北京市西城区2020年高三年级第二次模考数学试卷(含答案)

1、北京市西城区2020年6月高三数学试卷第1页( 共6页 )西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学2020. 6本试卷共6页,150分 。 考 试 时 长120分 钟 。 考 生 务 必 将 条 形 码 贴 在 答 题 卡 规 定处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 。第卷( 选择题共40分 )一、选择题 :本大题共 10 小题 ,每小题 4 分 ,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1 .设全集u = r,集合a =x | x 2 ,b =x | x b c,则(a)a - b b - c(b)1a 1b 2c(d)

2、以上三个选项都不对8 .设向量a,b满足| a | = | b| = 1,ab = 12,则| a + xb|(x r) 的最小值为(a)52(b)32(c)1(d)29 .设 an为等比数列,则“对于任意的m n*,am + 2 am”是“ an为递增数列”的(a) 充分而不必要条件(b) 必要而不充分条件(c) 充分必要条件(d) 既不充分也不必要条件10 .佩香囊是端午节传统习俗之一. 香囊内通常填充一些中草药, 有清香 、驱虫 、开窍的功效.因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色 , 玲珑夺目.图1的? abcd由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来, 可得图2所

3、示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱ab与cd所在直线的位置关系为图1图2(a) 平行(b) 相交(c) 异面且垂直(d) 异面且不垂直北京市西城区2020年6月高三数学试卷第3页( 共6页 )第卷( 非选择题共110分 )二、填空题:本大题共5 小题,每小题 5 分,共 25 分.11 .在 (1 + 5x)6的展开式中,x的系数为.12 .在等差数列an 中 , 若a1+ a2= 16,a5= 1,则a1=;使得数列an 前n项的和sn取到最大值的n =.13 .某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.14 .能说明“ 若m(n + 2)0,则方程x2m +y2n +

4、2 = 1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是.15 .已知函数f(x) 的定义域为r, 满足f(x + 2)= 2f(x) , 且当x (0,2 时,f(x)= 2x- 3 .有以下三个结论:f(- 1)=-12;当a (14,12 时 ,方程f(x)= a在区间- 4,4 上有三个不同的实根;函数f(x) 有无穷多个零点,且存在一个零点b z .其中 ,所有正确结论的序号是.北京市西城区2020年6月高三数学试卷第4页( 共6页 )三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16 .( 本小题满分14分)如图 ,在三棱柱abc

5、- a1b1c1中,cc1底面abc,ac bc,d是a1c1的中点 ,且ac = bc = aa1= 2 .()求证:bc1平面ab1d;() 求直线bc与平面ab1d所成角的正弦值.17 .( 本小题满分14分)已知函数f(x)= asi n( x +)(a 0, 0,0 xex-2e.北京市西城区2020年6月高三数学试卷第6页( 共6页 )20 .( 本小题满分14分)已知椭圆e:x2a2+y2b2= 1(a b 0) 经过点c(0,1) ,离心率为32. o为坐标原点.() 求椭圆e的方程 ;() 设a,b分别为椭圆e的左 、 右顶点 ,d为椭圆e上一点 ( 不在坐标轴上) , 直线

6、cd交x轴于点p,q为直线ad上一点 , 且opoq= 4,求证 :c,b,q三点共线.21 .( 本小题满分14分)如图 ,表1是 一 个 由40 2 0个 非 负 实 数 组 成 的40行20列 的 数 表 ,其 中am,n(m = 1,2, ,40;n = 1,2, ,20) 表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小 的 次 序 从 上 到 下 重 新 排 列 ( 不 改 变 该 数 所 在 的 列 的 位 置 ) ,得 到表2( 即bi,j bi + 1,j,其中i = 1,2, ,39;j = 1,2, ,20).表1表2a1,1a1,2a1,20a2,1a2,2a2

7、,20a40,1a40,2a40,20b1,1b1,2b1,20b2,1b2,2b2,20b40,1b40,2b40,20() 判断是否存在 表1,使 得 表2中 的bi,j(i=1,2,40;j=1,2,20) 等 于100 - i - j? 等于i + 2-j呢 ? ( 结论不需要证明)() 如果b40,20= 1, 且对于任意的i = 1,2, ,39;j = 1,2, ,20,都有bi,j- bi + 1,j 1成立 ,对于任意的m = 1,2, ,40;n = 1,2, ,19,都有bm,n- bm,n + 12成立 ,证明 :b1,1 78;() 若ai,1+ai,2+ ai,20

8、19(i = 1,2, ,40) , 求最小的正整数k, 使得任给i k,都有bi,1+ bi,2+ bi,2019成立.北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 1页（共 7页）西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学参考答案2020.6一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分.1d2a3d4c5.b6.b7.c8.b9. c10. b二、填空题：本大题共5 题，每小题5 分，共 25 分.1130129，513454+14 答案不唯一 . 如3m，1n15 注： 第 12 题第一问3 分，第二问2 分；第 15 题全部选对得5 分，不选或有错选得0 分，其他得 3

9、 分.三、解答题：本大题共6 小题，共85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16 （本小题满分14 分）解： （）如图，连接1a b. 设11a babe，并连接de.由三棱柱111abca b c，得1a ebe. 2 分又因为d是11ac的中点，所以1/bcde.4 分又因为1bc平面1ab d， de平面1abd，所以1/bc平面1ab d.6 分（）因为1cc底面abc，acbc，所以ca，cb，1cc两两垂直，故分别以ca，cb，1cc为x轴，y轴， z轴，如图建立空间直角坐标系，7 分则(0,0,0)c，(0,2,0)b，(2,0,0)a，1(0, 2,2)b，(1,0

10、,2)d，所以1( 2,2,2)ab，1(1, 2,0)b d，(0, 2,0)bc，8 分dca1b1c1abeyxz北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 2页（共 7页）设平面1ab d的法向量( , , )x y zn，由10abn，10b d n，得2220,20,xyzxy令1y，得(2,1,1)n. 11 分设直线bc与平面1abd所成的角为，则6sin| cos,| |6| |bcbcbcnnn，所以直线bc与平面1abd所成角的正弦值为66.14 分17 （本小题满分14 分）解： （）若函数( )f x满足条件，则(0)sin1fa.这与0,02a矛盾，故( )

11、f x不能满足条件，所以函数( )f x只能满足条件，.2 分由条件，得2|，又因为0，所以2.4 分由条件，得2a.5 分由条件，得()2sin()063f，又因为02，所以3.所以( )2sin(2)3f xx.8 分（）由2+23222xkk，kz，10 分得5+1212xkk ，12 分所以函数( )fx 的单调递增区间为5+1212kk,，kz.14 分（注：单调区间写成开区间亦可. ）北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 3页（共 7页）18 （本小题满分14 分）解： （）根据数据，可得软件a，b，c，d，e，f 的使用率a910.996t，b840.991t，c6

12、90.985t，d540.974t，e640.969t，f630.965t.所以软件 a，b， e，f 为“有效下载软件”.2 分记事件m为“在 6 款软件中任取1 款，该款软件是有效下载软件”， 3 分则事件m的概率42()63p m.4 分（）随机变量x的可能取值为2，3，4.5 分则224246c c2(2)c5p x，314246c c8(3)c15p x，4446c1(4)c15p x. 8 分所以随机变量x的分布列为：x234p258151159 分所以随机变量x的数学期望2818234515153ex.10 分（）不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.12 分理由如下：若根

13、据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前 6 名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6 款作为样本 .故不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.14 分19 （本小题满分15 分）解： （）由( )lnf xaxx，得( )lnfxaxa，2 分北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 4页（共 7页）则(1)0f，(1)fa.所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线为(1)ya x.4

14、 分将点(3, 2)代入切线方程，得1a.5 分（）由题意，得( )lnf xxx，( )ln1fxx.令( )0fx，得1ex.7 分随着x变化，( )fx与( )f x 的变化情况如下表所示：所以函数( )fx 在1(0,)e上单调递减，在1(,+)e上单调递增 .9 分所以函数( )fx 存在极小值，且极小值为11()eef；函数( )f x 不存在极大值 .10 分（）“2( )eexxf x”等价于“2ln0eexxxx” .11 分由（），得1( )lnef xxx-（当且仅当1ex时等号成立）.所以21lneeeexxxxxx.故只要证明10eexx即可（需验证等号不同时成立）.

15、12 分设1( )eexxg x，(0,+)x，则1( )exxg x.13 分因为当(0,1)x时，1( )0exxg x；当(1,)x时，1( )0exxg x，所以函数( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在(1,+) 上单调递增 .所以( )(1)0g xg（当且仅当1x时等号成立） .因为两个不等式中的等号不同时成立，所以当(0,)x时，2( )eexxf x.15 分x1(0,)e1e1(,+)e( )fx0( )f x极小值北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 5页（共 7页）20 （本小题满分14 分）解： （）由题意，得1b，32ca.2 分又因为222ab

16、c，3 分所以2a，3c.故椭圆e的方程为2214xy.5 分（）( 2,0)a，(2,0)b.设0000(,) (0)d xyx y，则220014xy.6 分所以直线cd的方程为0011yyxx，7 分令0y，得点p的坐标为00(,0)1xy.8 分设(,)qqq xy，由4op oq，得004(1)qyxx（显然2qx）. 9 分直线ad的方程为00(2)2yyxx，10 分将qx代入，得00000(442)(2)qyyxyxx，即00000004(1)(442)(,)(2)yyyxqxxx.11 分故直线bq的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)qbqqyyyxkxxy

17、x 12 分200002000022424yyx yxx yy20000200002214242yyx yyx yy.13 分又因为直线bc的斜率12bck，所以bcbqkk，即,c b q三点共线 .14 分北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 6页（共 7页）21 （本小题满分14 分）解： （）存在表1，使得,100i jbij；不存在表1，使得, i jb等于2ji. 3 分（）因为对于任意的1,2,391,2,20ij；，都有,1,1i jijbb，所以1,202,201bb ，2,203,201bb ，39,2040,201bb ，所以1,202,202,203,20

18、39,2040,20(39bbbbbb)+()+() ，即1,2040,203940bb.6 分又因为对于1,2,401,2,19mn；，都有,12m nm nbn，所以1,11,22bb，1,21,32bb ，1,191,202bb，所以1,11,21,21,31,191,20(38bbbbbb)+()+() ，所以1,11,2038403878bb.即1,178b .8 分（）当表1 如下图时：其中，每行恰好有1 个 0 和 19 个 1；每列恰好有2 个 0 和 38 个 1；因此每行的和均为 19. 符合题意 .重新排序后，对应表2 中，前 38 行中每行各数均为1，每行的和均为20；

19、后 2 行各数均为 0，因此39k.10 分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表1 中某一01111011111011110111110111101111101111011111011110北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 7页（共 7页）行（设为第r行）的全部实数（即包含,1,2,20,rrraaa）.假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表1 中任一行的全部实数.则表 2 的前 39 行中至多含有表1 中的40 19760个数，这与表 2 中前 39 行中共有3920780个数矛盾 .所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表1 中

20、某一行（设为第r行）的全部实数.12 分其次，在表2 中，根据重排规则得：当39i时，,39,i jjr jbba1,2,20j（， ），所以,1,2,20,1,2,2019iiirrrabbbaa.所以39k.综上，39k.14 分北京市西城区2020年6月高三数学试卷第1页( 共6页 )西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学2020. 6本试卷共6页,150分 。 考 试 时 长120分 钟 。 考 生 务 必 将 条 形 码 贴 在 答 题 卡 规 定处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 。第卷( 选择题共40分 )一、选择题 :本大题共 1

21、0 小题 ,每小题 4 分 ,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1 .设全集u = r,集合a =x | x 2 ,b =x | x b c,则(a)a - b b - c(b)1a 1b 2c(d) 以上三个选项都不对8 .设向量a,b满足| a | = | b| = 1,ab = 12,则| a + xb|(x r) 的最小值为(a)52(b)32(c)1(d)29 .设 an为等比数列,则“对于任意的m n*,am + 2 am”是“ an为递增数列”的(a) 充分而不必要条件(b) 必要而不充分条件(c) 充分必要条件(d) 既不充分也不必要条件10 .

22、佩香囊是端午节传统习俗之一. 香囊内通常填充一些中草药, 有清香 、驱虫 、开窍的功效.因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色 , 玲珑夺目.图1的? abcd由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来, 可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱ab与cd所在直线的位置关系为图1图2(a) 平行(b) 相交(c) 异面且垂直(d) 异面且不垂直北京市西城区2020年6月高三数学试卷第3页( 共6页 )第卷( 非选择题共110分 )二、填空题:本大题共5 小题,每小题 5 分,共 25 分.11 .在 (1 + 5x)6的展开式中,x的系数为.12 .在等差数

23、列an 中 , 若a1+ a2= 16,a5= 1,则a1=;使得数列an 前n项的和sn取到最大值的n =.13 .某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.14 .能说明“ 若m(n + 2)0,则方程x2m +y2n + 2 = 1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是.15 .已知函数f(x) 的定义域为r, 满足f(x + 2)= 2f(x) , 且当x (0,2 时,f(x)= 2x- 3 .有以下三个结论:f(- 1)=-12;当a (14,12 时 ,方程f(x)= a在区间- 4,4 上有三个不同的实根;函数f(x) 有无穷多个零点,且存在一个零点b z .

24、其中 ,所有正确结论的序号是.北京市西城区2020年6月高三数学试卷第4页( 共6页 )三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16 .( 本小题满分14分)如图 ,在三棱柱abc - a1b1c1中,cc1底面abc,ac bc,d是a1c1的中点 ,且ac = bc = aa1= 2 .()求证:bc1平面ab1d;() 求直线bc与平面ab1d所成角的正弦值.17 .( 本小题满分14分)已知函数f(x)= asi n( x +)(a 0, 0,0 xex-2e.北京市西城区2020年6月高三数学试卷第6页( 共6页 )20 .( 本小

25、题满分14分)已知椭圆e:x2a2+y2b2= 1(a b 0) 经过点c(0,1) ,离心率为32. o为坐标原点.() 求椭圆e的方程 ;() 设a,b分别为椭圆e的左 、 右顶点 ,d为椭圆e上一点 ( 不在坐标轴上) , 直线cd交x轴于点p,q为直线ad上一点 , 且opoq= 4,求证 :c,b,q三点共线.21 .( 本小题满分14分)如图 ,表1是 一 个 由40 2 0个 非 负 实 数 组 成 的40行20列 的 数 表 ,其 中am,n(m = 1,2, ,40;n = 1,2, ,20) 表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小 的 次 序 从 上 到

26、下 重 新 排 列 ( 不 改 变 该 数 所 在 的 列 的 位 置 ) ,得 到表2( 即bi,j bi + 1,j,其中i = 1,2, ,39;j = 1,2, ,20).表1表2a1,1a1,2a1,20a2,1a2,2a2,20a40,1a40,2a40,20b1,1b1,2b1,20b2,1b2,2b2,20b40,1b40,2b40,20() 判断是否存在 表1,使 得 表2中 的bi,j(i=1,2,40;j=1,2,20) 等 于100 - i - j? 等于i + 2-j呢 ? ( 结论不需要证明)() 如果b40,20= 1, 且对于任意的i = 1,2, ,39;j

27、= 1,2, ,20,都有bi,j- bi + 1,j 1成立 ,对于任意的m = 1,2, ,40;n = 1,2, ,19,都有bm,n- bm,n + 12成立 ,证明 :b1,1 78;() 若ai,1+ai,2+ ai,2019(i = 1,2, ,40) , 求最小的正整数k, 使得任给i k,都有bi,1+ bi,2+ bi,2019成立.北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 1页（共 7页）西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学参考答案2020.6一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分.1d2a3d4c5.b6.b7.c8.b9. c10. b

28、二、填空题：本大题共5 题，每小题5 分，共 25 分.1130129，513454+14 答案不唯一 . 如3m，1n15 注： 第 12 题第一问3 分，第二问2 分；第 15 题全部选对得5 分，不选或有错选得0 分，其他得 3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16 （本小题满分14 分）解： （）如图，连接1a b. 设11a babe，并连接de.由三棱柱111abca b c，得1a ebe. 2 分又因为d是11ac的中点，所以1/bcde.4 分又因为1bc平面1ab d， de平面1abd，所以1/bc平面1ab d.6

29、分（）因为1cc底面abc，acbc，所以ca，cb，1cc两两垂直，故分别以ca，cb，1cc为x轴，y轴， z轴，如图建立空间直角坐标系，7 分则(0,0,0)c，(0,2,0)b，(2,0,0)a，1(0, 2,2)b，(1,0,2)d，所以1( 2,2,2)ab，1(1, 2,0)b d，(0, 2,0)bc，8 分dca1b1c1abeyxz北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 2页（共 7页）设平面1ab d的法向量( , , )x y zn，由10abn，10b d n，得2220,20,xyzxy令1y，得(2,1,1)n. 11 分设直线bc与平面1abd所成的

30、角为，则6sin| cos,| |6| |bcbcbcnnn，所以直线bc与平面1abd所成角的正弦值为66.14 分17 （本小题满分14 分）解： （）若函数( )f x满足条件，则(0)sin1fa.这与0,02a矛盾，故( )f x不能满足条件，所以函数( )f x只能满足条件，.2 分由条件，得2|，又因为0，所以2.4 分由条件，得2a.5 分由条件，得()2sin()063f，又因为02，所以3.所以( )2sin(2)3f xx.8 分（）由2+23222xkk，kz，10 分得5+1212xkk ，12 分所以函数( )fx 的单调递增区间为5+1212kk,，kz.14 分

31、（注：单调区间写成开区间亦可. ）北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 3页（共 7页）18 （本小题满分14 分）解： （）根据数据，可得软件a，b，c，d，e，f 的使用率a910.996t，b840.991t，c690.985t，d540.974t，e640.969t，f630.965t.所以软件 a，b， e，f 为“有效下载软件”.2 分记事件m为“在 6 款软件中任取1 款，该款软件是有效下载软件”， 3 分则事件m的概率42()63p m.4 分（）随机变量x的可能取值为2，3，4.5 分则224246c c2(2)c5p x，314246c c8(3)c15p x

32、，4446c1(4)c15p x. 8 分所以随机变量x的分布列为：x234p258151159 分所以随机变量x的数学期望2818234515153ex.10 分（）不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.12 分理由如下：若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前 6 名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6 款作为样本 .故不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.14 分19 （本小题满分15

33、分）解： （）由( )lnf xaxx，得( )lnfxaxa，2 分北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 4页（共 7页）则(1)0f，(1)fa.所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线为(1)ya x.4 分将点(3, 2)代入切线方程，得1a.5 分（）由题意，得( )lnf xxx，( )ln1fxx.令( )0fx，得1ex.7 分随着x变化，( )fx与( )f x 的变化情况如下表所示：所以函数( )fx 在1(0,)e上单调递减，在1(,+)e上单调递增 .9 分所以函数( )fx 存在极小值，且极小值为11()eef；函数( )f x 不存在极大值

34、.10 分（）“2( )eexxf x”等价于“2ln0eexxxx” .11 分由（），得1( )lnef xxx-（当且仅当1ex时等号成立）.所以21lneeeexxxxxx.故只要证明10eexx即可（需验证等号不同时成立）.12 分设1( )eexxg x，(0,+)x，则1( )exxg x.13 分因为当(0,1)x时，1( )0exxg x；当(1,)x时，1( )0exxg x，所以函数( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在(1,+) 上单调递增 .所以( )(1)0g xg（当且仅当1x时等号成立） .因为两个不等式中的等号不同时成立，所以当(0,)x时，2( )eexxf x.15 分x1(0,)e1e1(,+)e( )fx0( )f x极小值北京市西城区2020 年 6 月高三数学参考答案第 5页（共 7页）20 （本小题满分14 分）解： （）由题意，得1b，32ca.2 分又因为222abc，3 分所以2a，3c.故椭圆e的方程为2214xy.5 分（）( 2,0)a，(2,0)b.设0000(,) (0)d xyx y，则220014xy.6 分所以直线cd的方程为0011yyxx，7 分令0y，得点p的坐标为00(,0)1xy.8 分设(,)qqq xy，由4op oq，得004(1)q