高中数学 椭圆的定义章节

1、教学章节：椭圆的定义教学目标：1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。教学重点：。教学难点：。教学过程：（1） 复习 提问：动点轨迹的一般求法？ （通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内 容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。） （2） 引入 举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等； 计算机：动态演示行星运行的轨道。 （进一步使学

2、生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）（3） 教学实施 投影：椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示），常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：） 计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。 提问：如何求轨迹的方程？ （引导学生推导椭圆的标准方程） 板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略） （推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算

3、虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）,；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程） 投影：椭圆的标准方程： （） （） 投影：例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 （由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、即可） 形成性练习：课本P74：2，3（4） 小结 本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: 椭圆的定义中, 椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定 、的几何意义教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的定义。2：熟练掌握椭圆

4、的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。 能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； （2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：椭圆的定义及标准方程。教学难点：椭圆的定义及标准方程的推导。教学过程：一：椭圆概念的引入：1：举例：（1）汽车油罐横界面的轮廓，沙丁鱼罐头（由学生自己举例） （2）天体行星和卫星运行的轨道。（3）立体几何中作园的一种直观图。2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1,F2

5、两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）3：由此总结椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。4：说明 （1）注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（2）两个定点-两点间距离确定。 绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定。（3）思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（极限：线段）

6、。在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（极限：圆）。注意到条件：由此，椭圆的形状与两定点间距离，绳长有关。（为下面离心率概念作铺垫）二：根据定义推导椭圆标准方程：1：复习求轨迹方程的基本步骤：2：推导：取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴。设P（x,y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）.则：，又设M与F1,F2距离之和等于2a（常数），化简，得：，由定义令代入，得：，两边同除得：，此即为椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程。其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，说明：（1） 其中：2a为椭圆上任

7、意点到焦点的距离之和这个定值。焦距2c，而由 （2） 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成：只要将此方程中的x,y调换，即可得：，此也是椭圆的标准方程。三：巩固练习：1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值。变形为： 总结：注意到a2>b2，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。2：求三量：四：例题讲解：1：平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离之和是10的点的轨迹方程。问：这个轨迹是什么？-椭圆如何确定？-定式定量。2：已知B,C两定点，三角形ABC的周长为16，求A的轨迹方程。4：若表示椭圆，则k的取值范围是？五：总结教学章节：

8、椭圆及其标准方程教学目标：1 使学生掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；2 能根据定义推导出椭圆的标准方程；3 能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题；4 培养学生形数结合的重要数学思想方法。教学重点：。教学难点：。教学过程：（一）、复习提问：1、 求曲线方程的步骤有哪些？2、 圆的一般方程是什么？主要特点是什么？（二）、引言：我们已经学习过两种曲线，这节课我们再学习一种常见的曲线椭圆。（动画展示太阳系行星运动轨迹）通过播放动画提出如下问题：太阳系行星运动轨道是什么曲线？使椭圆的形象更加鲜明。（三）、新课：1、 椭圆的定义：（动画展示） 投影：（课件演示椭圆生成过程）通过动点轨迹的形成过程，

9、给出轨迹的直观形象，以便于抽象概括。 小黑板：（实物演示椭圆生成过程） 让学生观察分析，同时回答下列问题：所作的轨迹上的动点，满足什么条件？试用语言概括。并且讨论为什么要规定“常数大于|F1F2|”，分析常数等于|F1F2|和常数小于|F1F2|时的点的轨迹是什么？（字幕展示椭圆的定义以及焦点、焦距的概念。）2、 根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出椭圆的标准方程。过程如下： 建系设点；列式；变换；化简；证明。（板书过程）3、 椭圆的标准方程的特点：（字幕投影） 椭圆标准方程中总有ab0， 椭圆焦点总在长轴上， 对于a、b、

10、c有关系式c2a2b2成立。、剖析例题：在掌握了椭圆的定义及其标准方程基础上，字幕展示例题。例：平面内两个定点距离是，写出到这两个定点的距离的和是的点的轨迹的方程。此题中距离和的值可以改动，当其等于8或小于8时其点的轨迹分别是线段和无轨迹，可进一步加深学生对椭圆定义的理解。例：三角形ABC中，AB固定，|AB|=10，且sinA+sinB=2sinC，求点C的轨迹方程。在屏幕上用动画显示解题过程，板书解题步骤。通过例1与例2，巩固对“椭圆的定义和椭圆的标准方程”的掌握，会应用椭圆的定义求椭圆的标准方程。（四）、课堂练习：为了更好地完成教学目的，巩固本节的重点，掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程，通

11、过投影仪展示出精选的练习题。1、 写出满足两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0），并且经过点P（5/2，3/2）的椭圆标准方程。2、已知ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。让学生板演，然后在屏幕上显示解题过程，对学生进行规范解题训练。（五）、课堂小结：（字幕显示）总结本节课学习的主要内容，使学生明确学习目的。y四、主帧设计：MxF2OF1 教学章节：椭圆的简单几何性质教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。2：掌握标准方程中a,b,c的几何意义3：椭圆的第二定义。 能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； （2

12、）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：椭圆的简单几何性质与第二定义。教学难点：椭圆的第二定义。教学过程：一：复习引入1：概念：椭圆，焦点，焦距。2：标准方程：3：请学生在黑板上作出椭圆的草图，注意标出所有可以确定的量值及点的坐标。教师同在黑板作出椭圆的草图，注意作出矩形框以界定椭圆的范围。评议学生的作业。根据草图说明，注意标准方程中a,b是如何定义的。二：新课讲授：以椭圆标准方程为例进行说明。1：范围：观察椭圆的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：椭圆在四条直线围成的矩形

13、内侧。注意：从椭圆的方程如何验证？从标准方程可知，由此椭圆上点的坐标都适合不等式即，即椭圆在四条直线围成的矩形内侧。2：对称性：椭圆关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3：顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。在椭圆的方程里，对称轴是x,y轴，所以令得，因此椭圆和x轴有两个交点，他们是椭圆的顶点。令，得，因此椭圆和y轴有两个交点，他们是椭圆的四个顶点。注意：椭圆的顶点有四个顶点，它们分别是长轴和短轴的四个端点。长轴：线段叫做椭圆的长轴，它的长等于2a，a叫做椭圆的长半轴长。短轴：线段叫做椭圆的短轴，它的长等于2b，b

14、叫做椭圆的短半轴长。4：离心率：1） 概念：椭圆焦距与长轴长之比。2） 定义式：3） 范围：4） 考察椭圆形状与e的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。 说明：1） 其中定点-焦点，定直线-准线。对于来说，相对于左焦点对应着左准线相对于右焦点对应着右准线对于来说，相对于上焦点对应着上准线 相对于下焦点对应着下准线2） 位置关系：3） 焦点到准线的距离其上任意点到准线的距离：（分情况讨论）四：练习：已知椭圆上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。五：总结教学章节：椭圆的几何性质教学目标：掌握椭

15、圆的焦半径公式，焦点弦公式，通径，直线和椭圆的位置关系等椭圆的相关内容。教学重点：习题课。教学难点：习题课。教学过程：一：椭圆的第二定义：应用：1：椭圆，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。2：椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，求P点到椭圆右焦点的距离。3：椭圆上一点P到两焦点的距离之比为1：3，求此点到左右准线的距离。（若求此点的坐标又如何求解？）4：求经过M(1，2)以y轴为准线，离心率为0.5的椭圆的坐定点的轨迹方程。设椭圆左顶点P(x,y)，由P到左焦点距离于P到y轴距离之比为0.5，则有二：椭圆的焦半径及其应用：1：定义：椭圆上任意一点M与椭圆

16、焦点的连线段，叫做椭圆的焦半径。2：焦半径公式的推导： 设椭圆及椭圆上任意一点M（注意和其在椭圆的左半个还是右半个无关），则，即有焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关。可以记为：左加右减，上减下加焦半径公式的推导还有其他方法，其中最为简单的就是利用椭圆的第二定义：由第二定义：， 又同理：3：焦半径公式的应用：1）：椭圆，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。2）P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P.3）椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证4）设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：一线段位直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。三：直线与椭圆：1：位置关系：相交（两个公共点）相离（无公共点）相切（一个公共点）若直线，二次曲线将代入，消去y，得到关于x的二次方程（*）若，相交，相切，相离在圆的几何性质的学习中，判断直线和圆的位置关系可以除了上述的代数法，还可以直接通过圆的几何性质也既是几何法进行判断，但在椭圆中，由于对椭圆的纯几何性质没有进行过细致的学习，则一般情况下，无法直接使用几何方法，而判断直线和椭圆的位置关系常