圆锥曲线的光学性质及其应用

1、圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质， 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设 p （ XqJo ）为圆锥曲线 Ax2 + Bxy+ C” + Dx + Ey + F = 0 （a、b、c 不同时为零） 上一定 点， 则 在 该 点 处 的 切线 方 程 为： 她+B近箜+ CW + D 上+ e£ + F =。222。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“法”求出在点p处的切线斜率k-fSyj ,进而用点

2、斜式写出切线方程y-y0 = f（x。Jo）（x-x°）,则在点p处的法线方程为1Y - Yn = 一f（Wo） （x-xQ。1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线= 2px（p0）上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图i中k鱼。事实上，设为抛物线寸=2牌上一点，则切线mt的方程可由替换法则，得_ X + x0P_一 2 ，即仃二区+气.），斜率为孔，于是得在点m处的法线方程为令y=°，得法线与x轴的交点n的坐标为（*。+p），所以|FN|二 + p - ？卜 X。+ §又焦半径所以|FN|=|FM |,从而得

3、乌=4 =如即4 =闻当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。也可以利用点M处的切线方程求出丁即）,则叩=护IMFf+L，又 °2故| FT |=| FM |m m 22 = Z3,从而得血=&也可以利用到角公式来证明_抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴”。2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图图2证明也不难，分别求出kp# *?旷kp与，然后用到角公式即可获证。椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发

4、出的光线，经过椭圆反射后，反 射光线交于椭圆的另一个焦点上”。3中蛆乌。仍3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图 可利用到角公式获证。图3这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式 的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图 4, MN切曲线

5、C于 点P,则Z APM=Z BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等 角的余角相等来证明的。图4x y 1 广_ +=1 =例1求证：椭圆259 和双曲线15在交点处的切线互相垂直。图5分析：如图5,用圆锥曲线光学性质证明Z1+Z 3 = 90°即可。证明：如图5,两曲线的公共焦点，设p为两曲线的一个交点，pq、PR分别为椭圆、双曲线的切线，连&P，并延长，由椭圆光学性质，推得1 =/ 2;由双曲线光学性质，得/ 3=7 4。又Z 2=Z 5, Z4=Z 6 （对顶角相等），所以Z 1 = Z 5, / 3= / 6 （等量代换）。 又Z 1 + Z

6、 3+Z 5+Z 6 = 180° , 所以Z 1 + Z 3 = 90° ,即PQ± PR,命题得证。评注：（1）本题也可采用代数运算证出kpkpR=-l的方法来证明，但比较复杂。这里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。例2如图6,已知$ 5是椭圆药+仍项役卜对）的焦点，6 P?分别是$ 5在椭圆任一切线CD上的射影。（1）求证：|FP"|FE|为定值；（2）求Pp Pa的轨迹方程。分析：（1）欲证IRP |，

7、| Fg |为定值，即证 |FQ|siim|FQ| 如皿 为定值（由光学性 质推得 ZFiQP 广 ®QP 广 以），从而知应用余弦定理于 AFQF： 即可获证。）（2）求出 mm 分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知 ZF1QP广况 QP,设为（X ,贝UIFRHFiQ网饥喝日以网cl所以 | 5马 |=|FQ|-|&Q|血'也又ZFiQF广"-2，则在怔网中，1哂 |七|FiQf + 旧Q|L2|FiQ| |FQg（18。-2d）= （|F；Q|+I5QF）2|F；Q|'|WQ|（1lcw2ol）-（2a

8、）a-2|F1Q| |FaQ| l（l-2maa）= 4a2 -4151 |F2Q|sin2（x= 4a3-4|F1P1| |F2P2L则'1I-所以|FP|,国R|=为常数,即定值。(2)设点O在CD上的射影为 M,贝U OM是直角梯形的中位线，于是有在 RtAOPjM 中,|OP1p=|MP1|2+|OM|2 =：| 耶 F +0F】P / +1 E P也 N1 喝于N）=31所/-0阴|-匡明）七（|卵|+|&均|=；"+ 4 IF出1.1 5马 |）= 1 （* + 府）曲（1削|F】P hl F涡 |=尸）44=aa同理 L '所以Pp P?的轨迹是

9、以。为圆心，a为半径的圆，其方程为 /例3设抛物线 矿=1位的焦点为F,以F与A (4, 4)为焦点作椭圆，使其与已知抛物线有公共点(如图 7),当长轴最短时，求椭圆方程。分析：求解的关键是光线 FP的反射线PA平行于x轴。E 3-2)"2 + 5-=1解：设以点A (4, 4)、F (4, 0)为焦点的椭圆为& -4 角(a为长半轴 长)。再设P为抛物线与椭圆的公共点, 由椭圆第一定义知：|PA|+|PF|=2a即长轴长2a等于抛物线上一点 P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆 与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。所以P (1 , 4)。由知占血三4，(4)(y-2)"+= L所以所求的椭圆方程为一二例4如图8,已知探照灯的轴截面是抛物线y3 = x ,平行于对称轴y = 0的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为p、Q,设点p的纵坐标为，当a为何值时，从入射点P到反射点Q的路程PQ最短?分析：设F(a'),由抛物线光学性质知F - 0PQ过焦点14 ),故可用弦长公式建立目标函数I PQ 1= f (&)，求出最小值条件a即可。解：由抛物线光学性质知光线 pq必过其焦点J,设点P(a)a)，则直线pq的方程为2将方程y 代入，消去x,