四川省绵阳市2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、高中 2018 级第三学期末教学质量测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4 页，答题卡共 6页。满分 100 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上 .1.已知点( 4,1, 3)a，则点 a 关于原点的对称点的坐标为（）a. 4,1 , 3b. (4, 1,3)c. (3, 1,4)d. ( 3,1,4)【答案】 b 【解析】【分析】根据空间中点的位置关系可得,点 a 关于原点的对称点的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数 ,据此即可求解 . 【详解】因为点( 4,1, 3)a,根据空间中点的位置关系可得,

2、 点 a 关于原点的对称点的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数, 所以点 a 关于原点的对称点的坐标为(4, 1,3). 故选 :b 【点睛】本题主要考查对称点的求法;熟练掌握空间直角坐标及坐标系中点之间的位置关系是求解本题的关键;属于基础题 . 2.已知一直线经过两点(2,4)a，( ,5)b a，且倾斜角为135 ，则 a 的值为（）a. -1b. -2c. 2d. 1【答案】 d 【解析】【分析】已知倾斜角求出斜率,然后把(2,4)a，( ,5)b a代入斜率公式即可求解. 【详解】由直线斜率的定义知,tan1351abko, 由直线的斜率公式可得,542abka，所以54

3、12a,解得1a. 故选 :d 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率公式;熟练掌握斜率公式是求解本题的关键;属于基础题 . 3.现有两个调查抽样： （1）某班为了了解班级学生在家表现情况决定从10 名家长中抽取3名参加座谈会；（2）某研究部门在高考后从2000 名学生（其中文科400 名，理科1600名）中抽取200 名考生作为样本调查数学学科得分情况.给出三种抽样方法：. 简单随机抽样法；. 系统抽样法；. 分层抽样法 .则问题（ 1） 、 （2）选择的抽样方法合理的是（）a. （1）选 ， （2）选 b. （1）选 ， （2）选 c. （1）选 ， （2）选 d. （1）选 ， （2）选 【

4、答案】 b 【解析】【分析】分析题意 ,根据简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法的特征判断即可.【详解】对于1中,个体无差异且总体数量不多,抽取的样本数量不多,故选择简单随机抽样; 对于2中, 2000 名学生明显分成两类: 文科 400 名，理科1600 名，故选择分层抽样; 故选 :b 【点睛】本题考查三种不同的抽样方法的选取：总体和样本容量较少的选取简单随机抽样，个体数样本容量较多且个体之间无明显差异选取系统抽样，个体之间有明显差异和分类的选取分层抽样;属于基础题、常考题型 . 4.如果椭圆22163xy的弦被点(1,1)m平分，则这条弦所在的直线方程是（）a. 230 xyb. 23

5、0 xyc. 230 xyd. 230 xy【答案】 c 【解析】【分析】设过点(1,1)m的直线与椭圆的两个交点为1122,a x yb xy,利用点差法： 把1122,a x yb x y代入椭圆22163xy,然后作差 ,再结合中点坐标公式即可求出直线abl的斜率 ,代入直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设过点(1,1)m的直线与椭圆的两个交点为1122,a x yb xy, 由题意知 ,1122,a x yb xy满足椭圆方程, 所以22112222163163xyxy,两式相减可得, 12121212063xxxxyyyy, 因为线段ab的中点为(1,1)m,所以由中点坐标公式可得

6、, 12121212xxyy,即121222xxyy，所以121222063xxyy,即121212yyxx, 所以直线abl的斜率为abk121212yyxx, 由直线的点斜式方程可得，直线abl的方程为1112yx, 所以所求的直线方程为230 xy. 故选 :c 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系;设两个交点坐标,利用点差法求出直线的斜率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5.口袋里装有大小相同的5 个小球，其中2 个白球， 3 个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（）a. 910b. 710c. 310d. 110【答案】 a 【解析】【分析】根据题意

7、 ,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数, 然后利用古典概型的概率计算公式求解即可 . 【详解】由题意可知,从 5 个大小相同的小球中, 一次性任意取出3 个小球包含的总的基本事件数为n35c10, 一次性任意取出的3 个小球中 , 至少有 1个白球包含的基本事件数为122123239mc cc c, 由古典概型的概率计算公式得, 一次性任意取出的3 个小球中 , 至少有 1 个白球的概率为910mpn. 故选 :a 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键; 属于中档题、常考题

8、型. 6.若抛物线22(0)ypx p的焦点是椭圆2212xypp的一个焦点，则p（）a. 2b. 3c. 4d. 8【答案】c 【解析】【分析】利用椭圆与抛物线的定义,结合抛物线与椭圆有共同的焦点,列出关于p的方程 ,解方程即可 . 【详解】由题意可知,抛物线22(0)ypx p的焦点为,02p, 因为椭圆为2212xypp,所以2222cabppp, 所以椭圆的焦点坐标为,0p, 所以2pp,解得4p. 故选 :c 【点睛】本题考查椭圆与抛物线的定义及其标准方程;考查综合运用能力和运算求解能力;属于基础题 . 7.如图， 一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面

9、积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150 粒，则这个月牙图案的面积约为（）a. 35b. 45c. 1d. 65【答案】 d 【解析】【分析】利用与面积有关几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4s正, 设这个月牙图案的面积为s, 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得, 向这个正方形里随机投入芝麻, 落在月牙形图案内的概率为150=4500ssps正, 解得65s. 故选 :d 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型. 的8.已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12， 则双曲线

10、22221(0,0)yxabab的渐近线方程为 （）a. 32yxb. 34yx=?c. 43yxd. 2 33yx【答案】 d 【解析】【分析】根据椭圆的离心率公式得到,a b的关系式 ,再利用双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为椭圆22221(0)xyabab离心率为12, 所以12cea,因为222bac,所以32ba，因为双曲线的渐近线方程为ayxb, 所以所求的渐近线方程为2 33yx. 故选 :d 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握椭圆中, ,a b c的关系和双曲线的渐近线方程是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 9.“ 双 11” 活动

11、期间， 绵阳某商场举行“ 买的多送的多” 优惠活动： 购买某件商品的销件数和平均价格有如下对应数据：购买件数x12345平均价格y2523a1817根据上表数据可得回归方程?2.126.9yx，则实数a 的值为（）a. 19b. 20c. 21d. 22【答案】 b 的【解析】【分析】根据回归方程经过样本中心点,x y，求出x代入回归方程求出y即可求出实数a. 【详解】由表中数据可得,3x, 由回归方程?2.126.9yx经过样本中心点, x y可得, 2.1 326.920.6y，即2523181720.65a,解得20a. 故选 :b 【点睛】本题考查回归直线方程经过样本中心点;考查运算求

12、解能力;属于基础题 . 10.已知 f 是抛物线22yx的焦点，,a b是该抛物线上的两点，| 8afbf，则线段 ab 的中点到y轴的距离为（）a. 72b. 52c. 4d. 3【答案】 a 【解析】【分析】根据题意 ,求出准线方程,利用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出,a b中点的横坐标即可. 【详解】因为抛物线方程为22yx,所以其准线方程为12x，设1122,a xyb xy,由抛物线的定义知, 121122afbfxx8，所以127xx,由中点坐标公式可得, ,a b中点的横坐标为12722xx, 所以线段 ab 的中点到y轴的距离为72. 故选

13、 :a 【点睛】本题考查抛物线的定义和中点坐标公式;运用抛物线的定义把到焦点的距离转为到准线的距离是求解本题的关键 ;属于基础题 . 11.已知两点(2,0)a，(2,0)b，以及圆 c: 222(2)(2)(0)xyrr，若圆 c 上存在点p，满足0ap pbu uu r u uu r，则 r 的取值范围是（）a. 2, 2 2b. 2,32c. 22,32d. 32,52【答案】 b 【解析】【分析】由0ap pbuuu r uu u r知apbp,即点p在以ab为直径的圆上, 又点p在圆c 上,据此可得两圆必有公共点,根据圆心距和半径之间的关系,列不等式求解即可.【详解】因为0ap pb

14、uu u r uuu r,所以apbp, 即点p在以ab为直径的圆上, 又因为点p在圆 c 上,所以点p为两圆的公共点,即两圆必有公共点, 因为(2,0)a,(2,0)b，设以ab为直径的圆的圆心为o, 则圆o的圆心为0,0o,半径为2, 因为圆 c 的圆心为2,2,半径为r,所以可得 ,22220202rr,解得 ,23 2r.故选 :b【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系及向量垂直的数量积表示;考查运算求解能力和转化与化归能力;把存在性问题转化为判断两圆的位置关系问题是求解本题的关键;属于中档题 . 12.直线过椭圆22221(0)xyabab的左焦点f和上顶点a，与圆22(2)25xy交于

15、p，q两点，若线段 pq 的中点坐标为(1,3)，则椭圆离心率为（）a. 1010b. 55c. 3 1010d. 13【答案】 c 【解析】【分析】根据题意 ,求出点,0fc,0,ab,利用斜率公式表示出pqk,设点1122,p x yq xy, 利用点差法：把点1122,p x yq xy分别代入圆的方程,然后两式相减,利用线段pq 的中点坐标为(1,3),结合中点坐标公式求出pqk,进而求出,b c的关系 ,求出椭圆的离心率. 【详解】由题意知,点,0fc,0,ab, 由斜率公式可得,00pqbbkcc, 所以直线pql的方程为byxbc, 设点1122,p x yq xy, 因为 p，

16、q 两点在圆22(2)25xy上, 所以22112222225225xyxy,两式相减可得, 1212121240 xxxxyyyy，因为线段 pq 的中点坐标为(1,3), 由中点坐标公式可得,121226xxyy, 所以12122460 xxyy, 化简可得 ,121213pqyykxx, 所以13bc,因为222abc, 所以椭圆的离心率33 101010cbeab. 故选 :c 【点睛】本题考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系及点差法和中点坐标公式的应用;点差法的运用是求解本题的关键;考查运算求解能力和逻辑思维能力;属于中档题. 二、填空题13.在区间1,7上随机选取一个数a，则4

17、a的概率为 _.【答案】12【解析】【分析】利用与长度有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题意知,区间1,7的长度为716, 因为4a,所以1,4a,其区间长度为413, 由与长度有关的几何概型概率计算公式可得, 4a的概率为3162p. 故答案为 :12【点睛】本题考查与长度有关的几何概型概率计算公式;属于基础题 . 14.直线120 xmy与直线2 10m xym平行，则 m 的值为 _.【答案】2【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件:12211221,a ba b b cb c，列出关于m 的方程求解即可.【详解】由题意知,1 21 ,m m且112 2mm, 解得2m.

18、 故答案为 :2【点睛】本题考查两直线平行的充要条件；解决此类问题时需注意斜率不存在的情况和两直线重合的情况,亦是易错点 ;属于基础题 . 15.过椭圆2212xy的右焦点作一条斜率为1的直线与椭圆交于a、b 两点， o 为坐标原点，则aob 的面积为 _.【答案】23【解析】【分析】根 据 题 意 ,求 出 点f和 直 线l方 程 ,将 其 代 入 椭 圆 方 程 , 消 去x得 到 关 于y的 一 元 二 次 方 程 ,设1122,a x yb xy,解方程求出方程根,求出aob 的面积即可 . 【详解】由题意可知,椭圆2212xy的右焦点为1,0f, 所以直线l方程为1yx，将其代入椭圆

19、2212xy, 消去x整理可得 ,23210yy, 设1122,a x yb xy,则1211,3yy, 所以aob 的面积为12114212233aobsyyof. 故答案为 :23【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆的位置关系;考查运算求解能力和转化与化归能力;属于中档题、常考题型. 16.已知点 m 为点3,0p在动直线2(1)20kxky上的射影，若点n 的坐标为(2,3)，则 mn 的取值范围是 _.【答案】55,55【解析】【分析】直线方程2(1)20kxky可变形为220kxyy,由此可得 ,直线方程2(1)20kxky过直线 20 xy和20y的交点 ,结合图形可

20、知,点m在以pq为直径的圆上,由点与圆的位置关系可得,nfrmnnfr,进而求出mn 的取值范围即可. 【详解】由题意可知,直线方程2(1)20kxky可变形为220kxyy, 联立方程2020 xyy,解得12xy, 即直线2(1)20kxky为过定点q1, 2的直线系方程, 根据题意 ,作图如下 : 则pmmq,2 5pq, 即点m在以pq为直径的圆上,因为点 n 的坐标为(2,3), 所以线段mn的长度满足55nfmnnf, 因为点f为1, 1,由两点间距离公式可得,5nf, 所以5555mn. 故答案为 :55,55【点睛】本题考查过两直线交点的直线系方程和圆的有关性质及点与圆的位置关

21、系;考查逻辑推理能力和运算求解能力 ;抽象出直线过定点q和点m在以pq为直径的圆上是求解本题的关键;属于难度较大型试题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.为了迎接全国文明城市复检，绵阳某中学组织了本校1000 名学生进行社会主义核心价值观、文明常识等内容测试。统计测试成绩数据得到如图所示的频率分布直方图，已知3ab，满分 100 分.（1）求测试分数在60,90)的学生人数；（2）求这 1000 名学生测试成绩的平均数以及中位数.【答案】1870；276,76【解析】【分析】1利用频率之和为1和3ab求出,a b,进而求出测试分数在60,90)的频率,再乘以总人数即可

22、; 2由1知 ,0.024,0.008ab,利用平均数公式求出平均数即可,设这 1000 名学生测试成绩的中位数为y,由频率分布直方图判断，中位数y位于70和80之间 ,再利用中位数公式求解即可.【详解】1利用频率之和为1可得 ,0.0050.0350.028101ab，因为3ab,解得0.024,0.008ab, 所以测试分数在60,90)的频率为0.0240.0350.028100.87，所以测试分数在60,90)的学生人数为1000 0.87870（人） ; 2由1知 ,0.024,0.008ab, 所以这 1000 名学生测试成绩的平均数为55 0.05 650.2475 0.3585

23、 0.28950.0876x, 设这 1000 名学生测试成绩的中位数为y,因为0.050.240.350.640.5,0.050.240.290.5, 所以所求的中位数y位于70和80之间 ,即0.217010760.35y,所以这 1000 名学生测试成绩的平均数和中位数均为76.【点睛】 本题考查利用频率分布直方图估计样本的平均数和中位数;考查运算求解能力;熟练掌握平均数和中位数公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 18.“ 绿水青山就是金山银山” ，为了响应国家政策，我市环保部门对市民进行了一次环境保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查

24、的50 人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)男1221096女055532若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环境保护关注者”，则上图中表格可得22列联表如下：非“ 环境保护关注者”是“ 环境保护关注者”合计男女合计（1）请完成上述22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为 “ 环境保护关注者” 与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为 “ 环境保护达人” ，现在从本次调查的“ 环境保护达人” 中利用分层抽样的方法抽取4 名市民参与环保知识问答，再从这 4 名市民中随机

25、抽取2人参与座谈会， 求抽取的 2名市民中，既有男 “ 环境保护达人 ” 又有女 “ 环境保护达人 ” 的概率 .附表及公式：22()()()()()n adbckab cd ac bd，其中nabcd.20p kk0.150.100.050.0250 0100.0050.0010k2.0722.7063.8415 0246.6357.87910.828【答案】122列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“ 环境保护关注者” 与性别有关 ;212【解析】【分析】1根据表中的数据重新整合, 完成22列联表，然后将列联表中的数据代入2k的公式计算求解, 结合临界值表进行判断即可;

26、2列举出所有可能的情况和既有男“ 环境保护达人” 又有女 “ 环境保护达人” 包含的情况 , 再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】1由表中数据可得22列联表如下 , 非“ 环境保护关注者 ”是“ 环境保护关注者 ”合计男5 25 30 女10 10 20 合计15 35 50 将22列联表中的数据代入公式可得, 2k的观测值2505 1025 106.3493.84115 35 30 20k, . .所以在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“ 环境保护关注者” 与性别有关 ; 2由题可知 , 利用分层抽样的方法可得, 抽取 4 名市民中男环保达人3人, 女环保达人1人, 设男

27、环保达人为,a b c, 女环保达人为a, 从中抽取两人参与座谈会所有的情况为,a ba ca ab cb ac a共6种情况 , 既有男 “ 环境保护达人 ” 又有女 “ 环境保护达人 ” 包含的情况为,a ab ac a共3种情况 , 由古典概型的概率计算公式可得，所求概率3162p. 【点睛】 本题考查独立性检验和古典概型概率计算公式;考查运算求解能力;注意所给数表的使用方法和题目设为方式和熟练掌握2k公式是求解本题的关键;属于基础题、常考题型. 19.已知圆22: (4)4mxy，点( , )p x y为直线40 xy上一动点， 过点 p 引圆 m 的两条切线， 切点分别为 a，b.（

28、1）若 p 的坐标为(-2,2)，求切线方程；（2）求四边形pamb 面积的最小值.【答案】12y和3420 xy;24 7【解析】【分析】1由题意知切线的斜率存在,设切线方程为:l22yk x,由圆心m到直线l的距离等于半径求出斜率k,代入切线方程即可; 2设四边形pamb 面积为s, 结合题意知 ,2pamss2pa,求出切线长pa的最小值即可,结合勾股定理知 ,2224papmmapm,即求线段pm的最小值 ,由点m为4,0,点( , )p x y为直线40 xy上一动点知 , 当线段pm与直线40 xy垂直时 ,pm取最小值 ,利用点到直线的距离公式求出pm的最小值即可. 【详解】1由题意知切线的斜率存在,设切线方程为:l22yk x, 由点到直线的距离公式可得,点m到直线l的距离为26221kdk,解得0k或34k, 所以所求的切线方程为2y和3420 xy; 2设四边形pamb 面积为s, 因为,pa pb为圆m的切线 , 所以,mapa mbpb,即2pamss, 因为12,2pammasma pa,所以2spa, 即当pa取最小值时四边形pamb 面积s取得最小值 , 因为2224papmmapm, 所以当pm取最小值时pa取最小值 , 因为点m为4,0,点( ,)p x y为直线40 xy上一动点 , 所以当线段pm与直