17-18版第2章第11课函数与方程

1、第 11 课函数与方程最新考纲内容要求ABC函数与方程V抓基础自主学习I知识检理1. 函数的零点(1) 函数零点的定义对于函数 y= f(x)(x D),把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x D)的零 占八、(2) 几个等价关系方程 f(x) = 0 有实数根？函数 y= f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y = f(x)有零点.(3) 函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y= f(x)在区间 a, b 上的图象是一条不间断的曲线， 且 f(a)f(b)0,那么， 函数 y= f(x)在区间(a, b)上有零点，即存在 c (a, b)，使得 f(

2、c) = 0，这个 c 也就是方程 f(x) = 0 的 根.2. 二分法对于在区间a, b上连续不断且 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系=b24ac0=0v0二次函数y= ax2+ bx+ c(a 0)的图象4与 x 轴的交点10)无交点零点个数210学1自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.()函数 y= f(x),x D 在区间(a,b)? D 内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)v0.()(3)若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a) f(b)v0,则函数 f(x)在a,

3、b上有且只有一个零点.()二次函数 y = ax2+ bx+ c 在 b2 4acv0 时没有零点.()答案X(2)X(3)XV2.(教材改编)函数 f(x) = ex+ 3x 的零点个数是_ .1if(1)=e3v0,f(0)=10, f(x)在(1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，.函数 f(x)有且只有一个零点.3._ 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 _.(填序号)1y= cos x；2y= sin x；3y= In x；4y= x2+ 1.由于 y= sin x 是奇函数；y= ln x 是非奇非偶函数，y = x2+ 1 是偶函数但没有零点， 只有y= cos x 是偶函数

4、又有零点.4._ 函数 f(x) = 3x x2的零点所在区间是_.(填序号)1(0,1);(1,2)；(2, 1)；(1,0).f(2)35 f(1)3，f(0)= 1, f(1)= 2, f(2)= 5, f(0)f(1)0, f(1)f(2) 0,f(2)f(1)0,f(1)f(0)v0.5函数 f(x)= ax+ 1 2a 在区间(1,1)上存在一个零点，贝 U 实数 a 的取值范围是_ .3，1函数 f（x）的图象为直线，由题意可得1（一 3a + 1） （ a）v0，解得 3vav1,实数 a 的取值范围是3,1 .f(1)f(1)v0，函数零点所在区间的判断已知函数 f(x)=

5、In x x2的零点为 xo,贝 U xo所在的区间是(k, k+ 1)(k Z)，则 k=f(2)= In 2 10 0， xo (2,3), 即卩 k= 2.规律方法确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法1 定义法：使用零点存在性定理，函数 y=f(x)必须在区间a，b上是连续的，当 f(a) f(b)0 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点.2图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求 解，如 f(x) = g(x) h(x),作出 y= g(x)和 y= h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点.变式训练 1设 f(x)

6、二 In x+ x 2,在下列区间中，包含函数f(x)的零点所在的区间为Tf(x) = In x1 x2在(0,+x)上是增函数,明考向题型突破I观律方卜例函数 f(x) = x* 2 3x 18 在区间1,8上(填“存又 f(1) = In 1 1= In 1 20 时，作函数 y= In x 和 y=x2 2x 的图象，由图知，当 x0 时，f(x)有 2 个零点;1当 x0,的零点个数为禺+ 1, x 1，的根，则满足 f 6V2,f 10 2,a 1，如图，即 loga6v2，解得 6Vav10.loga10 2，故 a 的取值范围是(.6,10).规律方法已知函数有零点求参数取值范围

7、常用的方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数 形结合求解.2变式训练 3(1)函数 f(x) = 2x-a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是入思想与方法1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问 题可转化为函数值域问题.2判断函数零点个数的常用方法(1) 通过解方程来判断.(2) 根据零点存在性定理，结合函数性质来

8、判断.(3) 将函数 y=f(x) g(x)的零点个数转化为函数 y= f(x)与 y= g(x)图象公共点的个数来判 断.3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.易错与防范1. 函数的零点不是点，是方程 f(x)二 0 的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不 变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点 的充分不必要条件.课时分层训练( (十一) )A 组基础达标(建议用时：30 分钟)一、填空题1 .若函数 f(x)= ax+ b 有一个零点是 2,那么函数 g(x) = bx2

9、 ax 的零点是_.10,-由题意知 2a + b = 0, 即卩 b= 2a.2.(2017 镇江期中)方程 lg x sinx= 0 的解的个数是 _.3tig x sin x = 0,；lg x= sin x,分别作出函数 y= lg x 与函数 y = sin x 的图象可知, 两个函数有 3 个交点.21,xW1,3.已知函数 f(x)=，_ 贝 U 函数 f(x)的零点为.J + log2X, x1,11 由 f(x) = 0 得，2x 1 二 0 或 log2x+ 1 = 0,解得 x= 0 或 x=2(舍去).4._ 已知函数 f(x) = x2+ x+ a(a0)在区间(0,

10、1)上有零点，则 a 的取值范围为_ .【导学号：62172061】(2,0)由 x2+ x+ a= 0 得 a= x2 x.2( 1 1 又 y=xx=x+2+4x (0,1)，二 y ( 2,0).即 a ( 2,0).5._ 已知关于 x 的方程 x2+ mx 6 = 0 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小,贝 U 实数 m 的取 值范围是.(X,1)设函数 f(x)=x2+mx6,则根据条件有 f(2)v0,即 4+2m6V0,解得 mv1.6._ 若函数f(x)=|2x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.(0,2)由 f(x) = |2x 2|- b= 0 得|2x

11、 2|= b.在同一平面直角坐标系中画出y=怦2 与 y= b 的则当 0b 2,7.已知函数 f(x) =x若关于 x 的方程 f(x)= kx 有两个不同的实根，则(X 13，0 x2，实数 k 的取值范围是_.【导学号：62172062】0k2函数 y= (x 1)3在 R 上单调递增；函数 尸？在2，+*)上单调递减，2x又因为 x= 2 时，(x 1)3= 1 且 2= 1,所以 f(x)的最大值为 1,对应点为(2,1)，1 o 11又 y= kx 过原点(0,0)，所以 k= 20 =2可见 0k2 3228.(2016 浙江高考)设函数 f(x) = x + 3x + 1，已知

12、 a0，且 f(x) f(a)= (x b)(x a)，x R，则实数 a =_ ，b =_ .32322 1f(x)=x + 3x + 1,贝 U f(a)= a + 3a + 1，22232223f(x) f(a) = (x b)(x a) = (x b)(x 2ax+ a ) = x (2a + b)x + (a + 2ab)x a b=x +33x a 3a .2a + b= 3， 由此可得 a2 3+2ab= 0,ia3+3a2=a2b .TaM0,.由得 a= 2b,代入式得 b= 1, a= 2.x+ 1(x1 ),时，实数 a 的取值范围是_. (注: e 为自然对数的底数)j

13、 n |4，才由题意可知 y= f(x)与 y= ax 有 2 个交点，1 1当 a = 4 时，易知 y= ln x 与 y= 恰有两个交点,1设 y= ax 与 y= ln x 的切点为(x, y),易知当 a =二时为临界状态，此时切线方程y y01=x0(x X0)2_11 解得 X0= e,即 a = e 故所求实数 a 的取值范围为匸匸，；则方程 f(x) = ax 恰有两个不同的实根恰过原点(0,0).10.(2017 启东中学高三第一次月考)已知函数 f(x) = x+2 kx2(x R)有两个零点，则 k(X,0)U(0,1)由 f(x)二 0 得昌二 kx2=k|X|2(*

14、),1显然 x= 0 是 f(x) = 0 的一个根，故原命题等价于当XH0 时，(*)式 x+2= k 凶有且只有一个根.1分别作出 y=二 3 及 尸 k|x|的图象，(实线表示 k0 的情况，虚线表示 k0,且 x0 时，x+2= k|x 可化为 kx2+ 2kx+ 1= 0.由二 4k2 4k= 0 得 k= 1 或 k= 0(舍去)，结合图象可知，当 k (0,1)时合题意.当 k0 对于任意的 a R 恒成立，即 x2+ (2a 1)x 2a= 0必有实根，从而 f(x) = 1 必有实根.(2)依题意，要使 y=f(x)在区间(一 1,0)及 0，2 内各有一个零点,f1，只需f

15、00，3 4a0, 即1一2a0,B 组能力提升(建议用时：15 分钟)|2 a, x0范围是_.(0,1因为当 x 0 时，f(x) = 2x 1,1 由 f(x) = 0 得 x=所以要使 f(x)在 R 上有两个零点，则必须 2x a = 0 在(, 0上有唯一实数解.又当 x ( , 0时，2x (0,1,且 y = 2x在( , 0上单调递增，故所求 a 的取值范围是(0,1.解得2a故实数 a 的取值范围为 a1 32a4x+ 1, x0,11 13, 2，4，眾j由题意知 f(f(x) = 1,由 f(x) = 1 得 x= 2 或 x=,1则函数 y= f(f(x)+ 1 的零

16、点就是使 f(x)二一 2 或 f(x) = 2 的 x 的值.1解 f(x) = 2 得 x= 3 或 x= 4,11解 f(x) = 2 得 x= 2 或 x= 2,从而函数 y= f(f(x) + 1 的零点构成的集合为 3, Q.2x x3若关于 x 的方程 2 + 2 a+ a+ 1= 0 有实根，求实数 a 的取值范围.解法一(换元法)：设 t= 2x(t0),则原方程可变为 t2+ at+ a+ 1= 0, (*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令 f(t) = t2+ at+ a+ 1.若方程(*)有两个正实根 t1, t2,2a 4 a+ 1 0,则 t1+12= a0,解

17、得1va 0,2若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则 f(0) = a+ 1v0,解得 av1；a3若方程(*)有一个正实根和一个零根，则 f(0)= 0 且一 a0,解得 a= 1.综上，a 的取值范围是(, 2 2 2.法二(分离变量法)：由方程，解得 a= x+j1,设 t= 2x(t 0),t2+ 1 t + 1=t+-1其中 t+ 1 1,2由基本不等式，得(t + 1)+ 芮 2 2,当且仅当 t= 2- 1 时取等号，故 a0),当 x t, 10时，f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12 t(视区间a，b的长度为 b a).解(1)因为

18、函数 f(x) = x2 16x+ q + 3 的对称轴是 x= 8,所以 f(x)在区间 1,1上是减函 数.因为函数在区间 1,1上存在零点，116+q+3w0,即1+ 16+ q+ 30,所以一 20 q 12.因为 0Wt10, f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是 x= 8.当 0Wt6 时，在区间t, 10上, f(t)最大，f(8)最小，所以 f(t)f(8)=12t,g卩 t215t+52=0,解得 t = 尹尹，所以 t =1517;2当 6t8 时，在区间t, 10上,f(10)最大，f(8)最小，所以 f(10) f(8) = 12 t,解得 t= 8;3当 8t10 时，在区间t,10上,f(10)最大，f(t)最小，所以 f(10)