高考总复习椭圆的标准方程

1、高考总复习椭圆的标准方程一、本小节主要介绍以下几种题型题型一：已知a，c，求椭圆方程题型二：已知a，b，求椭圆方程题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程题型五：弦中点问题，求椭圆方程题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程题型七：与准线相关的椭圆方程题型八：与离心率有关的椭圆方程题型九：与正余弦定理相关的椭圆方程题型十：已知弦长求椭圆题型十一：已知三角形面积最值求椭圆方程2、 典型例题题型一：已知a，c，求椭圆方程例1、已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1PF22F1F22

2、15;24，得2a4.又c1，所以b23.所以椭圆的标准方程是1. 练习题：1、已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且2a10，求椭圆的标准方程解：由椭圆定义知c1，b.椭圆的标准方程为1.2、已知，动点满足.求动点的轨迹的方程；解：动点的轨迹的方程为 ；题型二：已知a，b，求椭圆方程例2、椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；练习题：1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程解：椭圆的方程为或者题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程例3、焦点在坐标轴上，且经过点

3、A(，2)和B(2，1)解：设所求椭圆方程为mx2ny21，(m0，n0且mn)由A(，2)和B(2，1)两点在椭圆上可得即，解得 故所求的椭圆方程为1题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程例4、求过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知1，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为1.练习题：1、（2009辽宁卷文、理）已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0). 求椭圆C的方程;解:由题意,c1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b23,(舍去).所以椭圆方程为.题型五：弦中点问题，

4、求椭圆方程例5、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得， 为所求练习题：1、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即 联立解得，所求椭圆的方程是2、已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解设，则，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程例6、已知点在以坐标轴

5、为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或例7、已知定点A（2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.求动点P的轨迹方程；解：（1）由题意：|PA|=|PB|且|PB|PF|=r=8|PA|PF|=8|AF|P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆设方程为例8、已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为。求椭圆的方程；解：设AB（）F（c,0）则所以有椭圆E的方程为例9、已知椭圆的中

6、点在原点O，焦点在x轴上，点是其左顶点，点C在椭圆上且求椭圆的方程；解：设椭圆的标准方程为又C在椭圆上，椭圆的标准方程为练习题：1、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。求点C的坐标及椭圆E的方程；解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为题型七：与准线相关的椭圆方程例10、已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为求椭圆的标准方程；解：有条件有，解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以，所求椭圆的方程为练习题：1、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，

7、相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，求椭圆方程；解：由已知得，解得：所求椭圆方程为2、已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使求椭圆C的方程；解：（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，直线x=4 为椭圆C的准线， 又， M为椭圆C短轴上的顶点，F1MF2为等边三角形且，椭圆C的方程为 3、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。求椭圆的方程；解：设椭圆方程为由已知得 所求椭圆方程为题型八

8、：与离心率有关的椭圆方程例11、（07陕西理）已知椭圆的离心率为，长轴长为，求椭圆的方程； 解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意解得由 所求椭圆方程为 练习题：1、已知椭圆的离心率为，且经过点求椭圆C的方程；解：根据题意有： 解得：椭圆C的方程为=12、已知椭圆的左焦点为F（，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点求椭圆标准方程；解：由题设可知：，a=2，c=2分b2=a2c2=23分 椭圆的标准方程为：4分3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为求椭圆C的标准方程；解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为题型九：与正余弦定理相

9、关的椭圆方程例12、已知点A(1，0)、B(1，0)和动点M满足：，且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点求曲线C的方程；解：设M (x，y)，在MAB中，| AB | = 2，即 因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1曲线C的方程为题型十：已知弦长求椭圆例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组 y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）>0，即m+nmn>0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或