辅助角公式应用

1、辅助角公式应用在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。.为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式：fxa sin xb cosxa2b2 sin xgab2cosxgba2b2 sinx， , )a2a2b2其中 cosa,sinb（几何意义：p a, b 所在终边对应的中心角）a2b2a2b2当定义域为 R 时， f xa2b2 ,a2b2.当定义域有限定时，要根据辅助角公式的几何意义得到的估计范围， 再根据 x的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域.1.求函数fxsin x2cos x, x0,的值域 .2【解析

2、】由辅助角公式可得：fx51 sin x2 cosx5sin x，55（其中 sin2 ,cos1） .55sin0,cos0为第一象限角，可令0,2x0,x,，又+,0,，22222而 sin1,sincos2 ，f x1,1 .52552.求函数fx2sin x3cos x, x, 2的值域 .63精选文库【解析】 解法一：辅助角公式: fx13sin x2313sinx.cosx1313其中 sin3,cos2，为第四象限角 .1313又 sinsin61 ，可令,，226x,2x6,2，而0, 2.633632函数 ysin x, x2,单调递增，f62sin3cos1 3 3，266

3、2f 22sin 23cos 233f x333312,33322解法二：数形结合法:令 f xt2v3u ，如右vl 2图圆弧与直线v31l1ut 有交点，则直线如右图22l1,l 2 位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限.1u-1圆弧两个端点坐标为3,1,1,3 ，2222代入直线方程的 t333312,2f x13 3,3322-2精选文库3.函数 y3cos x4sin x, x, 的值域 _.63 4 33 ,5 【解析】 y4sin x3cos x5sin( x34) ,其中 sin,cos255且估算(, ) ,而 x 6, ,估算 ( x) (, 7 )643312所以 ,当

4、x时 ,函数有最小值 ymin3cos4334sin2666当 x时,函数有最大值ymax5,即函数值域 y 43 3,5224.设 x时，函数fxsin x2cos x 取得最大值，则cos_.【解析】解法一：辅助角公式 :由辅助角公式可得：fxsin x2cos x5 sin x，其中 sin2 ,cos1，当 x时， fx 取得最大值 .55则2k,kZ ，即2k, kZ.222coscossin.25解法二：导数法 : fcos2sin0,sin2cos52，得 cos5fx max5sin2cos5解法三：解方程组:由条件可得，即sin 2cos2，消去 sin12cos21，解得

5、cos2得 5 2cos.5-3rr精选文库2,1cosx,sin x，则 f xr rr r解法四：向量法:令 a, bagba b cos当 cos 取得最大值时，f x 取得最大值，此时r r2a 与 b 同向共线，易得 cos.5解法五：数形结合法v令 ucos x, vsin x,则 u2v21f xt v 2u ， 如 右 图 圆 弧 与 直 线Av2ut （ t 为纵截距）有交点，则-1o1u直线如右图l1 位置与圆相切时t 取最大值，切点2l1A cos ,sin.此时 l1 斜率为2，易得 cos.55. 设当 x时，函数 f ( x)2sin x cos x 取得最大值，则

6、cos_.52sin xcos x255【解析】 因 f (x)5sin( x ) ，其中 cos5,sin55又当x时，函数f (x)取得最大值 ，所以2，即2k( k Z )k22所以 coscos( 2k) sin525，6.若 x时，函数f x2sin x 3cos x 取得最大值，则tan_.2【解析】 f x2sin x3cos x 13 sin( x) 其中 cos2 ,sin3,31313又当 x时，函数 f (x) 取得最大值 ，所以2k，即2k(kZ ) ，22所以 tantan(2k)cotcos2sin.23-4精选文库7已知方程2sin x cos x c在 (0,)

7、 上有两个根和，则 sin()_4 【解析】方法一：方程转化为5(sin x2cos1 )c555其中 (cos2,sin1 ) , sin( x)sin tc依题意方程在(0, ) 上有两个根555和，故只能有2kt ，2kt ，所以 sin()sin(2)sin 22sincos2214555方法二：用特殊值c5或 t5则 t6268 已 知 函 数 f ( x)sin(x)2cos(x)（ 0）的 图 象 关 于 直 线 x 1对 称 ， 则 sin 2（）A 4B 3C 3D 45555A 【 解 析 】 f (x)sin(x)2cos(x)5 sin(x) ，其 中 sin2， co

8、s1 又 函 数 的 图 象 关 于 直 线 x1对 称 ，55所 以k（ kZ），即k，22则 sin 2sin(2 k2)sin(2)sin 22sincos2142555【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即 可 -5精选文库9.若 fx2015sin x2016cosx 的一个对称中心为a,0 ，则 a 的值所在区间可以是（）A (0,)B (,)C (,)D (3)2,443324【解析】 方法一 : 利用辅助角公式 : 由于 f x2015sin x2016cos xf x20152(2016)2 (sin x2015cosx2016)20152(2016)220152( 2016)220152(2016)2 sin( x) ,其中 tan2016,且(,0)201620152所以可得3tan(,)1 ,估算201534又a,0是 fx的一个对称中心 , 得20152(2016)2 sin( x) 0sin(a)0, 得 ak,( kZ) , 即 ak,( kZ)由(,) 知:k4a k,( k Z)343故当 k