2019版高考数学一轮复习第12章选4系列12.4证明不等式的基本方法学案文

1、12.4 证明不等式的基本方法考纲解读考向预测了解不耳式证明的势本方陆：比较法，垛合法-井析法、性匪送、旗端法.并能应JI3O1证明一些櫛 单的不專式.从近三卸饰占帖况来看，本讲足窗垮命题的-牛热也顶蘭御9年将会晞帕CMB本不筹式结合 证明不謬式：即-j恒成订探斜1丽題结合*融型为解容函“JSdrh-E基础知识过哭知识梳理证明不等式的基本方法： 比较法、 综合法、 分析法、 反证法、 放缩法. 三个正数的算术-几何平均不等式2.(1)定理：如果a,b,cR+那么 吐字_仝abc,当且仅当a=b=c时，等号成立.即a+b+c3(三个正数的算术平均3不小于它们的几何平均，abc.(2)基本不等式的

2、推广a1+a2+an对于n个正数a1,a2,，an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即n-N .3.(1)成立.aa2an，当且仅当a1=a2 =an时，等号成立.柯西不等式设a,b,c,d均为实数，则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时等号若ai,b(i N*)为实数，则Za2送bZaibi，当且仅当b2a1a2bn=邛当ai123=0 时，约定bi= 0,i= 1,2，n)时等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设a ,3为平面上的两个向量，则|a|3|aB| ,当且仅当a,3共线时等号成立.诊断自测1概念思辨(1) 用反证法证明命题a,b,c全为 0

3、”时，假设为a,b,c全不为 0”.()卄x+ 2y心(2) 若1，则x+ 2yx-y.()xy(3)|a+b| + |a-b| |2a|.()若实数x,y适合不等式xy1,x+y-2,则x0,y0.()答案X(2)X(3)VV2.教材衍化222b a(1)(选修 A4-5P23T1)不等式：x+33x；a+b2(a-b-1)；a+萨2,其中恒成立的是()A. B . C . D .答案 D2i323222解析 由得x+ 3-3x= $ 2 + 40,所以x+ 33x；对于，因为a+b 2(a-b22b afabf1) = (a- 1) + (b+ 1) 0,所以不等式成立；对于，因为当ab0

4、 时，彳+一2= 0,b a即-+1 2(x1)，|a-b| 1,其中恒成立的个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 45答案 C1 “解析logx10+ lgx=i-Flgx2(x1)，正确.gxabw0时，|ab| =|a| + |b|，不正确；b a因为abz0,a与b同号，- b a b a _所以一 +匚=一 +二2,正确；a b a b由|x 1| + |x 2|的几何意义知，|x 1| + |x 2|恒成立，正确，综上正确.故选 C.(2)设a,b,m nR,且a2+b2= 5,m升nb= 5,U寸m+n2的最小值为 _ .答案 .5解析由柯西不等式得(ma+nb)2

5、w(m+n2)(a2+b2)，即ni+n25,二寸m+n2寸 5,所求最小值为5.0经典題型i巾关题型 1 综合法证明不等式b(2018 安徽百校模拟)已知a0,b0,函数f(x) = |2x+a| + 2x+ 1 的最小值为 2.(1)求a+b的值;不等式的性质消去x即可；利用汀b=1转化为1+4=(a+b)才b求解.解因为f(x) = |2x+a| + |2xb| +1|2x+a (2xb)| + 1= |a+b| + 1, 当且仅当(2x+a)(2xb)wo时，等号成立，又a0,b0,所以 |a+b| =a+b,所以f(x)的最小值为a+b+1 = 2，所以a+b= 1.证明：由(1)知

6、，a+b= 1,1 4, 1 4b4ab4a所以 一+ = (a+b) i + = 1 + 4+ + 5+ 2= 9,a ba bja bj a bb4a12当且仅当a=b且a+b= 1, 即卩a= 3,b=-时取等号.典例(1)当绝对值符号中x的系数相同时,利用绝对值求证：a+ log3三+b：A3b.6所以log+ 詁log39=2,7所以a+b+ log31+方法技巧1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成

7、立的前提条件.冲关针对训练(2018 浙江金华模拟)已知x,y R113(1) 若X,y满足 |x-3y|2, |x+ 2y|6，求证：|x|2x3y+ 8xy3.证明(1)利用绝对值不等式的性质得11v 1n 3|X| = 5【|2(X- 3y) + 3(x+ 2y)|益g|2(x- 3y)|+ |3(x+ 2y)|0, x4+16y42x3y+8xy3.题型 2 分析法证明不等式b1 +2= 3，8设a,b,c0，且ab+bc+ca= 1.典例【方法点拨】I含根式的不等式考虑分析法.证明(1)要证a+b+cJ3，由于a,b c0,因此只需证明(a+b+c)3,即证a2 2 2 2 2+b+

8、c+ 2(ab+bc+ac) 3,而ab+bc+ca= 1，故需证明a+b+c+ 2(ab+bc+2 2 2ac) 3(ab+bc+ac)，即证a+b+cab+bc+ac.因为ab+bc+caw?2 . 2 2 . 2 2 2a+b c+b a+c+ -2 + 厂=a+b+c(当且仅当a=b=c时等号成立),所以原不等式成立.be+ac+ca+b+cba；abc在(1)中已证a+b+，因此要证原不等式成立，只需证明+伍+&,求证：(1)a+b+c 3；9即证a bc+b ac+c baab+bc+ca.而a bc=ab acb ac=ab bcc ba=cb；acb0,试证：2a3b3

9、2 ab2-a2b.证明 要证明 2a3b32ab2a2b成立，只需证 2a3b3 2ab2+a2b0,即证 2a(ab) +b(ab2)0,即证(a+b)(ab)(2a+b)0.ab0,ab0,a+b0,2a+b0,从而(a+b)(ab)(2a+b)0成立，3322-2ab2 aba b.卄亠十ia+mm a2+mb2. 右m0,a,b R,试证：訂严1+m.证明 因为m0,所以 1 +m0.所以要证原不等式成立，. _ 2 2 2只需证(a+mbw(1 +m(a+mb),即证m a 2ab+b)0,2即证(ab)0,而(ab)20显然成立，故原不等式得证.题型 3 反证法证明不等式1 1(

10、2015 湖南高考)设a0,b0,且a+b=+证明：a+b2；a2+a2 与b2+b0,b0,得ab= 1.典例【方法点拨】I否定形式的命题考虑用反证法.10a b ab(1)由基本不等式及ab= 1,有a+b2, ab= 2，即a+b2,当且仅当a=b= 1 时等号成立.1122. .2. .假设a+a2 与b+b2 同时成立，则由a+a0,得 0al ；同理，0bl, 从而ab1,这与ab= 1 矛盾.故a2+a2 与b2+b2 不可能同时成立.方法技巧反证法证明不等式的题型及思路对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反 证法其一般步骤是假设T推理T得出

11、矛盾T肯定原结论.冲关针对训练法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致1矛盾”这是对反证法精辟的概括.有如下用反证法证明命题：若a,b, c都是正数，则a+,11b+ ,c+ -中至少有一个不小于2.ca111 亠证明 假设a+b,b+-,c+;全部小于 2,bcaa+b2,1c+a2,1 1 1a+b+b+1+c+16,而a+b+c+c+吕=a+a+b+c+c2+ 2 + 2= 6,与上式矛盾.所以，假 设错误，原命题成立.题型 4 柯西不等式(2017 江苏高考)已知a,b,c,d为实数，且a2+b2= 4,c2+d2= 16,证明:ac+bdw8.证明

12、 由柯西不等式，得(ac+bd)2( a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2= 4,c2+d2= 16,2所以(ac+bd)w64,因此ac+bdw8.典例 2已知a,b, c R,4a+b+ 2c= 4,求 2a+b+c的最大值.即b+ g(2a+b+c)12由柯西不等式得(2a)2+b2+ (2c)213因为 4a1 2+b2+2C2=4，所以(2a+b+c)2w10,当且仅当a=b=彳,c=取等号.所以一岂.；10W2a+b+Cw10,所以 2a+b+C的最大值为 10.方法技巧利用柯西不等式的解题思路1.用柯西不等式证明时， 一般需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，后

13、根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式进行证明.“，+ 2 22 （1 + 1 + - a2an /1）2=n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数和等号成立的条件.冲关针对训练1313b-1a=(a+b-1)a+b=4+一丁+b-2 3,当且仅当a= 3(b- 1) =3一严时取等号，+111若p,q,r为正实数，且 -= 4，求 3p+ 2q+r的最小值.3p2q r解令a1=3p,a2= 2q,a3=r.由柯西不等式，得12-a1a2a2+ 丄a32= 9，即a3)1 13p+p+2 2 2、+ 12+a22 2 21 1(11+a2+a3)匸a1+F142q+r) 9.11193p

14、+2q+厂4，3p+2q+r4,尹百的最小值为4+25.故选D.1114当且仅当一 =一=_=_ 当且仅当 3p2qr3，13即p=4，q=8,r=4时，取等号. 3p+ 2q+r的最小值为94.15E真题模拟惰1关1.（2017 民乐模拟）设a0,b1，若a+b= 2,则|+的最小值为（）A. 2 .3 B . 8 C . 4 .3 D . 4+ 2 3 D2 2 22.(2017 红花岗期中)设x,y,z R,且-Fy；2+Z3= 1,求x+y+z的最大值与最小值.x 1 厂y+ 2z 3解 /x+y+z= 4 + 寸 5+ 2 + 2,2 2 2 2 2 2 2根据柯西不等式，(X1X2

15、+yiy2+Z1Z2)w(xi+yi+zi) (X2+y2+Z2)，得故x+y+z的最大值为 7,最小值为3.333.(2017 全国卷n)已知a0,b0,a+b= 2.证明:55(1)(a+b)(a+b) 4；(2)a+bw2.证明 (1)(a+b)(a5+b5) =a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2 2a3b3+ab(a4+b4)=4 +ab(a2b2)2 4.33223(2)因为(a+b) =a+ 3a b+ 3ab+b= 2+ 3ab(a+b)233fa+b 3fa+b W2+4(a+b)=2+4,所以(a+b)w8,因此a+bw2.4.(2018 南昌模拟)函数f(x) =

16、 , |x+ 1| + |x+ 2| a.(1)若a= 5,求函数f(x)的定义域A；答案解析设a0,b1,a+b=2,3a+b- 14 x1y+52 +“字2x 1y+ 2F矿2x 1y+ 2h 7 聾+i因此，x+y+z 3,7,所以,即一 5W4 z3W5,ab-1W(16+5+4)16E课后作业有关基础送分提速狂刷练11.(2018 沈阳质检)已知函数f(x) = |x-a| - 2x(a0).若a= 3,解关于x的不等式f(x)0 ;若对于任意的实数X，不等式f(x) -f(x+a)a2+号恒成立，求实数a的取值范围.1 1解 (1)当a= 3 时，f(x) = |x- 3| -於，

17、即 |x-3| - qxvO,x1原不等式等价于2x- 32X,解得 2x6，故不等式的解集为x|2x6.a(2)f(x)-f (x+a) =1 x一a|-|x| + 2，原不等式等价于|x-a| - |x|a2, 由三角绝对值不等式的性质，得Ix-a|-|x|w|(x-a)-x|=|a|,原不等式等价于|a|0,.a1.故实数a的取值范围为(1,+s).2.(2017 河北石家庄二模)设函数f(x) = |x- 1|-|2x+ 1|的最大值为m(1) 作出函数f(x)的图象；(2) 若a2+ 2c2+ 3b2=m,求ab+ 2bc的最大值.设a,b ( 1,1)，证明:丨a+b|2 0,当x

18、W2 时，一 2x 80,解得xW 4;当一21 时，2x 20,解得x 1. 解得A= x|xw4 或x 1.(2)证明:Ia+b|2ab1 +才 ? 2|a+b|4 +ab|.十.2.22.2.2. 22.22. 22而 4(a+b) (4 +ab) = 4(a+ 2ab+b) (16 + 8ab+a b) = 4a+ 4ba b 16=a(42 2 2 2b) + 4(b 4) = (b 4)(4 a),2 229 4(a+b) (4 +ab),|a+b|2ab1+ab17解 (1)因为f(x) = |x- 1| -12x+ 1| ,1x+2,xw-2,所以f(x)=- 3x, - !x

19、 1,画出图象如图.3(2)由(1)可知rn= 232222222因为 2=mi= a+ 2c+ 3b= (a+b) + 2(c+b)2ab+ 4bc,3i所以ab+ 2bcw4，当且仅当a=b=c=时，等号成立.3所以ab+ 2bc的最大值为-.43.(2017 广东肇庆统测)已知函数f(x) = |x+1| ,g(x) = 2|x| +a.若a= 0,解不等式f(x) g(x);(2)若存在x R,使得f(x) g(x)成立，求实数a的取值范围.解当a= 0 时，由f(x) g(x)，得 |x+1| 2|x| ,两边平方，并整理得(3x+ 1)(1 -x) 0,所以所求不等式的解集为jx-

20、1wxg(x)，得 |x+1| 2|x| +a,即 |x+ 1| - 2|x| a.令F(x) = |x+ 1| -2|x| ,依题意可得F(x)maxa.F(x)=|x+1|-|x|-|x|w|x+1-x|-1x|=1-1x|w1,当且仅当x= 0 时，上述不等式的等号同时成立，所以F(x)max= 1.所以a的取值范围是(一8,1.18解法二：由f(x) g(x)，得 |x+1| 2|x| +a,即 |x+ 1| - 2|x| a.令F(x) = |x+ 1| - 2|x|，依题意可得F(x)maxa.|1x,x0,F(x) = |x+ 1| - 2|x| = 3x+ 1,- 1x0,以1,x- 1,易得F(x)在(-8,0)上单调递增，在(0 ,+)上单调递减，所以当x= 0 时，F(x)取 得最大值，最大值为1.故a的取值范围是(一8,1.4.(2017 衡阳联考)已知函数f(x) = |x 3|.(1)若不等式f(x 1) +f(x)a的解集为空集，求实数a的取值范围；19若|a|1b|x- 4 + 3-x| = 1,不等式f(x- 1) +f(x)a即可，所以实数a的取值范围是(一1 (2)普f.即证(ab