大学物理机械波振动题目汇总复习进程

1、大学物理机械波振动题目汇总0318一个轻弹簧在 60 N 的拉力作用下可伸长30 cm现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅 A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？解： (1) 小物体受力如图N设小物体随振动物体的加速度为 a，按牛顿第二定律有（取向下为正）mgNma1分Nm( ga)mg当 N = 0，即 a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知1 分A = 10 cm， k60N/m0.3- 1有k /

2、 m50 rads·系统最大加速度为amax2 A 5m·s- 2此值小于 g，故小物体不会离开(2) 如使 a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N=0求得ga2 xxg /219.6 cm即在平衡位置上方 19.6 cm 处开始分离，由 amax2 Ag ，可得A g /2 =19.6 cm30142分1分1分2分1分1分一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm 处速度是 24 cm/s，求(1)周期 T；(2)当速度是 12 cm/s时的位移解：设振动方程为xA cost ，则 vAsint(1) 在 x = 6 cm，

3、 v = 24 cm/s状态下有612 cost2412sint解得4 /3 ， T2/3 / 2 s2.72 s2分(2) 设对应于 v =12 cm/s 的时刻为 t2，则由v A sin t得1212(4 / 3) sint2 ，解上式得sint20.1875相应的位移为xA cost 2A 1sin2t 210.8 cm3 分3021一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数

4、为多少？解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为x A cos(t ) , xAsint在 x6 cm 处， x24 cm/s6 =12|cost|， 24=|- 12sint|，解以上二式得4 / 3 rad/s3分xA2 cost ，木板在最大位移处 x 最大，为 x A 2 若 mA 2 稍稍大于 mg，则 m 开始在木板上滑动，取mgmA2A2 / g0.06533022一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过点 ( t = 0 )，经过 2 秒后质点第一次经过B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A、B 两点具有 2 分 2 分 1 分A 点时作为

5、计时起AB相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点处的速率vx解：由旋转矢量图和|vA| = |v B| 可知 T/2 = 4 秒， T = 8 s， = (1/8) s 1，-s- 13分(1) 以 AB 的中点为坐标原点， x 轴指向右方t = 0 时，x5 cmAcost = 2 s时，x5 cmA cos(2)A sint = 4 sABxvA O vBvBt = 0t = 2 s由上二式解得tg = 1因为在 A 点质点的速度大于零，所以= - 3/4或5/4（如图）2 分Ax / cos5 2cm1分 振动方程x5210 2 cos(t

6、3 ) (SI)1 分44速率vd x5210 2t3(SI)2 分(2)d t4sin( 44 )当 t = 0 时，质点在 A 点vd x5210 2 sin(3)3.93 10 2 m/s1 分d t443027在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振1动周期为 T =s，振幅 A = 4 cm，求(1) 物体对平板的压力的表达式(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为xAcos4 t(SI)162 A cos 4tNx(SI)1 分(1) 对物体有mgNmx1 分xN mgmx mg162

7、 A cos4 t(SI)mg物对板的压力为FNmg162 Acos 4 t(SI)19.61.282 cos4t2 分(2) 物体脱离平板时必须 N = 0，由式得1分mg16 2 A cos 4 t0(SI)cos4tq1分16 2A若能脱离必须cos4 t1(SI)即Ag /(162 )6.21102 m2 分3264一质点作简谐振动，其振动方程为x 6.0 10211cos( t) (SI)3 4(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解： (1) 势能 WP1 kx 2总能量 E1 kA 222由题意， 1kx 2

8、kA2 / 4， xA4.24 10 2 m2分22(2) 周期T = 2/= 6 s从平衡位置运动到xA的最短时间t 为 T/82t = 0.75 s3分3265在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子将物体从平衡位置向下拉动4 cm，并给以向上的 21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）选 x 轴向下 , 求振动方程的数值式解：k = m0 g / l0.19.8 N/m12.25 N/m0.08k / m12.25 s 17 s 12分O0.25Ax02v 02 /242( 21) 2 cm 5 c

9、m 2分x7tgv 0 /( x0)(21) /(47)3/ 4 ， = 0.64 rad 3分x0.05cos(7t 0.64)(SI)1分3273一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m 最大恢复力为 Fm = 0.8 N，最大速度为 v m = 0.8 m/s，又知 t = 0 的初位移为 +0.2 m，且初速度与所选 x 轴方向相反(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式解： (1) 由题意FmkA ， Axm ， kFm / xm E1 kxm21 Fm xm0.16 J3分22(2)v mv m2rad

10、 /s2分Axm由 t = 0， x0A cos=0.2 m， v 0Asin0可得12分31 )则振动方程为x0.4 cos(2 t1分33391在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数k mg / l0 kl0k(l 0+x)选平衡位置为原点，向下为正方向小球在x 处l0时，根据牛顿第二定律得xmg k(l 0x) m d2 x / d t 2mg将 k mg / l0 代入整理后得x

11、mgd 2 x /d t 2gx / l 0 0 此振动为简谐振动，其角频率为3分g / l028.589.12分设振动表达式为x A cos(t)由题意： t = 0 时， x0 = A= 2 102 m，v0= 0，解得= 01分x210 2 cos(9.1t)2分3827质量 m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x0.5cos(8 t1 )的规3律作自由振动，式中t 以秒作单位， x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；(3) 振动的能量 E；(4) 平均动能和平均势能解： (1)A = 0.5 cm； = 8-1

12、= (1/4) s； = /32 分s；T=2 /(2)vx410 2 sin(8 t1)(SI)31 ) (SI)ax32 210 2 cos(8 t2 分1 kA21 m3(3)EEKEP2 A2 =7.90×10- 5 J3分22(4)平均动能E K(1/T )T1 mv 2 d t02(1/ T )T 1 m(410 2 )2 sin 2 (8t1 ) d t023= 3.95×10- 51EJ =21 E = 3.95×10- 5 J同理EP3分23828一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点.弹簧的劲度系数

13、k = 25 N·m- 1(1) 求振动的周期 T 和角频率 (2) 如果振幅 A =15 cm，t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向运动，求初速 v 0 及初相(3) 写出振动的数值表达式解： (1)k / m10 s 11分T2/0.63 s1分(2) A = 15 cm，在 t = 0 时， x0= 7.5 cm，v 0< 0由Ax02(v 0 / ) 2得v 0A2x021.3 m/s2分tg 1 ( v 0 / x0 )1或4 /32分13 x0>0，31(3)x 15 10 2 cos(10t) (SI)2分38343一物体质

14、量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25- 10.06 J 和动能 0.02 J，求N m，如果起始振动时具有势能·(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度解： (1)E EKE p1 kA 22E p ) / k1 / 2 = 0.08 mA2(EK3分(2)1 kx 21 mv 222m 2 x 2m2 A2 sin 2 (t)x 2A2 sin 2 (t)A21cos2 ( t) A2x22x2A2 ， xA /20.0566 m3 分(3) 过平衡点时， x = 0，此时动能等于总能量E EK E p1 m

15、v 22v2(EKE p ) / m1 / 20.8 m/s2分3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放已知物体在32 s 内完成 48 次振动，振幅为 5 cm(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下 1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一： (1)取平衡位置为原点，向下为x 正方向设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为 l，则有 mg k l , 加拉力 F 后弹簧又伸长 x0，则F mgk( lx0 )0解得F= kx02分由题意， t = 0 时 v 0 = 0；x =

16、 x0则 Ax02(v 0 /) 2x02分又由题给物体振动周期 T32 s, 可得角频率2, km248TFkA( 42 m / T 2 ) A0.444 N1 分(2) 平衡位置以下 1 cm 处： v 2(2/T)2(A2x2 )2分EK1mv 21.0710 2J2分1 kx 21 (42E p2m / T 2 ) x 2= 4.44×10- 4 J1分解二： (1)22A（ 5 cm），从静止释放，显然拉长量等于振幅FkA2分km24m 22 ， = 1.5 Hz2分F = 0.444 N1分(2) 总能量E1 kA 21FA 1.11 10 2 J2分22当 x = 1

17、cm 时， x = A/5，Ep 占总能量的K占 24/252 分1/25，EEK(24 / 25)E1.0710 2J，E pE / 25 4.4410 4J1分5191一物体作简谐振动，其速度最大值vm = 3×10- 2 m/s，其振幅 A = 2×10- 2 m若t = 0 时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动 . 求：(1) 振动周期 T；(2) 加速度的最大值 am ；(3) 振动方程的数值式解: (1)-1v m = A = v m / A =1.5 s2T = 2/4.19 s23分(2)mA = vm-22分a = 4.5×10m/s(3)

18、125511如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24mFN/m ，重物的质量 m = 6 kg，重物静止在平衡位置Ox上设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力 F当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程解：设物体的运动方程为x A cos( t) 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F×0.05 = 0.5 J2分当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即：1kA 20.5 J， A = 0.204 m2分A 即振幅2k / m4 (rad/s)22= 2 rad/s2分按题

19、目所述时刻计时，初相为= 物体运动方程为2 分x0.204 cos(2t)(SI)2分x = 0.02cos(1.5t1(SI)3分)23078一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为 u设 t = t时刻的波形曲线如图所示求(1) x = 0 处质点振动方程；yuOt=t x(2) 该波的表达式解： (1) 设 x = 0 处质点的振动方程为yA cos(2t)由图可知， t = t时yAcos(2t)01分d y / d t2A sin(2t) 01 分所以2t/ 2，12t2分21x = 0 处的振动方程为yAcos2(tt )1分21(2) 该波的表达式为yAcos

20、2(ttx / u)3分30822u = 20 m/s沿 x 轴负方向传播，已知 A 点的如图，一平面波在介质中以波速振动方程为y310 2 cos4 t(SI)(1) 以 A 点为坐标原点写出波的表达式；u(2) 以距 A 点 5 m 处的 B 点为坐标原点，写出波的表达式解： (1) 坐标为 x 点的振动相位为BAxt4 t (x / u)4 t (x / u)4 t( x / 20)2分波的表达式为y3102 cos4 t(x / 20)(SI)2分(2) 以 B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为t4tx5(SI)2 分20波的表达式为y3102 cos4(tx )(SI)2 分

21、203083一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为 3.0 cm，振动频率为 25 Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm当 t = 0 时，在 x = 0 处质元的位移为零并向x 轴正向运动试写出该波的表达式解：由题= 24 cm,u = 24×25 cm/s600 cm/s2分A = 3.0 cm，= 2 = 50 /s2分y0 = Acos = 0， y0A sin012分21y 3.0 10 2 cos50 (t x / 6) (SI)2 分23084一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为 u，设 t = 0

22、 时的波形曲线如图所示(1) 写出此波的表达式(2) 求距 O 点分别为/ 8 和 3/ 8 两处质点的振动方程yuOx(3) 求距 O 点分别为/8和3/ 8 两处质点在 t = 0 时的振动速度解： (1) 以 O 点为坐标原点由图可知，该点振动初始条件为y0 Acos0 ， v 0Asin0所以121波的表达式为yA cost(x / u)4分(2)x/ 8 处振动方程为2yA cost(2/ 8)1Acos( t/ 4)1 分2x 3/ 8 的振动方程为yAcost23/ 81A cos(t/ 4)1分21(3)d y /d tAsin(t2x /)t = 0， x/ 8 处质点振动速

23、度2d y /d tA sin(2/ 8)12 A/ 21分t = 0， x3 / 8 处质点振动速度2d y /d tAsin(23/ 8)12 A/ 21分31082两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：y14.0010 2 cos 1(4 x24t )(SI)3y24.001021(4x24t )(SI)cos3求： (1) 两波的频率、波长、波速；(2) 两波叠加后的节点位置；(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置解： (1) 与波动的标准表达式y A cos2( tx / ) 对比可得：= 4 Hz，= 1.50 m，各 1 分波速u = = 6.00 m/s1分(2) 节点位置4

24、x / 31)(n21 ) m , n = 0，1，2，3,x3(n3分(3) 波腹位置4x / 3n2x3n / 4 m , n = 0，1，2，3,2分3109设入射波的表达式为 y1A cos2( xt ) ，在 x = 0 处发生反射，反射点为一T固定端设反射时无能量损失，求(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置解： (1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为y2A cos2( x /t / T )3分(2) 驻波的表达式是 yy1y22 A cos(2 x /1) cos(2t / T1)3 分22(3)

25、波腹位置：2 x /1n,2分21 (n1)x, n = 1, 2, 3, 4,2211波节位置： 22分x /n1 n22x, n = 1, 2, 3, 4,31102一弦上的驻波表达式为y3.0010 2 (cos1.6 x) cos550 t(SI)(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；(2) 求相邻波节之间的距离；(3) 求 t = t0 = 3.00×10- 3 s 时，位于 x = x0 = 0.625 m处质点的振动速度解： (1) 将 y 3.00 10 2 cos1.6 x cos550t与驻波表达式 y 2 A cos(2 x /

26、 ) cos(2t )相对比可知：A = 1.50×10- 2 m, = 1.25 m，= 275 Hz波速u = = 343.8 m/s5分(2) 相邻波节点之间距离1= 0.625 m2分x2(3)y46.2 m/s3分vtx0 ,t03111如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播， BC 为波入射Bx密媒质的反射面波由P 点反射， OP = 3/4， DP =O D P反射C/6在 t = 0 时， O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动求 D 点处入射波与反射波的合振动方程（设入射波和反射波的振幅皆为 A，频率为）解：选 O 点为坐标原点，设入射波表达式为y1Acos

27、 2 ( t则反射波的表达式是y2A cos2OP( t合成波表达式（驻波）为y2 A cos(2 x /在 t = 0 时， x = 0 处的质点 y0= 0， ( y0/ t )0 ，x /)2分DPx )2 分) cos(2t)2分故得12分因此， D 点处的合成振动方程是23 / 4/ 6分y 2 Acos(2) cos(2 t)3Asin 2 t223138某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为 0.06 m， t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求(1) 该质点的振动方程；(2) 此振动以波速 u = 2 m/s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以

28、该质点的平衡位置为坐标原点）；(3) 该波的波长解： (1) 振动方程y0 0.06cos(2 t) 0.06 cos( t) (SI)3 分(2) 波动表达式23分y 0.06 cos (t x / u)0.06 cos (t1 (SI)x)2(3) 波长uT4 m2分3141图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求y (m)u = 0.08 m/s(1) 该波的波动表达式；Px (m)O0.200.400.60(2) P 处质点的振动方程- 0.04解： (1) O 处质点， t = 0 时y0 A cos0 ， v 0Asin0所以12分2又T/ u(0.40/ 0.08) s=

29、5 s2分故波动表达式为ytx (SI)4分0.04 cos 2 ()(2) P 处质点的振动方程为50.42yPt0.20.04 cos(0.43) (SI)2 分0.04 cos2 ()t50.4223142图示一平面余弦波在t = 0 时刻与 t = 2 s时刻的波形图已知波速为u，求(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；y (m)AAt=0x (m)280O160t=2 s20(2) 该波的波动表达式解： (1) 比较 t = 0 时刻波形图与t = 2 s时刻波形图，可知此波向左传播在t =0 时刻， O 处质点0 A cos，0v 0Asin，故12分21 )又 t = 2 s，

30、O 处质点位移为A/2A cos(4112所以，= 1/16 Hz2分振动方程为4241y0)(SI)1分Acos( t / 8(2) 波速u = 20 /2 m/s = 10 m/s2波长= u = 160 m2分波动表达式yA cos2 (tx)1 (SI)3 分1616023143如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时质点 P 的运动方向向下，求y (m)2A/2POx (m)- A100(1) 该波的表达式；(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式解： (1) 由 P 点的运动方向，可判定该波向左传播原点

31、O 处质点， t = 0 时2A/2Acos , v 0A sin0所以/ 4O 处振动方程为y0 A cos(500t1) (SI)3分= 200 m，故波动表达式为4由图可判定波长yA cos2(250tx)1 (SI)2 分2004(2) 距 O 点 100 m 处质点的振动方程是y1Acos(500 t51分)54振动速度表达式是v500 A cos(500 t) (SI)2分31444一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播，波长为， P处质点的振动规律如图所示(1) 求 P 处质点的振动方程；(2) 求此波的波动表达式；(3) 若图中 d1，求坐标原点 O 处质点的振动方2程解： (1) 由振动曲线可知， P 处质点振动方程为yP (m)01t (s)- AdOPxyP Acos( 2t / 4) Acos( 1t) (SI)3 分2(2) 波动表达式为 yAcos 2( tx d ) (SI)3分4Acos(1(3) O 处质点的振动方程y0t)2分23158在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为y1A cos 2 ( tx /) 与 y22 Acos 2 ( tx /) ，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置解： (1) 设振幅最大的合振幅为Amax ，有Amax2(2A)2A22 A 2 A cos式中4 x