高中数学新学案同步必修4人教B版全国通用版：第二章平面向量2.1.4

1、21.4数乘向量学习目标1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算知识点一数乘向量的定义思考 1实数与向量相乘的结果是实数还是向量？答案向量思考 2向量 3a， 3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案3a 的长度是a 的长度的3 倍，它的方向与向量a 的方向相同3a 的长度是a的长度的3 倍，它的方向与向量a 的方向相反梳理(1)定义：实数 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 a，且 a 的长 | a| |a|. a(a0)的方向当 0时，与 a同方向；当 0时，与 a反方向 .当 0 或 a0 时， 0a0

2、 或 00. (2) a 中的实数 ，叫做向量a 的系数数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着 a 的方向或a的反方向放大或缩小知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律梳理向量数乘运算律(1) ( a)()a. (2)( )a a a. (3) (ab) a b. 知识点三向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算类型一数乘向量概念的理解例 1已知 a， b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是 a 的模的 2 倍；(2) 2a 的方向与5a 的方向相反，

3、且2a 的模是 5a 的模的25；(3) 2a 与 2a 是一对相反向量；(4)ab 与 (ba)是一对相反向量；(5)若 a， b不共线，则 a 与 b不共线解(1)正确 20，2a 与 a 同向，且 |2a|2|a|. (2)正确 50，5a 与 a 同向，且 |5a|5|a|. 20 时， a 与 a 同向，模是|a|的 倍；当 0 时， a 与 a 反向，模是 |a|的 倍；当 0 时， a0. 跟踪训练1设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是() aa 与 a 的方向相反b | a|a| ca 与 2a 的方向相同d | a| |a答案c 解析当 0时， a 与 a 方

4、向相同，故a 错；当| |1 时， | a| |a|，故 b 错；| a| |a|，故 d 错； 0， 20， a 与 2a 的方向相同，故选c. 类型二向量的线性运算例 2(1)化简：142(2a4b)4(5a 2b)解142(2 a 4b) 4(5a2b)14(4a8b20a 8b) 14(16a16b) 4a 4b. (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y 满足关系式3x2y a， 4x3yb，求向量x，y. 解因为3x2ya，4x3yb，由 3 2，得 x3a2b，代入 得 3 (3a2b)2ya，即 y4a3b. 所以 x3a 2b，y 4a3b. 反思与感悟(

5、1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“ 同类项”、“ 公因式 ”是指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练2(1)计算： (a b) 3(ab)8a. 解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a 4b8a 10a4b. (2)若 2 y13a 13(cb3y)b0，其中 a，b，c为已知向量，则未知向量y_. 答案29a29b19c解析因为 2 y13a 13(cb3y) b0，3y23

6、a23b13c0，所以 y29a29b19c. 类型三用已知向量表示其他向量例 3在 abc 中，若点d 满足 bd2dc，则 ad等于 () a.13ac23abb.53ab23acc.23ac13abd.23ac13ab答案d 解析示意图如图所示，由题意可得 adabbdab23bcab23(acab)13ab23ac. 反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的

7、等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练3如图，在 abc 中，d，e 为边 ab 的两个三等分点，ca 3a，cb2b，求cd，ce. 解ca3a，cb2b，abcbca2b3a. 又d，e 为边 ab 的两个三等分点，ad13ab23ba，cdcaad3a23ba 2a23b，ce caae3a23ab3a23(2b3a)a43b. 1已知 a5e，b 3e，c4e，则 2a3bc 等于 () a5eb 5ec23ed 23e答案c 解析2a3bc25e3(3e) 4e23e. 2在 abc 中， m 是 bc 的中点，则 ab ac等于 () a.12amb.amc2amd.ma答案c

8、 解析如图，作出平行四边形abec，m 是对角线的交点，故m 是 bc 的中点，且是ae 的中点，由题意知，abac ae2am，故选 c. 3若 3x2(xa)0，则向量x 等于 () a2ab 2ac.25ad25a答案b 4如图所示， d 是 abc 的边 ab 上的中点，则向量cd等于 () a.bc12bab bc12bac bc12bad.bc12ba答案b 解析cdbdbc12babc. 5.如图所示，已知ap43ab，用 oa，ob表示 op. 解opoaapoa43aboa43(oboa)13oa43ob. 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如 a， a

9、是没有意义的2 a 的几何意义就是把向量a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的| |倍 . 一、选择题1下列说法中正确的是() a a 与 a 的方向不是相同就是相反b若 a，b共线，则b ac若 |b|2|a|，则 b 2ad若 b 2a，则 |b|2|a| 答案d 解析显然当 b 2a 时，必有 |b|2|a|. 2 在 abc 中，如果 ad， be 分别为 bc， ac 上的中线， 且ad a， beb， 那么 bc等于 () a.23a43bb.23a23bc.23a43bd23a43b答案a 解析由题意，得 bcbeecb12acb12(addc) b12a14bc，即bc

10、b12a14bc，解得 bc23a43b. 3.如图， ab 是 o 的直径，点c，d 是半圆弧ab 上的两个三等分点，aba，acb，则ad等于 () aa12bb.12abca12bd.12ab答案d 解析连接 cd，od，如图所示点 c， d 是半圆弧ab 上的两个三等分点，accd，cad dab1390 30 . oaod， adodao30 . 由此可得 cadado30 ， acdo. 由 accd，得 cda cad30 ， cda dao，cdao，四边形 acdo 为平行四边形，adaoac12abac12ab. 4设 d 为 abc 所在平面内一点，bc3cd，则 ()

11、a.ad13ab43acb.ad13ab43acc.ad43ab13acd.ad43ab13ac答案a 解析 bc3cd，acab3(adac)，即 4acab3ad， ad13ab43ac. 5已知 m，n 是实数， a， b是向量，则下列命题中正确的是() m(ab)mamb； (mn)a mana；若 mamb，则 ab；若 mana，则 mn. abcd答案b 解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m 0，则不能推出ab，错误； 中，若 a0，则 m，n 没有关系，错误6o 是平面内的一个定点，a，b，c 是平面内不共线的三个点，动点p 满足 opoaab|ab|ac|ac

12、|， 0， )，则点 p 所在的直线是abc 的() a边b中线c高d角平分线答案d 7如图，已知o 是 abc 所在平面内一点，d 为 bc 边的中点，且2oaoboc0，那么() a.aoodb.ao2odc.ao3odd2aood答案a 解析 2oaoboc2oa 2od0，aood. 二、填空题8 若 2 y13a 12(cb3y)b0， 其中 a， b， c 为已知向量， 则未知向量y _. 答案421a17b17c9(a9b2c)(b2c) _. 答案a10b10在?abcd 中，aba，adb，an3nc，m 为 bc 的中点， 则 mn_.(用 a，b 表示 ) 答案14b14

13、a解析如图，mnmbbaan12b a34ac12b a34(ab) 14(ba)三、解答题11化简下列各式(1)3(6a b)9 a13b ；(2)123a2b a12b212a38b ；(3)(abcd)(acbd)；(4)(acbooa)(dcdoob)解(1)原式 18a3b9a 3b9a. (2)原式122a32b a34ba34ba34b0. (3)(abcd)(acbd) (abbd)(accd)adad0. (4)(acbooa)(dcdoob) (acba)(ocob)bcbc 0. 12设 x 为未知向量，解关于x 的方程(1)13x3a215b0；(2)2(x3a)3(x

14、4b)0. 解(1)13x 3a215b，x 9a25b. (2)由题意，得5x6a12b，x65a125b. 13在 abc 的内部有一点o 满足 oaoc3ob0，求saobsaoc的值解设 ac 的中点为d，则oaoc 2od，2od 3ob0，即ob23od，saobsaocsaob2saod122313. 四、探究与拓展14.如图，在正六边形abcdef 中， o 为其中心，下列向量：ca； df；abfe；bcde； obocodoe.其中与 faab2boed相等的向量有 _ (填对应向量的序号即可) 答案解析faab 2boed (faabbe)ed feedfdac df，与 相等，与不相等；abfeabbcac，与 相等；bcdebcedbcabac， 与相等；o