高数积分总结

1、高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义 1：如果在区间I 上，可导函数F（x）的导函数为 f(x) ，即对任一 xI , 都有F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx,那么函数 F(x) 就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数。定义 2：在区间 I 上，函数 f （x）的带有任意常数项的原函数称为 f （x）（或者 f(x)dx ）在区间 I 上的不定积分，记作f ( x)dx 。性质 1：设函数 f(x) 及 g(x) 的原函数存在，则 f ( x)g( x)dxf ( x)dxg( x)dx 。性质 2：设函数 f(x) 的原函数存在， k 为非零常

2、数，则kf (x)dxkf ( x)dx 。2、换元积分法(1) 第一类换元法：定理 1：设 f(u) 具有原函数，(x) 可导，则有换元公式f (x) ' (x)dxf ()d ( x) 。例：求2 cos2xdx解2 cos2xdxcos2x ? 2dxcos2x ?(2x)' dxcos d将2x 代入，既得2 cos2xdxsin 2xC(2) 第二类换元法：定理 2：设 x(t ) 是单调的、可导的函数，并且' (t ) 0.又设f (t ) ' (t) 具有原函数，则有换元公式f (x)dx f (t) '(t )dt t1 ( x) ,其中

3、1 ( x) 是 x(t ) 的反函数。例：求dx(a0)x2a2解 1tan2 tsec2 t ，设 xtan t2t，那么2x2a2a2a2 tan2 ta 1tan2 t a sect, dx asec2 tdt ，于是dxa2a sec2 t dtsectdtx2a sectdxln secttan t Cx2a2 sectx2a2tant0a，且 sectdxa2ln xx2a2C ln( xx2a2 )C1 ，C1C ln ax2aa欢迎下载23、分部积分法定义：设函数( x) 及(x) 具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为'''移项得'()

4、''对这个等式两边求不定积分，得' dx' dx此公式为分部积分公式。例：求x cos xdx解x cosxdxx sin xsin xdxx cosxdxx sin xcos xC分部积分的顺序：反对幂三指。4、有理函数的积分x1dx例：求5xx26解 x25x6 ( x3)( x2)，故设x1ABx25x 6x3 x2其中 A,B 为待定系数。上式两端去分母后，得即x1A(x2)B( x3)x1( AB) x2A3B比较上式两端同次幂的系数，既有欢迎下载3AB12A3B1从而解得A4,B3于是x143x2dxx 3dx 4 ln x 3 3ln x 2 C5

5、x 6x 2其他有些函数可以化做有理函数。5、积分表的查询二、定积分1、定积分的定义和性质（ 1）定义：设函数 f (x) 在 a, b 上有界，在 a, b 中任意插入若干个分点a x0x1x2xn 1xnb把区间 a,b 分成 n 个小区间x0 , x1 , x1, x2 , xn 1 , xn各个小区间的长度依次为x1x1x0 , x2x2x1 , , xnxnxn 1在每个小区间 xi 1, xi上任取一点ixi 1ixi，作函数值 f ( i )与小区间长度xi 的乘积 f (i ) xi i1,2, n ，并作出和nSf (i ) xii 1记max x1 , x2 , , xn

6、，如果不论对 a,b 怎么划分，也不论在小区间 xi 1, xi 上点i 怎么选取，只要当0 时，和 S 总趋于确定欢迎下载4的极限 I ，那么称这个极限 I为函数 f ( x) 在区间 a,b 上的定积分b( 简称积分 ) ，记作f ( x)dx ，即abnf ( x)dx Ilimf ( i ) xia0i 1其中 f (x) 叫做被积函数， f ( x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a,b 叫做积分区间。定理 1：设 f (x) 在区间 a,b 上连续，则f ( x) 在 a, b 上可积。定理 2：设 f ( x) 在区间 a, b

7、 上有界，且只有有限个间断点， 则 f ( x) 在 a,b 上可积。bf ( x)g( x) dxbf ( x) dxbg( x)dx（2）性质 1： aaabkf ( x)dx kb性质 2：af ( x)dx(k是常数 )a性质 3：设 a cb ，则bcbf ( x)dxf (x) dxf ( x)dxaac性质 ：如果在区间 a, b 上 f ( x)1，则4bbdxba1dxaa性质 5：如果在区间 a, b 上， f (x)0，则b0 abf (x)dxa推论 1：如果在区间 a, b 上， f (x)g( x) ，则bf (x)dxbg ( x)dx a baa欢迎下载5bbf

8、 (x) dx(ab)推论 2：f ( x)dxaa性质 6：设 M及 m分别是函数 f ( x) 在区间 a,b 上的最大值和最小值，则m(b a)bM (b a)( ab)f ( x)dxa性质 7( 定积分中值定理 ) ：如果函数 f ( x) 在积分区间 a,b 上连续，则在 a,b上至少存在一个点，使下式成立bf ( )(b a)(ab)f ( x)dxa2、微积分基本公式(1) 积分上限函数及其导数定理 1：如果函数 f (x) 在区间 a,b上连续，则积分上限的函数xf (t) dtxa在 a,b 上可导，并且它的导数dxf (x)(a xb)'( x)f (t )dtd

9、x a定理 2：如果函数 f (x) 在区间 a,b上连续，则函数xf (t )dt( x)a就是 f ( x) 在区间 a,b 上的一个原函数。(2) 牛顿 - 莱布尼茨公式定理 3：如果函数 F ( x) 是连续函数f ( x) 在区间 a,b 上的一个原函数，则欢迎下载6bf ( x)dxF (b)F (a)a3、定积分的换元法和分部积分法(1) 定积分的换元法定理： 假设函数 f ( x) 在区间 a,b 上连续，函数 x=(t) 满足条件 :( )=a, ( )=b;(t) 在 , 上具有连续导数，且其值域R =a,b,则有b()( )'a fdxf( )dt(1)xtt公式

10、 (1) 叫做定积分的换元公式(2) 定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得b'aba u vdxuvba vdu三、反常积分（一）无穷限的反常积分定义 1 设函数法 f(x) 在区间 a,) 上连续，取 t>a, 如果极限limtf ( x)dxat存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 a,) 上的反常积分，即taf (x)dxlim af ( x)dxt欢迎下载7（二）无界函数的反常积分定义 2 设函数 f(x) 在(a,b 上连续，点 a 为 f(x) 的丅点。取 t>a, 如果极限blim t f (x)dxt a存在，则称此极限为函数f(x) 在(

11、a,b 上的反常积分，仍然记作ba f (x)dx ，即bb f ( x)dx lim t f ( x)dxa= t a例题1dx讨论反常积分2的收敛性。1 x12解：被积函数 f （x）= x 在积分区间 -1,1上除 x=0 外连续，且1limx0 x2由于0dx112lim ()1xx 0x0dx1dx1212即反常积分x 发散，所以反常积分x 发散bf xdx 的积分区间 a， b 是有限区间， 又 fx 在 a， b 上定积分 a欢迎下载8是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fx 推广到无界函数， 就是两种不同类型的反常积分：1. 无穷区间上的反常积分（ 1）概念fxdx limb

12、f x dx定义： aba若极限存在，则称反常积分afx dx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分f x dx是发散的，而发散的a反常积分没有值的概念 .blimbdxf x dxf xaa同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.fcf xdxf x dxx dxclimclimbx dxf x dxfaabc同样有收敛和发散的概念， 收敛的反常积分有值的概念，值得注f x dxlimRf x dx意：判断的收敛性不能用 RR的极限存在性 . 必须cfx dx 和 cfx dx 两个反常积分都收敛，才能知道f x dx要求是收敛的，但是如果已经知道f x dx 是收

13、敛的，而求它的值，那limRxdxf是可以的 .么计算 RR（ 2）常用公式dx1, p收敛，p11xp1p发散，1dx1, p收敛，du1ex(ln x) p1u pp1p发散，1欢迎下载9收敛 (0）xk e xdx0）a发散 (，( k0）2. 无界函数的反常积分（瑕积分）（ 1）概念：设 f xlim f x在 a， b) 内连续，且 x b，则称 b 为 f x 的瑕点，blimbf x dxf x dx定义oaabfx dx 收敛，且它的值就是极限值 .若极限存在，则称反常积分ab若极限不存在，则称反常积分的概念 .afx dx 发散，发散的反常积分没有值设 f xlim f x，

14、则称 a 为 f x 的瑕点，在 (a， b 内连续，且 x abx dx limb定义ff x dxa0ab若极限存在，则称反常积分afx dx 收敛，且它的值就是极限值，bx dx若极限不存在，则称反常积分f发散，它没有值 .a设 f xlim fx，则称 c 为 f x在 a， c) 和 (c， b 皆连续，且 x C的瑕点，定义bcblimC 1f x dxlimbf x dxfx dxf x dxf x dxaac1 0a20C 2( 值得注意：这里判别收敛性时，1 和2 要独立地取极限，不能都用0 来代替)bf x dx若上面两个极限都存在时才称反常积分a是收敛的，否则bf x d

15、x 发散 .反常积分 a1 dx 收敛 ( q1时）（ 2）常用公式： 0 xq 发散 ( q 1时）欢迎下载101 dx1 dx0q1qx类似地考虑 （ x 1） 和最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.( 乙) 典型例题一、用常规方法计算定积分【例 1】求下列定积分（ 1）（ 3）22 cos xdx3x（2）x arctanxdx00ln 2ex1dx022 cos xdx=2x2d sin xx2222解（1）xsin x 0xsin xdx00022xd cos x222cos xdx02x cosx 004

16、242sin x 0313arctan xdx22313x22 dxx arctan xdxx arctan x 0（2） 02 022 0 1 x3 arctan 3 1 2231012 dx1x13arctan x 033123 22222332（ 3）令 ex1 t, x ln t 21dx2tdt , x00 ； xln 2 时， t 1t2 1时 tln 2ex12t2111dt于是 01dx2dt21t20 t102 t1arctan t 0 2 14欢迎下载11【例 2】计算下列定积分（分段函数）1eln x dx3x dx（1）x211（2） e3dx（3）min 1, x22

17、10x213x dx 3解（1）x23x dx3x dxx2110e1e1 ln x dx1 ln x dxln xdx（ 2） ee1x ln x x 1x ln x x2 1 11ee1e（ 3）min 1, x2dxdxx2dx3dx 1131122113二、用特殊方法计算定积分【例 1】计算下列定积分I2f (sin x)dx（ 1）0f (sin x)f (cos x)（ f 为连续函数，f (sin x) f (cos x) 0 ）（ 2）I4 ln(1 tan x)dx0解（1）令xt2，则I2f (cost)dt, 2I2 dt,I0f (cos t )f (sin t )02

18、4xt（2）令4，则Iln 11tan td ( t)4 ln2dt041tan t01tantln 2I ,2 Iln 2, Iln 2448欢迎下载12ee【例 2】设连续函数 fx 满足 f xln x1fx dx ，求 1f x dxef x dx A ，则 fxln x A ，解令 1两边从 1 到 e 进行积分，得eeee1f x dx1ln xdx1Adx( xln xx) 1A(e 1)A e(e1)A(e1),eA1于是1, Aeefx dx1则1e三、递推公式形式的定积分I n2nxdxn，【例 1】设sin0 1 20I nn1求证当 n2 时，nI n 2求 I n解（

19、1）I n2 sinn1 xdcos xsin n 1 x cos x 22 cos xd sinn 1 x000n12cos2 xsin n 2xdx n 12 1sin 2 x sin n 2 xdx00n1I n2n1 I nnI nn 1 I n 2 ，则 I nn n 1 I n 2 n 2（ 2）I 02 dx2， I 12 sin xdx100当 n2k ，正偶数时，I nI 2k2k12k12k31I 02kI 2k22k2k222k!2k!2k k!2222k22k !当 n2k1 ，正奇数时，欢迎下载132k2k2k22I nI 2k 12k 1 I 2 k 12k 1 2

20、k 1 3 I 1222k k!22 kk !2k1 !2k1 !Jn2nxdxn，J n I n n 01，2，【例 2】设0cos0 1 2，求证：xt， Jn0cosnt d t2 sin n tdt证令2220则JnI nn 0，1， 2，【例 3】设K n4tan2 n xdxn1，2， 3，0K n1K n1求证：2n1求 K nn1，2，3，K n42 n 1xsec2 x1 dx解（ 1）0tan42 n1 xd tan xK n 1tan01K n 12n1K142 xdx4sec2 x 1 dx（ 2）tan00tan xx4104 ，11，K 3111K 234534当

21、n3 ，正整数时nnKn1n 1114k 2k 112k1四、重积分（一）二重积分的性质与概念定义：设 D是错误 ! 未找到引用源。 面上的有界闭区域， 错误 ! 未找到欢迎下载14引用源。 在 D 上有界，将区域 D任意分成 n 个小闭区域 错误 ! 未找到引用源。，其中错误 ! 未找到引用源。 既表示第 i 个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域 错误 ! 未找到引用源。 上任意取一点 错误 ! 未找到引用源。，作 n 个乘积错误 ! 未找到引用源。，然后作和式记错误 ! 未找到引用源。，如当错误 ! 未找到引用源。 时，以上和式有确定的极限，则称该极限为 错误 ! 未找到引用源。 在区域

22、 D 上的二重积分，记作 错误 ! 未找到引用源。 或错误 ! 未找到引用源。，即其中错误 ! 未找到引用源。 称为被积函数， 错误 ! 未找到引用源。 称为被积表达式， 错误 ! 未找到引用源。 称为面积元素， 错误 ! 未找到引用源。称为积分变量， D 称为积分区域， 错误 ! 未找到引用源。 称为积分和式几何意义当错误 ! 未找到引用源。时，错误 ! 未找到引用源。等于以区域 D为底，曲面错误 ! 未找到引用源。 为顶的曲顶柱体体积；当错误 ! 未找到引用源。 时，错误 ! 未找到引用源。 等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；当错误 ! 未找到引用源。时，错误 ! 未找到引用源。等于区域

23、 D的面积。1. 二重积分的性质存在性：若 错误 ! 未找到引用源。 在有界闭区域D 上连续，则 错误 !欢迎下载15未找到引用源。 存在线性性质：区域可加性设错误 ! 未找到引用源。，即错误 ! 未找到引用源。，且错误 ! 未找到引用源。与错误 ! 未找到引用源。 只在它们的边界上相交，则：有序性若在区域 D上错误 ! 未找到引用源。，则有：特殊地，有估值不等式设错误 ! 未找到引用源。 在区域 D 上有最大值 M，最小值 m，错误 ! 未找到引用源。 是 D的面积，则有：积分中值定理设函数错误 ! 未找到引用源。 在有界闭区域 D上连续，错误 ! 未找到引欢迎下载16用源。是 D的面积，则

24、至少存在一点错误 ! 未找到引用源。，使错误 !未找到引用源。例 1 试用二重积分表示极限 错误 ! 未找到引用源。 .解：错误 ! 未找到引用源。错误 ! 未找到引用源。 .例 2 估计错误 ! 未找到引用源。 的值，其中 错误 ! 未找到引用源。解：因为错误 ! 未找到引用源。，积分区域 错误 ! 未找到引用源。，在 D上错误 ! 未找到引用源。 的最大值 错误 ! 未找到引用源。，最小值错误 !未找到引用源。，故 :（二）二重积分的计算（一）直角坐标系X型区域将区域 D投影到 x 轴上，投影区间为 错误 ! 未找到引用源。，D的边界上下两条曲线 错误 ! 未找到引用源。，则 D表示为：y

25、 型区域将区域 D投影到 y 轴上，投影区间为 错误 ! 未找到引用源。，D的边界上下两条曲线 错误 ! 未找到引用源。，则 D表示为：欢迎下载17例 1 计算，其中 D是由直线 错误 ! 未找到引用源。 所围成的闭区域。解：（三）二重积分的计算（二）极坐标系极点在 D外，则 D:极点在 D的边界上，则 D:极点在 D内：例 1 计算错误 ! 未找到引用源。，其中 D为由圆错误 ! 未找到引用源。及直线错误 ! 未找到引用源。 所围成的平面闭区域欢迎下载18解：因为所以五、曲面和曲线积分（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）1、定义nsi ，nf ( x, y)dslimf (i , i

26、 )f (x, y, z)dslimf (i ,i , i ) siL0i 10i 12、物理意义 线密度为(x, y)的曲线 L 质量为M( ,)Lx y ds线密度为的曲线 质量为( , ,)f (x, y, z)Mf x y z ds3、几何意义 曲线 L 的弧长 sLds ，曲线的弧长 sds4、若 L ： f (x, y) k （常数），则f (x, y)dskdskds ksLLL5、计算（上限大于下限 ）（1）L : x(t) , y(t) ,t，则f ( x, y)dsf (t),(t)(t ) 2(t ) 2 dtL（2）L ： y(x)(x0xX)，则f (x, y)dsX

27、f x,( x) 12 ( x)dxx0L（3）L ： x( y)( y0yY) ，则f (x, y) dsYf ( y), y 12 ( y) dy.y0L（4） : x(t ), y(t ),z(t).(t)，则欢迎下载19f ( x, y, z)dsf (t),(t ),(t )2 (t)2 (t )2 (t)dt()( 二) 、对坐标的曲线积分1、定义(,)(,)nP(i ,i )xiQ( i, i )yidxlimLP xyQx y dy01iP( x, y, z)dxQ(x, y, z) dyR(x, y, z)dznlimP( i ,i,i )xiQ(i, i , i ) yiR

28、( i , i,i )zi0 i12、计算（下限对应起点，上限对应终点 ）（1） L : x(t) , y(t) ,t :，则P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t),(t )(t )Q(t),(t )(t ) dtL（2）L：y( x)t : x0X，则PdxQdyb P x,(x)Q x,( x) ( x)dxaL（3）L：x( y)t : y0Y，则PdxQdyd P ( y), y( y)Q( y), y dycL（4） : x(t ),y(t), z(t).(t :)，则P( x, y, z)dxQ( x, y, z)dyR( x, y, z)dz P(t ),(t),(t)(t ) Q (t ), (t),(t)(t)R (t ), (t), (t)( t) dt3、两类曲线积分之间的联系PdxQdy( P cosQ cos)dsLL其中， ( x, y),(x, y) 为有向曲线弧 L 上点 ( x,y) 处的切线向量的方向角。PdxQdyRdz( P cosQ cosRcos ) ds，其中 ( x, y, z),( x, y, z),( x, y, z) 为有向曲