2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证明与间接证明学案文

1、接证明与间接证明h拿拥宜接i壬明的甫种基本方袪:仆析怯与综育场能璃川反证底证明的题.拿稱反证法的界熱 皈 设：潮j舶论.乂益倍法、反证法证明问题是高粤中的仕点主要在知识交汇社命题.如掘臥不静式轸.从近三平店垮悄况朮看.本讲是离潺中的一牛热恵.預蘭203年将鲁以不綁式、立儿何.蛙列并mRAftM考査分析貳.综伫朗血的灵活应用題型为解害J中的一问,试题虑度中毎E基础知识过哭11.4直知识梳理1.直接证明考纲解读考向预测I2内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等经 过一系列的推理论证最 后推导出所要证明的结 论成立从要证明的结论出发丹 逐步寻求使它成立的 充仆条件直到最后把

2、要证明的结论归结为 判定一个明显成立的 条件(已知条件*定理、 定义公理等)为止实质由因导果执果索因rr-QuP凡召厲一框图PnQ_Q=Q2_- -r|得到一个明显|表ZbQ“nQ-*-|成立的条件文字因为所以要证只需证语言或由得即证2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1) 反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.(2) 用反证法证明的一般步骤：反设一一假设命题的结论不成立；归谬一一根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论一一断言假设不成立

3、，从而肯定原命题的结论成立.诊断自测1 概念思辨(1) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2) 证明不等式 2 + 7b0, m=jaJb, n= ab,贝U n,n的大小关系是 _答案n0,n0,则吊n2=a+b 2aba+b= 2b 2ab= 2b22ab0,.mn2,.n0,b0,且a+b= 4，则下列不等式中恒成立的是（）1 1A. -ab21 1B.+-21 1D.22Wa+b8答案 D2 2 2 2 2解析 /a+b 2 ab, 2(a+b)( a+b) = 16.2 211 a + b 8,.w.故选 D.a+b8（2）设a,b是两个实数，给出下列条

4、件：1_a+b2；a2+b22.其中能推出：“a,b中至少有一个大于 1”的条件是 _.（填序号）答案解析 取a= 2,b= 1，则a2+b22,从而推不出.能够推出，即若 则a,b中至少有一个大于 1.用反证法证明如下：假设aw1,且b 1,贝Ua+b2 矛盾.因此假设不成立，所以a,b中至少有一个大于 1.a+b2,40经典题型1巾关题型 1 分析法的应用a2+ 1- 2a+- 2.VaV a典例已知a0,证明:51只需证 aA2.a1 ( 1 因为a0,a+2显然成立a=1 时等号成立，所以要证的不等式成立.方法技巧1 分析法证明问题的策略(1) 逆向思考是用分析法证题的主要思想.(2)

5、 证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.2 分析法的适用范围及证题关键(1) 适用范围：1已知条件与结论之间的联系不够明显、直接.2证明过程中所需要用的知识不太明确、具体.3含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导.(2) 证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的见典例.冲关针对训练(2018 天津期末)已知xy0,m0.用分析法证明：，xy(2 , xy) 1.证明 要用分析法证明：.xy(2 xy) 1,只需 2xy (xy)20,即(_xy 1)20,因为x,y0，且(.xy1

6、)20成立，所以xy(2 xy) 0,所以所以只需证21a+ :a即 2(2 典例已知a,b,c为互不相等的实数，求证:6444222 22 2a+b+cab+be+c aabc(a+b+c).【方法点拨】I证明/a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,4422c+a2a c,又a,b,c互不相等，上面三式中至少有一个式子不能取“=”， a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.Ta2+b22ab,2 2 .2 2 .2a c+b c2abc,2 2 22 2.22 .22.2同理a b+a c 2 a bc,b c+b a 2 ab c,a b+b c+c aabc+a bc+ab

7、c.由，得a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 方法技巧1. 利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2. 综合法证明问题的常见类型及方法(1) 与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调 性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用.见典例.(2) 与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明.冲关针对训练(2017 黄冈模拟)设数列an的前n项和为S,且(3 m)S+ 2ma=讨 3(

8、n “ .其中m为常数，且m 3.(1)求证：an是等比数列；若数列an的公比q=f(m，数列bn满足b1=a1,bn= |f(bn1)(nN, n2),求证:bn证明(1)由(3 n)$+ 2ma=3，得(3 m)S+1+ 2ma+1= m 3.两式相减，得(3 +m)an+1= 2ma,m# 3,an+12m =, an是等比数列.anm+ 3(2)T(3m S+2ma=m+3, (3 m)a1+ 2ma=m+ 3,二a1= 1.2m,戸,b1=a1=1,q=f(m)= 7,A当nN 且n2时,IT+ 3利用基本不等式进行整理变形，使命题得证.为等差数列.7bn=3f(bn 1) =3b2

9、+13?bnbn- 1+ 3bn=35 1?1=售.22bn 1十 3bnbn 13是首项为 1,公差为 3 的等差数列222(1 + 4k)x+ 8km)+ 4m 4 = 0.2bn-1题型 3反证法的应用典例2x直线y=kx+ nm0)与椭圆W：+y2= 1 相交于A, C两点，O是坐标原点.B的坐标为(0,1)，且四边形B在W上且不是W的顶点时,(1)当点当点【方蚤点拨】IOABC为菱形时，求AC的长；证明：四边形OAB(不可能为菱形.因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线8的中点求对角线的斜率，研究其是否垂直.解(1)因为四边形OABC菱形，AC与OB相互垂直平分.可设At, 2，

10、代入椭圆方程得+1=1,即t=3，所以 |AC= 2 3.(2)证明：假设四边形OAB为菱形.因为点B不是W的顶点，且ACL OB所以kz0.2 ,2 ,x+ 4y= 4,由消y并整理得y=kx+m,y1+yX1+X2m2=丁+ m=1 + 4k2，1 + 4k2.因为M为AC和OB的交点，且 0,1所以直线OB的斜率为-示 1、因为k i 4z1,所以AC与OB不垂直.所以四边形OAB(不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W勺顶点时，四边形OAB(不可能为菱形. 方法技巧反证法的适用范围(1)否定性命题；命题的结论中出现“至少”“至多” “唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证

11、明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命设A(x1,y1),C(x2,y2)，则2X1+X24km2,1 + 4k4km mAC的中点为9题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.冲关针对训练(2017 济南质检)若f(x)的定义域为a, b，值域为a, b(a 2),使函数h(x) =x2 是区间a，b上的“四维光军”函数？ 若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.1解 假设函数h(x) =在区间a,b(a 2)上是“四维光军”函数，因为h(x)=X 21a2 =b,即丄=a b+ 2,解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.E真题模拟诃1关1.(2014 山东高考

12、)用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x3+ax+b= 0 至少有一个实根”时，要作的假设是()A.方程x3+ax+b= 0 没有实根B.方程x3+ax+b= 0 至多有一个实根C.方程x3+ax+b= 0 至多有两个实根D.方程x3+ax+b= 0 恰好有两个实根答案 A解析 因为“方程x3+ax+b= 0 至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b= 0 的实根的个数大于或等于 1”，因此，要作的假设是方程x3+axb= 0 没有实根.故选 A.2.(2017 郑州模拟)设x0,P= 2x+ 2x,Q=(sinx+ cosx)2,则()A.PQB.PQ答案 A解析 因为 2x+ 2x2

13、2x2x= 2(当且仅当x= 0 时等号成立)，而x0,所以F2; 又(sinx+ cosx)= 1 + sin2x,而 sin2xw1,所以QW2.于是PQ故选 A.11k3.(2016 邹平县校级期中)若abc,则使 +恒成立的最大的正整数k1x2 在区间(2,)上单调递减,所以有;a,10ab bc ac为()A. 2 B . 3 C . 4 D . 5答案 C解析Tabc,=ab0,bc0,ac0,且ac=ab+bc.114. （2017 海淀区二模）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次 输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们

14、 各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173 ，则正确的密码中一定含有数字（）A. 4,6 B . 3,6 C . 3,7 D . 1,7答案 D解析若正确的密码中一定含有数字3,6，而 3,6 在第 1,2,3,4 的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾.同理正确的密码中一定含有数字4,6 或 3,7 不正确.若正确的密码中一定含有数字 1,7，而 3,6 在第 1,2,3,4 的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可 得 1 在第三位置，7 在第四位置.故选 D.E课后作业斉关基础送分提速狂刷练一、选择题1. （2018 无锡质检）已知m1,a=

15、1 m,b=mm 1,则以下结论正确的是（）A. abB. a rn m- 10(m1),yy zzxx2.设x,y,z0,则三个数 +工，一 + 一，一 + 一（ ）xz xyzyA.都大于 2 B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2答案 Cyyzzxx+ +一+一+一+一xzxyzy:x+z，x+y，x+:中至少有一个不小于2.故选 C.ac ac ab+bc ab+bc bc abr r卜 一=2+ab 2+2=4，当且仅当a-b又ab+bcabbc=bc时等号成立.ac ac:kab+职，kw4,故k的最大整数为 4.故选 C.1 1m+ 1 +mm+

16、m-1，即abc，且a+b+c= 0,求证：.b2ac0 B .ac0C. (ab)(ac)0 D . (ab)(ac)0答案 C解析b2ac 3a?b2ac3a2? (a+c)2ac3a2?a2+ 2ac+c2ac 3a20? 2a2+ac+c20? (ac)(2a+c)0? (ac)(ab)0.故选 C.21m4.已知a0,b0,如果不等式-+匚恒成立，那么m的最大值等于(a b2a+bA. 10 B . 9 C . 8 D . 7答案 B解析Ta0,b0,. 2a+b0. 5+ 2 屠+a卜 5+ 4 = 9，即其最小值为 9,当且仅当a=b时，等号成立. me9,即卩m的最大值等于 9

17、.故选 B.5.设f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当x0时，f(x)单调递减， 若X1+X20,则f(x +f(X2)的值()A.恒为负值 B .恒等于零C.恒为正值 D .无法确定正负答案 A解析 由f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是 R 上的单调递减函数，由X1+X20,可知X1X2,f(X1)f( X2)=f(X2),则f(X1)+f(X2)a+b+cB.a2+b2+c2ab+bc+ac222C.a+b+c2(ab+bc+ac)2222 2 2 2 2 2a+b+c= 2(a+b+c) 2(abcosC+accosB+bccosA).a+

18、b+c= 2(abcosC+accosB+bccosA)2(ab+bc+ac)答案 C解析c2=a2+b2 2abcosC, b2=a2+c2 2accosB,2 2 2a=b+c 2bccosA,15解析 由条件知，ABC的三个内角的余弦值均大于 0,则厶ABC是锐角三角形，且ABC2不可能是直角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形.nA2=A,得Ba=n-B,n则A+R+ C= ，这与三角形内角和为 180相矛盾.因此假设不成立，故ABC是钝角三角形.故选D.& （2017 昌平区二模）四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者 得 3分，负者得 0 分，平局双方各得

19、 1 分.比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（）A. 2 B . 3 G . 4 D . 5答案 G解析 四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛 6 场.每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局双方各得 1 分.即每场比赛若不平局，则共产生3X6= 18 分，每场比赛都平局，则共产生2X6= 12分.比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2,3,4,5 或 3,4,5,6.但是不可能产生 4,5 分，与题意矛盾，舍去.因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分 5: 5 = 3+ 1 + 1，

20、为一胜两平；第二名得分 4: 4 = 3+ 1 + 0，为一胜一平一负； 第三名得分 3:根据胜场等于负场，只能为三平;第四名得分 2: 2 = 1 + 1 + 0，为两平一负. 则所有比赛中最多可能出现的平局场数是 4.故选 G.二、填空题C2=专G,如果是 3,4,5,6，则每场产生3+4+5+66=3 分，没有平局产生,sin A = cosA= sin由 sin R= cosB= sinIsinC2= cosG= sin169. (2017 南昌一模)设无穷数列刘，如果存在常数A,对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N,使得nN时，恒有A| 成立，就称数列an的极限为A则n11

21、112n+ 四个无穷数列：( 1)X2:n:1+ 2 + 22+ 23+ 厂育n厂二其极限为 2 的共有_ 个.答案 2解析 对于，Ian 2| = 1( 1)nx2 2| = 2X1( 1)n 1|，当n是偶数时，Ian 2| =0，当n是奇数时，|an 2| = 4，所以不符合数列an的极限的定义，即2 不是数列(1)X2的极限；对于，由|an 2| = |n 2| ，得 2 nN时，恒有|an 2|1 Iog2 ，即对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数N使得nN时，恒有工 1 111Ian 2| 成立，所以 2 是数列 1 + 2+艺+ 23+ 21的极限；对于，由|an 2| =2n+1112 =-,即对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数N使nn2n+ 1、得nN时，恒有|an 2|1,n N,若不等式a 1a1恒成立，贝Un的最小值为 _答案 2解析n= 1 时，结论不成立.2歹 17 a 1n= 2 时，不等式为,a 1一厂,即 2a 20,a1，则，a 有意义，不等式恒成立.11312.设非等腰ABO的内角A,B, C所对的边长分别为a,b,c,若一-+一-= -一a-b c-b a-b+c则代B, C的关系是_答案 2B=A+C113+ =a-b c-b a-b+c2 2 2即b=a+cac,- B=60,A, B, C的