向量的乘法电子版本

1、向量的乘法 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)实例实例一、两向量的数量积一、两向量的数量积s1McosFF 2M启示启示 我们可以定义我们可以定义向量的一种乘法运算向量的一种乘法运算两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.,|cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦满足两向量夹角余弦满足若向量若向量a与与b夹角夹角,2则称则称a与与b正交正交(或垂直或

2、垂直),记作记作ba,zyxzyxbbbbaaaa若若则则0ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba )(,ba , 0cos . 0cos| baba证证 ,2 ,2 定理定理若若a与与b有一个为有一个为0,结论显然成立结论显然成立不妨设不妨设0,ba,zyxzyxbbbbaaaa若若则则 ba0 zzyyxxbababa定理的坐标形式为定理的坐标形式为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222co

3、s)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例2 已知点已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求求AMBMBMA解解 AMB可以看成向可以看成向量量与与的夹角的夹角,而而MA =(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB =(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1)故故MA MB =11+10+01=1MAMB,20112222101222带入公式带入公式21|cosMBMAMBMAbaba3AMB 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上

4、P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决所决定的平面定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积LFPQO 向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0aa向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.000aa.abba (反交换律),并规定并规定()()向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：分配

5、律.)(cbcacba ).()()(baba如果如果cba,是任意向量是任意向量, ,是任意实数是任意实数,那么那么结合律结合律例5 设 是两个向量,证明: ba,ab0ba)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin )(0sin . 0sin| bababa/ba/或或0 证证 设设 均为非零向量均为非零向量( (否则命题不证自明否则命题不证自明) ) ba,或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaib

6、abaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的分解表达式向量积的分解表达式:向量积还可用行列式表示向量积还可用行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbbaajbbaaibbaabayxyxxzxzzyzy即即abbac 两向量的向量积的几何意义两向量的向量积的几何意义:()()absinbhba与一切既平行于与一切既平行于a又平行于又平行于b的平面垂直的平面垂直 例例6 6 设平面设平面过空间三点过空间三点A(1,0,0)A(1,0,0)、B(3,1,-1)B(3,1,-1)、C(2,-1,2),C(2,-1,2),求一个垂直于求一个垂直于平面平面的向量的向量n解解2 , 1,

7、 102 , 01, 121, 1 , 201, 01 , 13ACABABABACAC与与显然不共线且都在面显然不共线且都在面内内故可取故可取kjikjiACABn35211112ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例8 8 设刚体以等角速率设刚体以等角速率绕绕 l l轴旋转，计算刚体轴旋转，计算刚体上一点上一点M M 的线速率的线速率 。v解解 刚体旋转时刚体旋转时, ,我们可用转动轴我们可用转动轴

8、l l 上上的向量的向量 表示角速度表示角速度, ,它的大小它的大小 ，它的方向按右手法则定出，它的方向按右手法则定出, ,如右图如右图. .设点设点M M到到 l l 轴的距离为轴的距离为a,a,任取任取 l l 轴上轴上一点记为一点记为O O，并记，并记 , ,若用若用表示表示 与与 的夹角的夹角, ,则有则有OMr rsinraorMva 从物理中知道从物理中知道, ,线速率线速率 与角速率与角速率 有如下关系：有如下关系：vrvrav,sin又符合右手法则又符合右手法则, ,因此得因此得vr,rv定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量，数量cba )(称为这三个向量的称

9、为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. .),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxcccc 三、向量的混合积三、向量的混合积下面推导混合积的坐标表达式下面推导混合积的坐标表达式因为因为yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaaba,cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 所以所以zyxyxyxzxzxzyzycbbaacbbaacbbaacba)(即即显然显然 bacacbcba（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：. 0 cba0zyxzyxzyxcccbbbaaa例例9 已知空间

10、内四点已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和和D(2,4,7),求四面体求四面体ABCD的体积的体积. 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV 故故1661ABCDV而而 AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是于是6631442332ADACAB例例10 问点问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和和D(10,15,17) 四点是否在同一平面上？四点是否在同一平面上？0161492

11、21543ADACAB解解 AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而而因此因此AB、AC、AD共面，即共面，即A、B、C、D在同一个平面上在同一个平面上向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa )(cos1 |,222baba

12、22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 一一、 填填空空题题：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,则则ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，则则 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的几几何何意意义义是是以以ba,为为其其邻邻边边的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 积积 cba 的的 几几 何何 意意 义义 是是

13、_ _ _ _ _ _ _；5 5、 两两向向量量的的的的内内积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有 一一个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 两两向向量量的的外外积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有一一 个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相_ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题7 7、设、设kjia23 ，kjib 2 , , 则则ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2(

14、 = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、设、设a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,为为 单单 位位 向向 量量 ， 且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba . .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方

15、向向为为Z轴轴负负方方向向）. .四、四、 设设 4,1,2,2,5,3 ba，问，问 与与怎样的关系怎样的关系能使行能使行zba与与 轴垂直轴垂直 . .五、五、 应用向量证明：应用向量证明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,两两垂直，且两两垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的长度的长度 与它和与它和cba,的夹角的夹角 . .七、七、 计算以向量计算以向量212eep 和和212eeq 为边的三角为边的三角形的面积，其中形的面积，其中1e和和2e是相互垂直的单位向量是相互垂直的单位向量 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积； 4 4、以、以cba,为邻边的