新北师大版九年级数学上第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例定理

1、复习回顾复习回顾比例的性质比例的性质:)(,)1(反比性质cdab)(,)2(合比性质ddcbba)(,)3(等比性质badbca那么如果,dcba如何证明如何证明?复习回顾复习回顾平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平如果一组平行线在一条直线上截得的线段相行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线等，那么在其他直线上截得的线段也相等。段也相等。推论推论2 经过梯形一腰的经过梯形一腰的中点中点,且与且与底边底边平行平行的直线平分另一腰。的直线平分另一腰。推论推论1 经过三角形一边的经过三角形一边的中点中点与与另一边另一边平行平行的直线必平分第边。的直线必平分第边。ll1

2、l3l2l1A2A3A2B3B3lll1A1B2A2B3A3B2l1l1l3lll1A1B2l2A2B3B3A32则BCAB探探 究究平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等观察观察:如图如图,两条直线被一组平行线所截两条直线被一组平行线所截,当当平行线间的距离不相等时平行线间的距离不相等时,得截得的线段得截得的线段AB与与BC,DE与与EF之间有什么关系之间有什么关系?ll1l3l2lABCDEF显然显然AB=BC,DE=EF探究探究:?相等吗与EFDEBCAB？那么32若EFDE，,BCAB？那么43若EFDE,，BCAB猜想：猜想：3243ABCDEFl1l2l332BCAB

3、考察P1P2P3Q1Q2Q3a1a1a3. .32EFDEBCAB可证依照上面方法倍是长度单位的倍的是长度单位时是互质的正整数有理数当,.),(nBCmABnmnmBCAB.EFDEBCAB有,32时当BCAB仍然有是实数时当,BCAB.EFDEBCAB.EFDEBCABll1l3l2lABCDEFDEEFABBCDFDEACABDEDFABACEFDFBCACDFEFACBCDFACEFBCDEABEFDEBCABEFBCDEABDFACEFBCll1l3l2lABCDEF根据比例的性质根据比例的性质 由由 可得可得:运用比例性质运用比例性质,由由 还可得到比例式还可得到比例式:EFDEBC

4、ABDEEFABBCDFDEACABDFEFACBC上下上下全上全上全下全下ll1l3l2lABCDEF上述结论用语言如何描述上述结论用语言如何描述平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线，三条平行线截两条直线，所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.符号语言：符号语言： ll1l3l2lABCDEF123,l /l/lA BD EB CE F 平行线分线段成比例定理推论:ABCl1l2 l3DEFABCl1l2 l3DF平行平行于三角形一边的直线截其他两边于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.平行

5、线分线段成比例定理推论:ABCDE“A”字图形ABCED“8”字图形表达式：DEBC， = .AD AEAB AC这是今后最常用的两个基本图形.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF1 1当当BCAB1 1当当BCAB如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地处均为直角，草地中间另有一条水泥直道中间另有一条水泥直道EF垂直于垂直于AB，垂足为，垂足为E.已知已知AE长长a米，米，EB长长b米，米，DF长长c米米.求求CF.abc?)米(即 ,90解：由 题：

6、由题意0abcCFCFcbaCFDFEBAEAD/EF/BCAB，EFBA例例1： 如图如图,ABC中中, DE/BC,DF/AC, AE=4,EC=2,BC=8.求求BF和和CF的长的长.解：解：./ BCDE42163. ( )ADAEABAC ./ ACDF) 2 (.CBCFABAD由（由（1）（）（2）式得：）式得：.316CF.832即CF.383168BF824FACBDE尝尝 试试 应应 用用例例2： 如图，如图，ABC中，中， DE/BC,EF/CD.求证：求证：AD是是AB和和AF的比例中项的比例中项.证明：证明： 在在ABC中，中，./ BCDE) 1 (.AEACADA

7、B在在ADC中中./DCEF) 2(.AEACAFAD由（由（1）（）（2）式得：）式得：.AFADADAB.2AFABAD即即AD是是AB和和AF的比例中项。的比例中项。FEBACD定理表明三条平行线可以把两条线段的比等值地进行传递： (截得的线段的长度变化,但比值不变.)A1A2A3B1B2B3C1C2C3已知已知:ABC中中DE/BC,DE分别交分别交AB,AC于点于点D,E.ABCDEF.BCDEACAEABAD分析：构造一组平行线分析：构造一组平行线,使使AE,AC,DE,BC为其截得的线段为其截得的线段. 例例3 3： 用平行于三角形一边且和其他两边相交的用平行于三角形一边且和其他

8、两边相交的直线截三角形直线截三角形, ,所截得的三角形三边与原三角形所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例三边对应成比例. .求证：求证：DE/BCACAEABADEF/ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例例3 已知已知:ABC中中, DE/BC,DE分别交分别交AB,AC 于点于点D,E.求证：求证：.BCDEACAEABAD证明证明:过点过点E作作EF/AB,交交BC于点于点F.,ACAEBCBFACAEABAD,/,/ABEFBCDE且四边形且四边形DEFB为平行四边形为平行四边形.BFDE .BCDEACAE.BCDEACAEABADABCDEF 如图如图,直线

9、直线l1,l2被三个平行平面被三个平行平面 , , 所截所截,直线直线l1与它们的交点分别为与它们的交点分别为A,B,C,直线直线l2分别为分别为D,E,F?相等吗与EFDEBCAB探究GH课本课本P9思考思考:平行线截线段成比例在空间成立吗平行线截线段成比例在空间成立吗? 如果将平行线改为平面呢如果将平行线改为平面呢?三三.平行线分线段成比例定理的推广平行线分线段成比例定理的推广探究探究:平行线改为平面后，应考虑两种情形：平行线改为平面后，应考虑两种情形：lABCDEFABCDEFll共面与 ll异面与ll1lGPQR.EFDEBCAB如图如图,ACB=900,以以BC为边作为边作正方形正方

10、形BEDC,连接连接AE,交交BC于于F,FG/AC.求证求证FC=FG。 证明：证明：BE/AC/FGAEAFBEFG又CF/DE， AEAFDECF DECFBEGFCF=GF 练练 习习小结二、要熟悉该定理的几种基本图形二、要熟悉该定理的几种基本图形三、注意该定理在三角形中的应用三、注意该定理在三角形中的应用作业1 1、已知、已知ABAB、CDCD为梯形为梯形ABCDABCD的底，对角线的底，对角线ACAC、BDBD的的交点为交点为O O，且，且AB=8AB=8，CD=6,BD=15CD=6,BD=15，求，求OBOB、ODOD的长。的长。2、如图，在如图，在ABC中，作平行于中，作平行

11、于BC的直线交的直线交AB于于D，交交AC于于E，如果，如果BE和和CD相交于相交于O，AO和和DE相交于相交于F，AO的延长线和的延长线和BC交于交于G。证明：（证明：（1） （2）BG=GCFEDFGCBG4、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EFAD，假设EF作上下平行移动，ADBCEF：，EBAE2321) 1 (求证如果ADBCEF：，EBAE32532)2(求证如果。，nmEBAE，什么结论那么可以得到即如果请你探究一般结论)3(3、如图，A、B两点间隔一个湖泊，因而A、B两点间的距离无法直接测量，请你设计一个间接测量AB长度的方案，并说明所设计方案的合理性。ABCDE思考：思考：.,/ACAEABADBCDE有时当?/,是否成立呢时当BCDEACAFABADACAEABADACABEDABC且上分别在边点中已知,:./:BCDE求证.ACAEABAD.EAAE.重合与直线即直线重合与点因此点DEEDEE./ BCDE所以(?).ACEAABAD则于点交作直线过证明.,/:EACBCEDDE引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的或两边的延长线延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。线平行于三角形的第三边。同一法同一法三角形内角平分线定理：三角形内角平分线定理