- 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理

1、3-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 直线运动的描述（线量）：直线运动的描述（线量）： 定轴转动运动的描述（角量）：定轴转动运动的描述（角量）： 角位移、角速度、角加速度、角力（力角位移、角速度、角加速度、角力（力矩）、角动量、角冲量（冲量矩）矩）、角动量、角冲量（冲量矩） 、角动、角动量定理、转动动能、转动动能定理量定理、转动动能、转动动能定理 3-2 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 位移、速度、加速度、力、动量、冲量、位移、速度、加速度、力、动量、冲量、动量定理、动能、动能定理动量定理、动能、动能定理13-

2、2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理ipjp0, 0p22kvvmEmp，质点质点运动描述运动描述2k2LIEI，刚体刚体定轴转动描述定轴转动描述0, 0p一一 角动量角动量 23-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理vvmrprLvrLLrxyzom 质量为质量为 的质点以速的质点以速度度 在空间运动，某时对在空间运动，某时对 O 的位矢为的位矢为 ，质点对，质点对O的动量矩（角动量）的动量矩（角动量）mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则L角动量单位：角动量单位：kgm2s-1 1

3、 1、质点的角动量、质点的角动量 33-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理开普勒第二定律开普勒第二定律43-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 将行星看为质点将行星看为质点, ,dt 时间内以速度时间内以速度 完成的位完成的位移为移为 , ,矢径矢径 在在d t 时间内扫过的面积为时间内扫过的面积为dS。 vdvtr12dv dSrt掠面速度掠面速度 讨论讨论：行星行星的掠面速度与动量矩（角动量）的掠面速度与动量矩（角动量）12vdSrdt为一不变量为一不变量prL即为一不变量即为一不变量dtvfrrom53-

4、2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理Lrpmo 质点质点以以 作半径为作半径为 的圆的圆周运动，相对圆心周运动，相对圆心的动量矩的动量矩（角动量）（角动量）r2vLrmmrI2 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2iiirmLOirimivLIziiirm)(263-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理tLMddLI由于刚体转动惯量为一常量由于刚体转动惯量为一常量dLdIIMdtdt所以所以即即称刚体定轴转动称刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理二 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 73-2-

5、2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理212211dttM tII2121dttM tII 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：212t1ttLMdd微分形式微分形式积分形式积分形式21dttM t冲量矩冲量矩83-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.

6、守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.ILIIexinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量三 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0MLI，则，则若若=常量常量93-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水点击图片播放103-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的刚体对转轴的角动量守恒

7、是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量都利用了对转轴的角动量守恒定律。守恒定律。 113-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理123-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理133-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定

8、律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等四 角动量定理、角动量守恒的应用角动量定理、角动量守恒的应用143-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 例：一均质棒，长度为例：一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有子，现有子弹在距轴为弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解ym0v其中其中xNy0vm2213IIIMLmy子棒22031myMLymvr讨论讨论子弹、细棒系统的角动量守恒子弹、细棒系

9、统的角动量守恒 I水平方向水平方向动量守恒动量守恒153-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 例例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为为M、长为长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质可绕中心转动的细杆，有一质量为量为m的小球以速度的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速及杆的转动角速度度。mo 解：解：在水平面上，系统在水平面上，系统角动量守恒，角动量守恒，LL00vvmlmlI（1）0v163-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应

10、 刚体的角动量定理刚体的角动量定理mo弹性碰撞动能守恒弹性碰撞动能守恒2221112220vvmmI（2）22112123()IMlMl其中其中0v联立联立(1)、(2)式求解式求解()03m - M vvM3m()06mvM3m l173-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒1112III1112III解：解：试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。21 例例3 3 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1 1：I1 1、 摩擦摩擦轮轮2 2： I2 2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两静止，两

11、轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。轮达到的共同角速度。1183-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理两轮绕不同轴转动，故对两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：两轴分别用角动量定理：11110dFr tII222dFr tI2211rr解：解：0122F1 例例4 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心对通过盘心垂直于盘面转轴的垂直于盘面转轴的转动惯量为转动惯量为I1 、 I2，开始开始 1轮以轮以 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮的角速度。0193-2-2力矩的时间累

12、积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理得：得：210 21222 11 2IrI rI r10 1 22222 11 2IrrI rI r0122F111110dFr tII222dFr tI2211rr203-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 例例5一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一并把跷板另一端的演员端的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹起多高可弹起多高? ?ll/2CABMNh213-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，演员的质量均为演员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，落在跷板上，与跷板的碰撞是与跷板的碰撞是完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu 223-2-2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理刚体的角动量定理M、N和