 4，所以不等式的解集为 ( 1,4) 故选 B.【点睛】 本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式 . 二、填空题139【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x2y 4即当且仅当等号成立故原式故填 9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查 等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：

18、9【解析】【分析】 将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(x 4)( y 2) xy 8 2x 4y xy 161 16xyxyxyxy又 x 2y 42 2xy, 即 xy2 ，当且仅当 x2, y 1等号成立，故原式9故填 9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 141【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比 数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公 比的等比数列故答案为： 1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通 解析： 1【解析】【分析】1 为首项，以9919999 为1由已知数列递推

19、式可得数列 log 99 an是以 log 99 a1 log 99 9999公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解 【详解】 由 an (an 1) ，得 log99 an a1 log 99 an 1，l og99 an 9999 n a1 9999 ，log99 an 11 1 1则数列 log 99 an 是以 log99 a1 log99 9999 1 为首项，以 9999 为公比的等比数列，log 99 a1001 (99919 )99 199故答案为： 1【点睛】 本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的 理解15【解析】由题设可知即

20、由正弦定理可得所以当时故填解析： 3【解析】由题设可知 sinC 3sinB sinC 3 sinBcosC cosBsinC ，即cosC 1 3cosBsin C 3sinA ，由正弦定理可得 c 3a ，所以S 1 3a4 4a 4 1 a4 8a2 4 ，当 a2 4 a 2时，2 2 2Smax 1 24 8 4 4 3，故填 3 .216【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依 题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即 为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析： 72【解析】【分析】 先画出可行域，改

21、写目标函数，然后求出最小值详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y 3x z，则 z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值通过平移可知在 A 点处动直线在y 轴上的截距最大因为A: x 2y 0 解得 A 1,1 x 2 y 2 0 2所以 z 3x y 的最小值 zmin 3 1 1min 2点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值179【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析： 9【解析】【分

22、析】记函数 f （x）(1x)12(1 x)2 L(1n x)a02a1x a2xLnanx ，f(1) a0 a1a2L2an2 22L2n，利用等比数列求和公式即可求解 .【详解】由题：记函数f(x)a02a1x a2xLnanx(1x)1 (1x)2L (1 x)n ，f(1) a0 a1L2Ln2(12n)，2，a2an 2 222n1即 2n 1 2 1022 ，2n11 1024, n9故答案为： 9【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想186【解析】【分析】由题意公差 d=1na1+=2668n（2a1+n-1）=5336=23×

23、;23×29 得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668n（2a1+n-1）=解析： 6【解析】【分析】n n 1 3由题意，公差 d=1，na1+=2668， n（2a1+n-1） =5336=23×23×29，得出满足题意2的组数，即可得出结论【详解】由题意，公差 d=1，na1+ n n 1 =2668， n（2a1+n-1） =5336=23×23×29，2n<2a1+n-1，且二者一奇一偶，（n，2a1+n-1）=（8，667），（ 23，232），（ 29，184）共三组；同理 d=-1 时，也有

24、三组综上所述，共 6 组故答案为 6【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题19【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学 生的计算能力解析： 9【解析】【分析】根据正弦定理得到 sin A B sinC 1 ，再根据 cosC 2 2 计算 sinC 1 得到答案 . R 3 3详解】由正弦定理知：bcosA acosB 2R sin B cosA 2R sin AcosB 2，即 sin A B1sinC R ， cosC2 2 ，sinC 1 ，33即 R 3.故 S故答案

25、为 9R2 9 .【点睛】 本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力 .20-4 【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截 式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出 可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性 解析： -4【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优 解的坐标代入目标函数得答案【详解】 解：作出可行域如图所示，当直线 z x 3y 经过点 2,2 时， zmin 2 3 2 4.故答案为： 4【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的

26、解题思想方法，属于中档题三、解答题n- 1221 (1) an= 2n-1(2) Sn n2 2n 1【解析】【分析】(1) 由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项 求解数列的通项公式即可 .(2) 结合(1)的结果首先确定数列 bn 的通项公式，然后分组求和即可求得数列bn 的前 n项和 Sn.【详解】2(1)设等比数列 an 的公比为 q,则 a2 q,a3 q2, a2 是 a1 和 a3 1 的等差中项 , 2a2a1a3 1即 2q1q2 1 ,解得 q2, an2n1(2) bn2n1 ann12n 1 2n 1,则 Sn13L2n 1 1 2

27、 L 2n 1 2n 1 1 2n2 1 2 n2 2n 1.【点睛】 数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和 (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3) 分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和22 (1) A(2) 3 334【解析】【分析】 (1)由余弦定理得 2bcosA acosC ccosA ，再由正弦定理得12sin B cosA sin(A C)，进而得 cosA 21，即可求解(2)在 Rt AED 中，求得 AD合三角形的面积公式，即可求解【详解】22 ， AC2 ，再ABC 中由正弦定理得 B

28、 ，结4(1)由余弦定理有 2bc cos A ac cos C c2 cosA， 化简得 2b cosA acosC ccosA ，由正弦定理得 2sin B cosAsin A cosC cosC sin Asin(A C)， 2sin B cosA sinB ，1 0 B ， sinB 0 ， cosA ，又由 0 A ， A .23 (2)在 AEC中， D为边 AC 的中点，且 DE AC，在 Rt AED 中， DE6，A ，所以 AD2 ， AC2，232ABC中由正弦定理得ACBC，得 sinB22 ， B 45，CsinBsin A2412所以 S ABC 1 AC BCsi

29、nC3324点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边 的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运 用余弦定理求解 .223 （ 1） an1n33 （2n 1） 3n 1解析】分析】1）由等差中项可得4a2 a1 3a3 , 设数列 an 的公比为 q q 1 ,则4a1 qa1 3a1 q2 , 可解得 q, 即可求得通项公式；2）由nn1）可得n 3 ,再利用错位相减法求解即可an详解】解:（1）设数列an 的公比为qq1 ,且 a1,

30、 2a2 , 3a3成等差数列 ,所以 4a2 a13a3 , 即 4a1a123a1 q , 解得 q13,因为 a11,所以 an3n1n32）由1）知， an所以n n 3nan所以 Tn1 312 32333n,则 3Tn 1232 2333434n13n 1作差可得 , 2Tn3132 333n3n 1则 2Tn3 3n31n+1， n 3 ，2Tn3n132所以 Tn3 2n 13n1,考查错位相减法求数列的和【点睛】本题考查等差中项的应用 ,考查等比数列的通项公式24（1）2 （2） 13解析】分析】详解】（ 1）由 cos ACB2 5 0 可知， ACB 是锐角，5所以， s

31、in ACB 1 cos2 ACB 1 25555由正弦定理ACsin BAB ,AB sin ACBsin ACB sinB10 52522) cosA cos(18045 C) cos(135 C)2 ( cosC sinC)1010由余弦定理CD AD2 AC2 2AD AC cos A 1 10 2 1 10 （ 10） 13 考点： 1 正弦定理； 2 余弦定理25 （1）A60°；（ 2） 10 3【解析】【分析】（1） 利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；a,cB（2） 利用三角形内角关系求出 sinC ，结合正弦定理求出 a,c 关系，利用余弦定理可求 【详解】（1）acos C 3