旅游路径问题

1、评委一评分，签名及备注队号：*评委三评分，签名及备注评委二评分，签名及备注选题：C评委四评分，签名及备注题目：家庭暑期旅游套餐的设计摘要本文主要针对不同家庭的需求先建立相应的数学模型，再综合考虑了旅行线路费用、时间限制、景点满意度、家庭人数、家庭结构等因素，并致力于通过所建立的数学模型,应用于实际问题当中，我们最终建立的模型是受多个约束因素控制的数学模型，因而适用面广，改变约束因子的个数即可帮助不同需求的家庭进行决策提供理论支持。最后以游览北京的前15大著名景点为例，建立北京市最佳旅游计划方案的图论模型，运用01规划的数学方法，提出求解的近似算法（TSP算法），并运用所编写Lingo程序求解最

2、优方案的制定，最终得到最佳旅游套餐建议。主要通过三种不同的方案来讨论。 方案一：建立了双目标最优化模型。选定15个游览景点，在约束条件下，建立0-1规划模型，以总费用最小且满意度目标函数。使用 lingo 编程，最后求得的最小费用是：755元。具体方案为：117 463211011 方案二：建立了双目标最优化模型。巧妙地将该问题化为TSP，以满意度为目标函数，在时间的约束条件下，运用lingo 编程，最后求得满意度是：0.86。旅游路线为：1-4-10-3-11-13-14-2-1，花费401.9元，共8个景点 方案三：建立了多目标最优化模型。基于方案一与二，以最小费用和最大满意度且游览景点最

3、多为目标函数，在约束条件下，采用分层求解法，运用lingo 编程，最后得出满意度是：0.83，费用为782元。推荐路线：11276310511最终的数学模型提供了一种简约而全面的决策方案，家庭成员可以按照这个模型快速的获取旅游的最佳解决方案 关键字：最优路线; 0-1规划；约束因子；TSP算；lingo求解；家庭暑期旅游套餐的设计1.问题的重述根据对题目的理解我们可以知道，需要解决的问题是针对不同的家庭的不同需求，并且综合考虑旅游费用限制、时间限制、景点满意度、家庭人数、家庭结构类型等因素建立数学模型。所以我们的目标就是在满足特定或者所有约束条件的情况下，建立应用面较广的数学模型。现需要解决以

4、下问题:1.如何在旅游过程中花最少的钱游览最多的景点？ 2.如何在旅游过程中以最大的满意度游览尽可能多的景 点？ 3.如何在旅游的过程中既要少花钱，又要参观尽可能多的 景点，还要达到最大的满意度？ 2.问题的分析2.问题一的分析不同结构的家庭会对游览景点的个数和在旅途中过程中的花费存在不同的价值观念。也就是说每个家庭对旅游过程中的不同因素的注重点是不相同的。经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是使游客在旅游过程中花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费，这样最终会得出几种推

5、荐旅游路线。游览的总费用由3部分组成，分别为交通总费用、在旅游景点的花费和每天的餐饮费。2.2问题二的分析本方案所要实现的目标是，使游客在游览过程中满意度高且旅游景点尽量多。显然，满意度高和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。满意度是旅客用来评估所参观的景点是否值得的一个参数。在本方案中，通过搜集到的北京排名前15的景点，以排名次序为依据，排名越靠前的景点，其带给旅客的满意度就越高，从而可得出不同景点对应的满意度（参照表4-1）。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费。其中，满意度是根据网上关于15个景点的排名得出的，排名越靠前的景点，给旅客带来的满意度也越高。

6、2.3问题三的分析本题所要实现的目标是，使游客在游览过程中花最少的钱获得尽可能高的满意度和游览尽可能多的旅游景点。显然，花费最少、游览的满意度高和尽可能多的旅游景点是该问题的三个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种推荐旅游路线，而旅客可以根据自己的实际情况进行选择。3.模型的假设和符号说明3.1模型假设1市内交通出行可乘公交车（含专线大巴），公交车时速35km/小时，价格每0.5元/km/每人；2所有的旅客都不愿意重复游览同一个景点，也就是说旅客经过每个景点只有一次；3假设景点的开放时间为8：00-18：30；4忽略天气，意外事故等不

7、可抗因素对旅游路线的影响；5. 每个家庭都是以故宫作为起点和终点；6. 考虑最短路线时，所截取的路线均是直线不涉及实际路线；7. 每个景点排名与满意度成正相关，也就是说，排名越靠前的景点，给人的满意度就越高；8.所有家庭在北京游览上述景点时，所花时间在2到15天之间；3.2 符号说明符号符号意义 从第景点到第景点的距离（ =1，2，3，20）从第景点乘坐公交到第景点的费用第景点的吃喝与门票费用 旅游者在第景点停留的时间 =0表示景点和景点不连接 =1表示景点和景点连接第景点的满意度n(各景区)参观景点的个数4.模型的建立和求解4.1模型的准备我们讨论中必须应首先认识到不同家庭可能游玩的景点个数

8、不同，这个变量我们设为n，所游玩时间限制变量为t小时，所花费的总费用为m元，旅游景点的满意度为，且以满意度最高的景点为出发点，最后而且又回到该点。以下分析是针对家庭中一个成员而言，对于最优化问题我们的数学描述如下：4.2 方案一的建立4.2.1 目标函数的确立： 每个家庭成员在旅游的交通总花费； 每个家庭成员在旅游景点的总花费； 每个家庭成员在整个旅游过程中的个人额外消费； m=+； 而得到目标函数：min m，m为交通总花费 因为 表示从第 i个景点到第 j个景点距离，表示从第个景点到第个景点所需的交通费用而 是判断代 表们是否从第 i个景点直接到第 j个景点的 01 变量，d表示家庭旅游人

9、数，因此我们可以很容易的得到交通总费用为： 4.2.2 约束条件：（1）时间约束 根据网上的数据调查显示知，游客在北京旅游时间一般介于215天之间，而这些时间包括在路途中的时间和在旅游景点逗留的时间。因为表示在第 i个景点逗留时间，所以在景点游玩总时间为： 景点15345678/h4.50.52.03.52.51.51.52.5景点9101112131415/h3.01.53.02.02.04.52.0 表4-1不同的景点逗留的时间长度t小时 路途中所需总时间为：总的时间约束为： （20T150） （2）01 变量约束 我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。 对于每个点

10、来说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来， 并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束： （i,j=1,2,3，15） 当时，因为故宫是出发点，所以；时，因为代表们最终要回到故宫，所以。 综合以上可知， （，=1，2，15） 同样，当，时，根据假设不可能出现，即不可能出现游客在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束： （ ，=1，2，15）（3）游玩景点个数限制 最多游玩15个景点： 4.2.3 模型的求解：通过LINGO求解，推荐路线有：（1） 1-14-11-3-2-4-1，花费329.05元，共6个景点（2） 1-4-3-11-13-

11、14-2-1 ，花费362.9元，共7个景点（3） 1-4-10-3-11-13-14-2-1，花费401.9元，共8个景点（4） 1-2-10-4-6-3-11-13-14-1 ，花费450.6元，共9个景点以第三条路线为例子编写日程表如下表： 类型天数时间安排第一天8:3013:00故宫游玩14:0014:10乘124路车从故宫到什刹海14:1016:40什刹海游玩16:4016:50步行从什刹海到恭王府16:5018:20恭王府游玩17:00次日08:00住宿第二天8:309:00乘地铁4号线车从恭王府到颐和园9:0011:00游览颐和园14:0014:15乘563路车从颐和园到香山公园

12、14:1517:15香山游玩17:1517:45乘563路车从香山公园到玉渊潭17:4518:45玉渊潭游玩20:00次日08:00住宿第三天8:308:45乘13路车从玉渊潭到北海公园8:4513:15游览北海公园14:0014:10乘专2路车从北海公园到天安门14:1014:40游览天安门14:4014:45步行从天安门返回到故宫 类型天数时间安排第一天8:3013:00故宫游玩14:0014:10乘124路车从故宫到什刹海14:1016:40什刹海游玩16:4016:50步行从什刹海到恭王府16:5018:20恭王府游玩17:00次日08:00住宿第二天8:309:00乘地铁4号线车从恭

13、王府到颐和园9:0011:00游览颐和园14:0014:15乘563路车从颐和园到香山公园14:1517:15香山游玩17:1517:45乘563路车从香山公园到玉渊潭17:4518:45玉渊潭游玩20:00次日08:00住宿第三天8:308:45乘13路车从玉渊潭到北海公园8:4513:15游览北海公园14:0014:10乘专2路车从北海公园到天安门14:1014:40游览天安门14:4014:45步行从天安门返回到故宫4.2.4模型的结果分析： 由于不同的家庭会有不同侧重点，所以可以根据所得的4条最优路线选择最适合自己的设计方案。比如希望在花费和旅游景点个数都考虑的前提下更注重旅游景点的个

14、数，则可以选择（3）或（4）路线，反之可以选择（1）或（2）。4.3 模型二建立4.3.1 目标函数的确立： 最高满意度 max 不同的景点所对应的满意度的：景点标号与其对应的相对满意度（）123456780.125000.116670.108330.100000.091670.083330.075000.0666791011121314150.058330.050000.041670.033330.025000.016670.00833 表4-24.3.2约束条件 1）时间约束 根据网上的数据调查显示知，游客在北京旅游时间一般介于215天之间，而这些时间包括在路途中的时间和在旅游景点逗留的时

15、间。因为表示在第 i个景点逗留时间，所以在景点游玩总时间为： （各个景点逗留的时间与景点的关系如表4-1 ）路途中所需总时间为：总的时间约束为： （20T150）2）01 变量约束 可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。 对于每个点来说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来， 并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：j=1时， ； i=1时， 无往返： （3）游玩景点个数限制最多游玩15个景点: max （与各个景点之间的关系如表4-2所示） 4.3.3模型的求解通过LINGO求解，推荐路线为：1-7-15-12-14-2-11-3-4-6-13-10

16、-8-9-5-1，满意度=1，共15个景点根据上述路线编的日程表如下： 类型天数时间安排第一天8:3013:00故宫游玩14:0015:30乘5路车从故宫到明十三陵15:3016:00明十三陵游玩16:0017:00乘43路车从明十三陵到石花洞17:00次日08:00住宿第二天7:309:30石花洞游玩9:3011:00打的从石花洞到恭田峪12:0014:00游玩恭田峪14:0016:00乘H24区车从恭田峪到北海公园16:0020:30游玩北海公园20:30次日08:00住宿第三天8:308:50乘5路车从北海公园到天安门8:509:20游览天安门广场9:2010:10乘地铁1号线从天安门到

17、香山公园10:1013:10游览香山公园13:1013:30乘563路车从香山到颐和园13:3015:30颐和园游玩15:3016:00乘地铁4号线从颐和园到什刹海16:0019:30游玩什刹海20:00次日8:00住宿4.3.4模型的结果分析： 根据所得结果可知，在考虑到满意度和旅游景点个数兼顾的时候，即选择路径最长的旅游线路。4.4方案三 4 .4.1目标函数的确立 6.3.2 约束条件：（1）时间约束 景点逗留时间：T因为表示在第 i个景点逗留时间，所以在景点游玩总时间为： （各个景点逗留的时间与景点的关系如表4-1 ） 路途中所需总时间为 总的时间约束为： （20T150）（2）01

18、变量约束 ：通过把所有的景点连载一起，根据假设可得， 对于每个点来说，只允许最 多一条边进入，同样只允许最多一条边出来， 并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束： j=1时， ； i=1时， 又因为不重复游览景点可得：（3）最多游玩15个景点：（4）满意度约束 从而得到目标函数： 6.3.3 模型的求解通过LINGO求解，推荐路线为：1-4-10-3-11-13-14-2-1 ，花费401.9元，满意度为0.55.并以该路线编得日程表如下： 类型天数时间安排第一天8:3013:00故宫游玩13:0013:10步行从故宫到天安门14:0014:30天安门游玩14:3014:40乘地铁

19、1号线从天安门到恭王府14:4016:10恭王府游玩16:1016:15步行从恭王府到什刹海16:1519:45什刹海游玩20:00次日08:00住宿第二天8:308:45乘地铁8号线从什刹海到鸟巢8:4510:15游览鸟巢10:1510:40乘地铁10号线从鸟巢到颐和园10:4012:40颐和园游玩14:0014:20乘563路车从颐和园到香山公园14:2017:20香山公园游玩17:2018:00乘563路车从香山公园到玉渊潭20:00次日08:00住宿第三天8:3010:30玉渊潭游玩10:3010:45乘13路车从玉渊潭到北海公园10:4515:15北海公园游玩15:1515:25乘1

20、03路车从北海公园返回到故宫6.3.4模型的结果分析在同时考虑到费用，旅游景点和满意度最优的情况下，可以得到一条最接近需求的设计路线。5.模型的评价5.1优点：1. 本文使用的模型和方法较为广泛，对问题的分析产用了不同层次的模型，适于不同旅客结合自几的情况选择最优的旅游方案。2.本文结符合实际，能够很容易的为不同的家庭找到合适的旅游模型。5.2缺点：1. 数据大部分参考来自于互联网，数据缺乏一定的准确性。2. 没有考虑充分旅行路线的实际路况。3. 本文的模型均建立在速度、单位行程的费用等都为恒定的基础假设之上，且考虑的景点数较多，没有区分市内景点和周边地区的景点，也没有考虑旅途休息，有一定的局

21、限性。 参考文献1 陈晶晶 毛谦 刘国辉，我国互联网用户数预测研究，光通信研究，第 12， 2 徐伟 师义民 秦超英等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，210 月3 薛定宇 陈阳泉，高等应用数学问题的 MATLAB 求解，北京：清华大学出4 肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：西北工业大学，2008 年 11 月附录清单 ： 附录一为搜集的数据 , 附录二为程序运行的代码及结果; 附录一：123456789101112131415101.1204.19012.55317.14.14.826.674.810.83.350.921.10235.591.113.654.118.23.35.

22、927.775.911.94.450.83202301882.312.841.23.124.116.59.178.126.733.569.544.15.5180908.451138.21.522.970.7104.953.159091.182.390089.541.18094.585.591.4151.5108155.5127.7612.513.612.88.489.50489.716.69.921.962.318.313.36175354.141.25141.148038.858.257.750.3110.367.973.4111817.118.23.113809.738.8021.214.

23、812.274.929.827.372.994.13.324.18.294.516.658.221.209.930.774.914.97.478104.85.916.51.585.59.957.714.89.9021.872.28.53.451.61126.627.79.122.991.421.950.312.230.721.8084.217.625.160.71274.875.978.170.7151.562.3110.374.974.972.284.2082.175.6125.21310.811.926.71010818.367.929.814.98.517.682.107.547.114

24、3.34.433.54.9155.513.373.427.37.43.425.175.67.5050.61550.950.869.553.1127.76111172.97851.660.7125.247.150.60 通过百度地图得到前15个最吸引人的景点之间的距离 1.故宫 2.天安门广场 3.颐和园 4.什刹海 5. 八达岭长城 6. 鸟巢 7. 明十三陵 8.圆明园 9.天坛 10. 恭王府11. 香山公园 12. 慕田峪长城 13.玉渊潭公园 14.北海公园 15.石花洞 通过网络搜集到的对应不同的景点旅游费用c元景点代号123456789101112131415景点消费50 0354

25、05446355746392934384047附录二：模型一代码：sets:jingdian/1.15/:c,t,l;!其中：1,2,.,15分别代表故宫，天安门广场 ，颐和园，什刹海，八达岭长城 鸟巢，明十三陵 ，圆明园，天坛 ， 恭王府，香山公园，慕田峪长城，玉渊潭公园 ，北海公园 ，石花洞；c，t分别表示旅行团在各景点的吃住消费和逗留时间； l是为了控制不出现两个以上环形回路而设的一个变量;links(jingdian,jingdian):x,cc,tt;!其中：x为0-1变量（0表示两景点不相连，1表示两景点相通）；cc为两景点之间的交通费用；tt为两景点之间的交通时间;endsets

26、data:t=4.5 0.5 2.0 3.5 2.5 1.5 1.5 2.5 3.0 1.5 3.0 2.0 2.0 4.5 2.0; c=50 0 35405446355746392934384047;tt=00.0314290.571430.117142.57140.357141.51430.488570.117140.137140.762.13710.308570.0942861.45430.03142900.657140.157142.60290.388571.54570.520.0942860.168570.791432.16860.340.125711.45140.571430.6

27、571400.514292.35140.365711.17710.0885710.688570.471430.262.23140.762860.957141.98570.117140.157140.5142902.57140.241.45710.371430.234290.0428570.654292.020.285710.141.51712.57142.60292.35142.571402.55711.17432.28572.72.44292.61144.32863.08574.44293.64860.357140.388570.365710.242.557101.37140.277140.

28、474290.282860.625711.780.522860.381.74291.51431.54571.17711.45711.17431.371401.10861.66291.64861.43713.15141.942.09713.17140.488570.520.0885710.371432.28570.277141.108600.605710.422860.348572.140.851430.782.08290.117140.0942860.688570.234292.70.474291.66290.6057100.282860.877142.140.425710.211432.22

29、860.137140.168570.471430.0428572.44290.282861.64860.422860.2828600.622862.06290.242860.0971431.47430.760.791430.260.654292.61140.625711.43710.348570.877140.6228602.40570.502860.717141.73432.13712.16862.23142.024.32861.783.15142.142.142.06292.405702.34572.163.57710.308570.340.762860.285713.08570.5228

30、61.940.851430.425710.242860.502862.345700.214291.34570.0942860.125710.957140.144.44290.382.09710.780.211430.0971430.717142.160.2142901.44571.45431.45141.98571.51713.64861.74293.17142.08292.22861.47431.73433.57711.34571.44570;!其中：主对角线为零,表示各景点到时间为零;cc=0 0.55102.05456.2526.58.552.052.413.337.45.41.6525

31、.450.55011.52.7545.556.827.059.11.652.9513.8537.955.952.225.41011.50941.156.420.61.5512.058.254.5539.0513.3516.7534.752.052.7590454.225.56.54.10.7511.4535.3552.4526.554545.5541.1545044.7520.554047.2542.7545.775.755477.7563.856.256.86.44.244.750244.858.34.9510.9531.159.156.6530.526.527.0520.625.520.5

32、524019.429.128.8525.1555.1533.9536.755.58.559.11.556.5404.8519.4010.67.46.137.4514.913.6536.452.051.6512.054.147.258.329.110.604.9515.3537.457.453.7392.42.958.250.7542.754.9528.857.44.95010.936.14.251.725.813.313.854.5511.4545.710.9525.156.115.3510.9042.18.812.5530.3537.437.9539.0535.3575.7531.1555.

33、1537.4537.4536.142.1041.0537.862.65.45.9513.355549.1533.9514.97.454.258.841.0503.7523.551.652.216.752.4577.756.6536.713.653.71.712.5537.83.75025.325.4525.434.7526.5563.8530.555.536.453925.830.3562.623.5525.30;!其中：主对角线为零,表示各景点到自身的交通费用为零;n=?;!其中：n表示计划游玩的景点数目;Enddatamin=sum(jingdian(j):sum(jingdian(i):

34、x(i,j)*(cc(i,j)+0.5*(c(i)+c(j)+100;!目标函数：表示计划游玩的景点数目为n时的最小费用;for(jingdian(i):x(i,i)=0);!约束条件：表示各景点到自身没有路线相连的约束条件;for(jingdian(i)|i#ge#2:for(jingdian(j)|j#ge#2:x(i,j)+x(j,i)<1);!约束条件：表示除起点（故宫）外，若旅行团从景点i到景点j去游玩（即x(i,j)=1），则不会再从景点j到景点i去游玩（即x(j,i)=0），也就是说除起点外每个景点只游玩一次;a=sum(jingdian(j):sum(jingdian(i

35、):x(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j);sum(jingdian(j):sum(jingdian(i):x(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)<150;!约束条件:表示总的旅行时间（交通时间和景点逗留时间）不超过给定时间150小时;a=sum(jingdian(j):sum(jingdian(i):x(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j);sum(jingdian(j):sum(jingdian(i):x(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)>20;!约束条件:表示总的旅行时间（交通时间和景点逗

36、留时间）不超过给定时间20小时;for(jingdian(i):sum(jingdian(j):x(i,j)=sum(jingdian(j):x(j,i);for(jingdian(i)|i#eq#1:sum(jingdian(j):x(i,j)=1);for(jingdian(i)|i#ne#1:sum(jingdian(j):x(i,j)<1);!这三个约束条件：表示起点（故宫）有且仅有一条路线出去和一条路线进来，其它景点要么有且仅有一条路线出去和一条路线进来，要么既没有路线出去也没有路线进来;for(links:bin(x);!约束条件:表示0-1变量约束;sum(jingdian

37、(j):sum(jingdian(i):x(i,j)=n;!约束条件:表示旅游景点的数目为n的约束;for(jingdian(i):for(jingdian(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:l(j)>=l(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j)+(n-3)*x(j,i);for(jingdian(i)|i#gt#1:l(i)<n-1-(n-2)*x(1,i);l(i)>1+(n-2)*x(i,1);!这两个约束条件：为了控制不出现两个以上环形回路，保证有且仅有一条环形路线；运行程序结果如下：N=4 377.9000X( 1, 5) 1.000000 97

38、.00000X( 5, 11) 1.000000 87.20000X( 11, 14) 1.000000 47.05000X( 14, 1) 1.000000 46.650001-5-11-14-1N=5 336.8000X( 1, 9) 1.000000 50.05000X( 4, 11) 1.000000 45.95000X( 9, 4) 1.000000 47.10000X( 11, 14) 1.000000 47.05000X( 14, 1) 1.000000 46.650001-9-4-11-14-1N=6 329.0500X( 1, 14) 1.000000 46.65000X(

39、2, 4) 1.000000 22.75000X( 3, 2) 1.000000 29.00000X( 4, 1) 1.000000 47.05000X( 11, 3) 1.000000 36.55000X( 14, 11) 1.000000 47.050001-14-11-3-2-4-1 N=7 362.9000X( 1, 4) 1.000000 47.05000X( 2, 1) 1.000000 25.55000X( 3, 11) 1.000000 36.55000X( 4, 3) 1.000000 46.50000X( 11, 13) 1.000000 42.30000X( 13, 14

40、) 1.000000 42.75000X( 14, 2) 1.000000 22.200001-4-3-11-13-14-2-1 N=8 401.9000X( 1, 4) 1.000000 47.05000X( 2, 1) 1.000000 25.55000X( 3, 11) 1.000000 36.55000X( 4, 10) 1.000000 40.25000X( 10, 3) 1.000000 45.25000X( 11, 13) 1.000000 42.30000X( 13, 14) 1.000000 42.75000X( 14, 2) 1.000000 22.200001-4-10-

41、3-11-13-14-2-1 N=9 450.6000X( 1, 2) 1.000000 25.55000X( 2, 10) 1.000000 22.45000X( 3, 11) 1.000000 36.55000X( 4, 6) 1.000000 47.20000X( 6, 3) 1.000000 46.90000 X( 10, 4) 1.000000 40.25000X( 11, 13) 1.000000 42.30000 X( 13, 14) 1.000000 42.75000 X( 14, 1) 1.000000 46.65000b=0.12500 0.11667 0.10833 0.

42、10000 0.09167 0.08333 0.07500 0.06667 0.05833 0.05000 0.04167 0.03333 0.02500 0.01667 0.00833;1-2-10-4-6-3-11-13-14-1 N=10 499.7500X( 1, 9) 1.000000 50.05000X( 2, 14) 1.000000 22.20000X( 3, 6) 1.000000 46.90000X( 4, 10) 1.000000 40.25000X( 6, 4) 1.000000 47.20000X( 9, 2) 1.000000 24.65000X( 10, 1) 1

43、.000000 46.90000X( 11, 3) 1.000000 36.55000X( 13, 11) 1.000000 42.30000X( 14, 13) 1.000000 42.750001-9-2-14-13-11-3-6-4-10-1N=11 556.7500X( 1, 14) 1.000000 46.65000X( 2, 9) 1.000000 24.65000 X( 3, 8) 1.000000 47.55000X( 4, 10) 1.000000 40.25000X( 6, 4) 1.000000 47.20000 X( 8, 6) 1.000000 56.35000X( 9, 1) 1.000000 50.05000X( 10, 2) 1.000000 22.45000X( 11, 3) 1.000000 36.55000X( 13, 11) 1.00