2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)和答案

1、2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷 （理科）（3 月份）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，B（x，y）|y3x，则 AB 中的元素的个数是（）A 1B2C 3D42（5 分）复数在复平面内对应的点到原点的距离是 （ ）A BCD3（5 分）虚拟现实（ VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某 地区引进 VR 技术后， VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入） 逐年翻一番，据统计该地区 VR 市场收入情况如图所示，则下列 说法错误的是（ ）A该地区 2019年的 VR 市场总收入是 2017

2、年的 4 倍B该地区 2019 年的 VR 硬件收入比 2017 年和 2018 年的硬件收 入总和还要多C该地区 2019年的 VR 软件收入是 2018年的软件收入的 3 倍D该地区 2019年的 VR 软件收入是 2017年的软件收入的 6 倍4（ 5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 0，则中可第1页（共 28页）B2C 6第3页（共 28页）填入（ ）Amm+2 Bmm+1Cmm1 Dm m25（5 分）设 a4 ，blog ，clog43，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aa<b< c Ba<c<bCc<a<bDc<b&l

3、t;a6（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区 域上分别且只能标记数字 1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同， 其中，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在图上随机取一点， 则该点恰好取自标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是）CD7（5分）1970年 4月 24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等 设椭圆的长轴长

4、、 焦距分别为 2a，2c，下列结论不正确的是（ ）A 卫星向径的最小值为 acB卫星向径的最大值为 a+cC卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8（5 分）已知在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，点 E，F 分别在侧棱AA 1，BB1上（与顶点不重合） ， ，AA 14， ABC 的面积为 5，截面 C1EF 与截面 CEF 将三棱柱 ABC A1B1C1分成三 部分若中间部分的体积为 4，则 AA1 与底面所成角的正弦值为（）A BCD9（5 分）已知 f（x） sin（x+）（>0，0<）是 R 上的奇函数，若 f（ x

5、）的图象关于直线对称，且 f（ x）在区间内是单调函数，则 （ABC10（5分）已知直线 l与曲线 yex相切，切点为DP，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B，O 为坐标原点若 OAB 的面积为 ，则点 P 的个数是（D4A111（5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点 M 在C的右支上， MF 1与y轴交于点 A， MAF 2的 内切圆与边 AF2切于点 B若 |F1F2|4|AB|，则 C 的渐近线方程 为（ ）A BC 2x±y 0 Dx±2y012（5分）已知符号函数，偶函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），当 x0，1时， f（x）x

6、，则（）Asgn（ f（x） 0BCsgn（f（2k） 0（kZ） Dsgn（f（k）|sgnk|（kZ）二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分13（5 分）已知向量， ，若 ，则实数 的值为 ；若 ，则实数 的值为 14（5分）若对（ 1+x）n1+ x+ x2+ x3+ xn两边求导，可 得 n（ 1+x）n1 + x+ x2+ xn1通过类比推理，有 （ 5x 4 ） 7 a0+a1x+a 2x2+a3x3+a4x 4+a5x 5+a6x6+a7x7 ， 可 得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7 的值为15（5分）已知数列 an中，a111，若对任意的

7、 m1，4，存在 nN* ，使得成立，则实数 t 的取值范围是16（5分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长是 a，S是 A1B1 的中点，P是A1D1的中点，点 Q在正方形 DCC 1D1及其内部运动， 第4页（共 28页）若 PQ 平面 SBC1，则点 Q 的轨迹的长度是三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考 题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60分17（12分）如图所示，在 ABC 中，点 D在边 BC上，且 DAC 90°， （1）若，求 BC 的值；（2）若 BC 边

8、上的中线 AE 2，求 AC 的值18（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中， ABCD，ADCD， CD 2AB 2AD ，四边形 ADEF 是矩形，平面 BDE 平面 ABCD ， AF AD 1）证明： DE 平面 ABCD ；2）若二面角 B CF D 的正弦值为，求 的值19（12 分）如图，已知抛物线 C：y22px（p>0）的焦点为 F，圆 E：（x3）2+（y2）216与C交于 M，N两点，且 M，E，F， N 四点共线（1）求抛物线 C 的方程；（2）设动点 P 在直线 x1 上，存在一个定点 T（t，0）（t0）， 动直线 l经过点 T与C交于 A， B两点，直

9、线 PA，PB，PT 的斜 率分别记为 k1，k2，k3，且 k1+k 22k 3为定值，求该定值和定点 T 的坐标20（12 分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这 类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一 定帮助某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上 班的员工中随机抽取 300 名，统计他们的每日健步走的步数（均 不低于 4 千步，不超过 20 千步）按步数分组，得到频率分布直 方图如图所示（1）求这 300名员工日行步数 x（单位：千步）的样本平均数 （每 组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数） ； （2）由直方图可以认为该企业员工的日行步

10、数（单位：千步）服从正态分布 N（， 2），其中 为样本平均数，标准差的近第11页（共 28页）似值为 2，求该企业被抽取的 300 名员工中日行步数 （14， 18 的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该企业员工中 随机抽取 2 人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行 步数不超过 8 千步者为“不健康生活方式者” ，给予精神鼓励，奖 励金额为每人 0元；日行步数为 814千步者为“一般生活方式者” ， 奖励金额为每人 100 元；日行步数为 14 千步以上者为“超健康生 活方式者”，奖励金额为每人 200 元求工会慰问奖励金额 X（单 位：元）的分布列和数学期望附：

11、若随机变量 服从正态分布 N（ ，2），则 P（ < + ）0.6827，P（2<+2） 0.9545，P（ 3< +3 ） 0.997321（12 分）已知函数 f（ x）（1）讨论 f （x）的单调性；（ 2）若 x1， x2（x1<x2）是 f（ x）的 两个 零点， 求证 ： （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23题中任选一题作答，如 果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 第7页（共 28页）22（10分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为（为参数），直线 C2的参数方程为（ a为常数且 a0，t 为参数）（1）求

12、C1和 C2 的直角坐标方程；（2）若 C1和 C2相交于 A、B两点，以线段 AB 为一条边作 C1的 内接矩形 ABCD ，当矩形 ABCD 的面积取最大值时，求 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x） |x+a|2x2|（aR）（1）证明： f（x） |a|+1；（2）若 a2，且对任意 xR 都有 k（x+3） f（x）成立，求实 数 k 的取值范围第31页（共 28页）2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷 （理科）（3 月份） 答案与解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【分析】作

13、出椭圆 +y21和 y3x的图象，结合图形得 AB 中的元素的个数是 2【解答】解：集合， B（x，y）|y3x，作出椭圆 +y21和 y3x的图象，如下：结合图形得 A B 中的元素的个数是 2 故选： B2【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简， 再由复数模的计算公 式求解【解答】解：，z 在复平面内对应的点到原点的距离是 |z|故选： C 3【分析】设 2017 年 VR 市场总收入为 1，根据统计图，逐一判断即可【解答】解：设 2017 年 VR 市场总收入为 1，A，地区 2019年的 VR 市场总收入为 4，是 2017年的 4 倍，正确； B，2017 年和 2018 年的硬件

14、收入总和为 1×0.9+2×0.8 2.5<4× 0.72.8，故正确；C，2019年的 VR 软件收入 1.2是 2018年的软件收入 0.4的3倍， 正确；D，错误， 2019年的 VR 软件收入是 2017年的软件收入的 12倍， 故选： D 4【分析】 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构 计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变 量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次， S2×（42）4，S0 否；若 mm+26；第二次，S4×（64）8，S0 否；m m+2 8；第三次， S 8

15、5;（8 8）0，S0，是，输出 S 0；正确； 若 mm+15；第二次，S4×（54）4，S0 否；m m+1 6；第三次， S4×（ 64） 8， S 0，否； m m+1 7，第 四次， S8×（ 7 8） 8，S0是；输出 S 8；与 S0矛 盾，舍去；若 mm13；第二次， S4×（34）4，S0 是；输出S4，与 S0 矛盾，舍去；若 mm22 第二次，S4×（24）8，S0是；输出 S8，与 S0 矛盾，舍去；故输入 mm+2，输出的 S 的值为 0，故选： A 5【分析】可以得出， ，从而可得出a，b，c 的大小关系解答】解：a

16、<c<b故选： B6【分析】要想符合要求， 1出现的次数尽可能的多，当区域 A 标记 的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时，恰好取在标记为 1 的区 域的概率所有可能值最大【解答】解：要想符合要求， 1 出现的次数尽可能的多； 所以：当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时， 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值最大， 此时所在的小方格个数 n 5× 630，标记为 1 的区域中小方格的个数 m10，恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中， 最大的是 P 故选： C 7【分析】 由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离， 可得向径

17、的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即 卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相 等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最 小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所 给命题的真假【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离， 所以最小值为 a c，最大值为 a+c，所以 A，B 正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值越小， 即 1+ 越 小，则 e 越大，椭圆越扁，故 C 正确 因为运行速度是变化的， 速度的变化， 所以卫星运行速度在近地点 时向径越小， 在远地点时向径越大， 卫星的向径 （卫星与地球的连 线）在相同

18、的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，即 D 不正 确； 故选： D 8【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一， 得到原三棱柱的体积，设 AA1 与底面所成角为 ，由棱柱体积公 式列式求得 sin的值【解答】解：如图，过 EF 作平面 EFG底面 ABC ，则，可得中间部分的体积为 V4，设 AA 1 与底面所成角为 ，则 S ABC ?AA 1?sin 12，又 AA 14， ABC 的面积为 5，20sin12，即 sinAA 1 与底面所成角的正弦值为 故选： B9【分析】首先利用函数的奇偶性求出 的值，进一步

19、求出函数的 关系式为 f（ x） sinx，进一步利用 （x）的图象关于直线 对称，整理得 4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出 的 值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值【解答】解： f（x） sin（x+）（>0，0<）是 R 上的 奇函数，所以 k，kZ，当 k1 时， 所以 f（x） sin（x+） sinx，由于 f（ ） sin（ ）± 1，所以 k （k Z ），整理得 k+ ，整理得 4k+2当 k0 时， 2，函数 f（x） sin2x，由于 x，所以 ，故函数是单调递减函数当 k1 时 4+2 6，函数 f（x） sin6x，由于 x所以由于

20、内单调，故函数不为单调函数10，函数 f（ x）在区间当 k2 时，数，所以 f（x） sin2x，故 f （ ） 故选： A 10【分析】设切点 P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积 公式列式可得 构造函数 f（x）（ x1）2ex，利 用导数研究其单调性与极值，则答案可求【解答】解：设切点 P（），由 yex，得 y ex，则，直线 l 的方程为 ，取 y0，得 x x01，取 x0，得，则构造函数 f（x）（ x1）2ex，f（ x） ex（ x21）令 f（ x） 0，得 x±1当 x<1或 x>1时， f（

21、 x）> 0，当 1< x<1时， f （ x） <0，可得 f（x）先增后减再增，f（x）极小值 f（1）0f（x）的极大值< ，当 x1时，不存在点 P 满足题意； 当 x>1 时， f （x）单调递增，当 x+时， f（x）+ f（x）0 有唯一解，则点 P存在且唯一故选： A 11【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引 切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程 即可【解答】解：双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，点 M 在 C的右支上， MF1与 y 轴交于点 A， MAF 2的 内切圆与边 AF 2切于点 B与M

22、F 1的切点为 N，如图：设 ABn， MB m，BF2t，由双曲线的定义可知： m+2n+t mt2a，可 得 n a，若|F1F2|4|AB|，所以 2c4a，c 2a，则 b 所以双曲线的渐近线方程为：± y0故选： A 12【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f （x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合 法可对四个选项逐个判断，可得正确选项【解答】解：依题意，由 f（x+2） f（ x），可知函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数当 x0，1时， f（x）x，f（x）是偶函数，当 x1，0时，f（x） x函数 f （x）图象如下：根据图可

23、得， 0f（x） 1，故 sgn（f（ x） 0，选项 A 不正确； 很明显，当 x2k，kZ 时， f（ x） 0， sgn（ f（ x） 0，选项 C 正确； f（2×1010+ ）f（ ） ，故选项 B 不正确；当 k2 时， sgn（f（2）sgn（0）0，|sgn2|1，故选项 D 不正确故选： C 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分 13【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线 的关系即可得出【解答】解： +（ 3+，2），2 + （ 5，3）， ，（ +）? （ 3+，2）?（3，2） 3（ 3+） +2（ 2 ） 0，解得 ， 3（

24、 3+） +5（ 2 ） 0，解得 故答案为： ， 14【分析】 对已知式两边对 x 求导数， 再利用 x1，即可求得结果 【解答】 解：（5x4）7a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7， 两 边 对 x 求 导 数 ， 可 得 7 × 5 × （ 5x 4 ） 6 a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6， 再令 x 1，可得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7 35， 故答案为： 3515【分析】利用裂项法可求得 an（ anan1）+（an1an2）+ +（a3a2）+（ a2a1

25、）+a112 ，而 an12 为递增数列， 可求得 an 的极限值（可作为最大值） ，于是所求可转化为对任意的 m1，4，t2+mt<12 恒成立问题，通过构造函数 h（m）tm+t 212，则，解之即可解答】解：an（ anan1）+（an1an2）+（ a3a2）+（a2a1）+a1（ ），+（ ）+（1 ）+1112an12 为递增数列，当 n +时， an 12对任意的 m1， 4，存在 nN*，使得成立，对任意的 m1，4，t2+mt<12 恒成立令 h（m） tm+t 212，即解得： 4<t <2，故答案为：（4，2）16【分析】求出 Q 在正方形 DCC

26、 1D 1 的位置，然后转化求解距离即可【解答】解：要使 PQ平面 SBC1，作 PEC1S，交 C1D1 于 E， 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 a，D1E C1D1 ，连接 BD ，取 BD 的中点 O，连接 PO，则 PSBO 为平行四边形，POSB，取 DF ，连接 OF ，EF，所以 PEFO 为平行四边形， Q 在 EF 上，所以 EF 点 Q 的轨迹的长度是： 故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考 题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60分17【分析】（1）由

27、题意利用诱导公式可求 sinBAC 的值，在 ABC 中，由正弦定理可得 BC 的值（2）由（ 1）可得 sinBAC ，利用同角三角函数基本关系 式可求 cosBAC ，利用平面向量的运算可得 （ + ），两边平方后即可计算得解 AC 的值 【解答】解：（1） DAC 90°， sinBACsin（90°+DAB ），在 ABC 中，由正弦定理，可得： ，可得：BC4（2）由（ 1）可得 sinBAC ，cosBAC ， （ + ），可得 2 （ + ） 2，又 AE 2，可得 4 6+AC 2+2×，可得 3AC 2 2 AC 300，解得 AC 或 （舍去）

28、18【分析】（1）推导出 AD DE，BDDE，由此能证明 DE平面 ABCD （2）DE平面 ABCD ，以 D为原点， DA 为x轴， DC为y轴， DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 【解答】解：（1）证明：四边形 ADEF 是矩形，平面 BDE 平 面 ABCD ，平面 BDE 平面 ABCD BD，AD DE，BDDE，AD BDD，DE平面 ABCD （2）解：在多面体 ABCDEF 中， ABCD，ADCD， 四边形 ADEF 是矩形，平面 BDE平面 ABCD ， AF AD 由（1）知 DE平面 ABCD ，以 D 为原点， DA 为 x轴，DC 为 y轴

29、，DE为 z轴，建立空间 直角坐标系，设 CD2AB 2AD2，则 AF，则 B（ 1，1，0）， C（0， 2，0），D（0，0，0），F（1，0，），（ 1，1，0）， （ 1， 2，）， （ 0， 2，0），设平面 BCF 的法向量 （ x，y，z），则，取 x 1，得 （ 1，1，第44页（共 28页）设平面 CDF 的法向量 （ a， b，c），则，取 a1，得 （ 1，0， ），二面角 B CF D 的正弦值为， 2 或 解得19【分析】（1）由题意知 E（3，2），设抛物线 C 的准线为直线 l， 过 M ，N，E 分别作直线 l的垂线，垂足分别为 M ，N，E， 则|MF| |

30、MM |，|NF|NN|，从而 |EE| 4，进而 3+ 4，由此能求出抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 的方程为 xky+t ，与 y24x 联立，得 y2 4ky4t第21页（共 28页）0，由此利用根的判别式， 韦达定理、 直线与抛物线的位置关系， 能求出 k1+k2 2k3的值与 k，y0无关，当且仅当 t1 时，定点为 T （1， 0），定值为 0【解答】解：（ 1）由题意知 E（3，2），设抛物线 C 的准线为直线 l，过 M，N，E 分别作直线 l的垂 线，垂足分别为 M ，N，E，则|MF| |MM |， |NF| |NN |，|EE | 43+ 4，解得 p 2，抛物线

31、C 的方程为 y24x （2）由题意知，直线 l 的斜率存在，且不为 0，设直线 l 的方程为 xky+t ，与 y2 4x 联立，得：y24ky4t 0， 16k2+16t>0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（ 1，y0），y 1+y 2 4k， y1y 2 4t ，k 1+k 22k 3x 1+x 2 k （ y1+y 2） +2t 4k 2+2t ，+k1+k22k3的值与 k，y0无关，当且仅当 t1 时，定点为 T（1，0），定值为 020【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可； （2）依题意，日行步数 （千步）服从正态分布 N（， 2），由 （1）知

32、12，又的近似值为 2，所以 P（ 14<<18） P（+ < < +3）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为 0 元的概率为 0.02，奖 励金额为 100元的概率为 0.88，奖励金额为 200 元的概率为 0.1， 确定随机变量 X 的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对 应的概率，列出分布列求期望即可【解答】解：（ 1）这 300 名员工日行步数的样本平均数为 2（5× 0.005+7 × 0.005+9 × 0.04+11× 0.29+13× 0.11+15 × 0.03+17 

33、15; 0.015+19×0.005） 11.68 12千步；（2）因为 N（ 12， 22），所以 P（14< <18）P（ 12+2<< 12+3×2） P（6<<18） P（10<<14）0.1574，所以走路步数 （14，18）的总人数为 300×0.157447 人； （3）由频率分布直方图知每人获得奖励为 0 元的概率为 0.02，奖 励金额为 100元的概率为 0.88，奖励金额为 200 元的概率为 0.1， 由题意知 X 的可能取值为 0， 100，200，300，400， P（X0）0.0220.

34、0004，P（X100）2×0.02×0.880.0352，P（X200）0.882+2×0.02×0.10.7784，P（X300）2×0.88×0.10.176，P（X400）0.120.01，E（X）21【分析】所以 X 的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.012161）f （x）的定义域为（ 0，+），求出导函数，通过当 a0时，当 a>0时，判断

35、导数的符号，判断函数的单调性即可2）利用 f（ x）有两个零，得到，推出 a>2e，要证原不等式成立， 只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x> 0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可解 答 】 解 ：（ 1 ） f （x）的定义域为（0，+）， 且 当 a0 时，f'（x）0，f（x）的单调递减区间为（ 0，+）； 当 a>0 时，由 f'（x）>故 f（ x）的单调递增区间为单调递减区间为 （2）证明：f（ x）有两个 零点，由（1）知 a>0 且，a>2e，要 证原 不 等 式成 立 ，只需 证 明， 只 需证 明只需证明一方面，且 f（ x ）在单调递增，故 ，（x0）， 则 （x）0；另一方面，令，当时， g'（x）0；当