2020届江苏省宿迁市高三下学期5月联考数学试题(解析版)

1、江苏省宿迁市20192020 学年度第二学期高三年级5 月联考数学试题第卷（必做题，共160分）一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知集合0ax x，1,0,1,2b，则ab等于【答案】1,2【解析】试题分析：|01,0,1,21,2abx x考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3 在进行集合的运算时要尽可能地借助venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用

2、数轴表示时要注意端点值的取舍2.若复数 z 满足24izi（i是虚数单位） ，则复数z的模等于 _ 【答案】2 5【解析】【分析】由题意可得2442izii，再由复数模的概念即可得解.【详解】q复数 z满足24izi，22242442iiiziii，22422 5z故答案为：2 5.【点睛】本题考查了复数运算与复数模的求解，属于基础题.3.如图所示，运行该流程图，若输入值2x，则输出的y值为 _【答案】 6【解析】【分析】由题意执行该程序框图，直接计算即可得解.【详解】q20，326y故答案为： 6.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.4.已知一组数据4，5，6， 6，9，则该组数据

3、的方差是_【答案】145【解析】【分析】由题意计算出x后，由方差公式直接计算即可得解.【详解】由题意4566965x，222222114465666669655s故答案为：145.【点睛】本题考查了数据方差的计算，属于基础题.5.从 2 名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是 _【答案】56【解析】【分析】由题意分别计算出所有情况数与符合要求的情况数，再结合古典概型概率公式即可得解.【详解】从2 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学共有246c种情况，其中 2 名同学中至少有1 名女同学有1122225ccc种情况，故所求概率56p故

4、答案为：56.【点睛】本题考查了计数原理的应用及古典概型概率的求解，属于基础题.6.过双曲线2213xy的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于a，b两点，则ab的长度为 _【答案】4 33【解析】【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程与右焦点，进而可得点32,2 3a，32,2 3b，即可得解 . 【详解】双曲线2213xy的渐近线方程为33yx，右焦点为2,0，则点32,2 3a，32,2 3b，所以2 32 34 3333ab故答案为：4 33.【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用，属于基础题.7.已知等差数列na中，13a，58115aa，则其前n项和ns的最小值为_【答案

5、】 4【解析】【分析】由题意结合等差数列的通项公式可得1134537dd，求出2d后，可得224nsn，即可得解 .【详解】设等差数列na的公差为d，q58115aa，13a，1134537dd，解得2d，2132242nn nsnn，当2n时，ns的最小值为4故答案为：4. 【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题.8.已知函数( )sinf xx 04的图象向左平移12个单位后，关于点5,012对称，则实数的值为_【答案】 2【解析】【分析】由题意平移之后的函数为sin12g xx，进而可得51212k，kz，即可得解 .【详解】设函数( )sinf xx的图象

6、向左平移12个单位后得sin12g xx的图象，由题意sin12g xx关于点5,012对称，51212k，kz，2k，kz，q04，2故答案为： 2.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移与对称性的应用，属于基础题.9.已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为1v，2v，则12vv的值为 _【答案】94【解析】【分析】设圆锥底面半径为r，圆锥的内切球半径为r，由题意画出圆锥轴截面图，进而可得33rr、圆锥高3hr=，即可得解 .【详解】设圆锥底面半径为r，圆锥的内切球半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形，球的大圆为该正三角

7、形的内切圆，如图，33rr，圆锥高3hr=，2132139344333rrvvr故答案为：94.【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及其内切圆相关问题的求解，属于基础题.10. 已知是第二象限角，且4sin5，则tan24的值为 _【答案】13【解析】【分析】由题意结合同角三角函数的关系可得4tan3，根据二倍角的正切公式可得tan22，最后利用两角差的正切公式即可得解.【详解】q是第二象限角，且4sin5，2,2,2kkkz，23cos1sin5，sin4tancos3，22tan42tantan 2231tan2，又,242kkkz骣琪?+?琪琪桫，tan02，解得tan22，tan121

8、12tan241231tan2故答案为：13.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及二倍角的正切公式的应用，考查了同角三角函数关系的应用和运算能力，属于中档题. 11. 设121log12bxfxx是定义在区间(, )a a 上的奇函数，且为单调函数，则ab的取值范围是_【答案】1, 2【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得24b， 由函数单调性可得2b， 求得函数fx的定义域后即可得102a，再由指数函数的性质即可得解.【详解】q121log12bxfxx是定义在区间, a a上的奇函数，0fxfx，即112211loglog01212bxbxxx，1111212bxbxxx得24b，又q

9、fx为单调函数，2b，1212log12xfxx，令12012xx即12120 xx，则1122x，102a，21,2aab故答案为：1, 2.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，考查了函数奇偶性的应用，属于中档题. 12. 在abcv中，4ab，2ac，60bac，已知点e，f分别是边ab，ac的中点，点d在边bc上若134de df，则线段bd的长为 _【答案】32【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得212bc，即可得90c，建立平面直角坐标系后，表示出各点坐标，由134de df转化为坐标运算即可得解.【详解】在abcv中，4ab，2ac，60bac，则2222co

10、s164812bcacabac abbac，222bcacab，90c，以c为坐标原点，点a、b分别在x轴、y轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图，则0,0c，2,0a，0,2 3b，1,3e，1,0f，设0,02 3ddd，故1, 3ded，1,dfd，q134de df，213134dd，解得3 32d或32d（舍去），3 332 322bd. 故答案为：32.【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题13. 在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点， 若以ab为直径的圆c与直线2100 xy相切，当圆c 面积最小时，圆c 的标准方程为_【

11、答案】22215xy【解析】【分析】由题意易知原点o在圆c上，作 od 垂直直线2100 xy于点d， 进而可得当od 为圆c直径时， 圆c面积最小，求出直线:20odxy后，联立方程即可得点4,2d，求得圆的圆心与半径后即可得解.【详解】由题意可得，原点o在圆c上，作 od 垂直直线2100 xy于点d，则当 od 为圆c直径时，圆c面积最小，易知12odk，所以直线:20odxy，由202100 xyxy可得点4,2d，所以2,1c，半径4 15oc，故圆c的方程为22215xy故答案为：22215xy.【点睛】本题考查了直线与圆的综合问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

12、14. 函数 f （x）21xaxxxa， ， 若任意 t （a1， a） ， 使得 f （t） f （t+1） ， 则实数 a 的取值范围为_【答案】 13a21【解析】【分析】根据 f（x）21xaxxxa， ，由 t（a 1，a）? t+1（ a，a+1） ，得到 f（t）21t；f（t+1） |t+1|；再根据任意t（ a1，a） ，使得 f（t） f（t+1） ，即21t|t+1|?|t+1|（|t|+1）20；然后分当t0，1 t0 ，t 1 时，解不等式得3t21；根据若任意t（ a1，a） ，使得f（t） f（t+1）成立，则（ a 1，a）是（3,21）的子集求解.【详解】因

13、为：f（x）21xaxxxa， ，由 t（ a1，a） ? t+1（ a，a+1） ，f（t）21t；f（t+1） |t+1|；任意 t（ a1，a） ，使得 f（t） f（ t+1） ，21t|t+1|?1120tt；当 t0 时，式转化为1120tt? 0t21；当10t时式转化为1120tt?2120t，10t；t 1 时式转化为1120tt? t230?3t0；综上可得3t21；若任意t（ a 1，a） ，使得 f（ t） f（t+1） ，a13且 a21；13a21；【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和集合关系的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、解答题

14、（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，且/ /adbc，abbc，2bcad，已知平面pab平面abcd，e，f分别为bc，pc的中点求证：（1）/ /ab平面def；（2） bc 平面def【答案】（ 1）详见解析； （ 2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意可得四边形adeb是平行四边形，即可得/ /abde，再根据线面平行的判定即可得证；（2）由面面垂直的性质可得bc平面pab，再由线面垂直的性质可得bcpb即bcef，再结合bcde，由线面垂直的判定即可得证.【详解】证明： （1）因为/ /a

15、dbc，2bcad，e为bc的中点所以/ /adbe且adbe，所以四边形adeb是平行四边形，所以/ /abde，又因为ab平面def，de平面def所以/ab平面def；（2）因为平面pab平面abcd，平面pab平面abcdab，abbc，bc平面abcd所以bc平面pab，因为pb平面pab所以bcpb，因为e，f分别为bc，pc的中点，所以/ /efpb，所以bcef，因为/ /abde，bcab，所以bcde，因为de平面def，ef平面def，deefei所以bc平面def【点睛】本题考查了线线、线面、面面关系的判定与性质，考查了空间思维能力，属于中档题. 16. 如图，在abc

16、v中，6ac，dab边上一点，2cdad，且6cos4bcd（1）求sinb；（2）求abcv的面积【答案】（ 1）108； （2）3 152【解析】【分析】（ 1）由余弦定理结合题意可得1cos4adc，根据同角三角函数的平方关系可得15sin4adc、10sin4bcd，再利用sinsinbadcbcd即可得解；（2）由正弦定理可得sinsinsinbdcdbcbcdbbdc，进而可求得4bd、2 6bc，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（ 1）在adcv中，由余弦定理得2222222261cos22224adcdacadcad cd所以22115sin1cos144adcadc因为6

17、cos4bcd，bcd是三角形bcd的内角，所以22610sin1cos144bcdbcd所以sinsinbadcbcdsincoscossinadcbcdadcbcd1561104444108；（2）在bcdv中，由正弦定理得sinsinsinbdcdbcbcdbbdc，所以102sin44sin108cdbcdbdb，152sinsin42 6sinsin108cdbdccdadcbcbb，所以6abadbd，所以11103 15sin62 62282abcsab bcb【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.17.某公司准备设计一个精

18、美的心形巧克力盒子，它是由半圆1o、半圆2o和正方形abcd 组成的，且8abcm设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签efgh ，标签的其中两个顶点e，f 在 am上，另外两个顶点g，h 在 cn 上（ m，n 分别是 ab，cb 的中点）设 ef 的中点为p，1fo p，矩形efgh 的面积为2scm （1）写出 s关于的函数关系式( )s（2）当为何值时矩形efgh 的面积最大？【答案】（1）( )32sin(2cos2)s，0,4； （2）当为4时，矩形efgh的面积最大，为264cm【解析】【分析】（ 1）由题意知0,4，可得8sinef，8cos42eh，利用矩形的面积公式，

19、即可得答案；（2）利用导数可得：当0,4时，( )0s恒成立，所以( )s在0,4e上单调递增，即可得答案；【详解】（ 1）由题意知0,4，8sinef，8cos4 2eh，则( )8sin(8cos4 2)sefeh，即( )32sin(2cos2)s，0,4（2）( )32cos(2cos2)sin( 2sin)s2232 2cos2sin2cos232 4cos2cos2因为0,4，所以22 4cos4,，12cos2,，所以24cos2 cos20，故当0,4时，( )0s恒成立，所以( )s在0,4e上单调递增故当4时，max( )32sin2cos26444s答：当为4时，矩形ef

20、gh 的面积最大，为264cm【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18. 在平面直角坐标系xoy中， 椭圆2222:10 xycabab的上顶点到焦点的距离为2， 离心率为32（1）求椭圆c的方程；（2）设p是椭圆c长轴上的一个动点，过点p作斜率为k的直线l交椭圆c于a，b两点，若22papb的值与点p的位置无关，求k的值【答案】（ 1）2214xy； （2）12k【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得2a、3c，由222bac求出2b后即可得解；（2）设,022p mm，11,a x y，22,b xy，直线l的方程为yk xm，

21、联立方程可得2122814mkxxk，221224114k mx xk，进而可得242222222862148814mkkkkpapbk，令428620kk即可得解 .【详解】（ 1）由题设可知2a，32cea，所以3c，所以2221bac，所以椭圆c的方程为2214xy；（2）设,022p mm，11,a x y，22,b xy，直线l的方程为yk xm，将直线与椭圆的方程联立即2214yk xmxy，消去y得222221 48410kxmk xk m，所以2122814mkxxk，221224114k mx xk，所以2222222222121122121144xxpapbxmyxmyxm

22、xm2422222212122286214883222414mkkkkxxm xxmk，因为22papb的值与点p的位置无关，即上式取值与m无关，故有428620kk，解得12k. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的确定及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19. 已知函数ln12122xafxxaxx（1）当0a时，求函数fx在1x处的切线方程；（2）若函数fx在定义域上单调增，求a的取值范围；（3）若函数fx在定义域上不单调，试判定fx的零点个数，并给出证明过程【答案】（ 1）22yx； （2）2a； （3）函数fx必有三个不同零点，证明详见解析【解析】【分析】（1）求导后

23、可得12f即为切线斜率，再求出10f，利用点斜式即可得解；（2）转化条件得22ln230 xxa在0 x时恒成立，令22ln230g xxxax，对g x求导后求出ming x，令min0g x即可得解；（3）由题意若函数fx在定义域上不是单调函数2a，设22ln221h xxxaxa，求导后，即可确定函数h x的零点个数，结合10f即可得解 .【详解】（ 1）当0a时，ln1122xfxxxx，则22221ln112ln3222xxxfxxxx，10f，则在1x处的切线斜率为12f，所以函数fx在1x处切线方程为21yx即22yx；（2）因为ln2122xxafxa arxx所以fx的定义域

24、为0,，222ln232xxafxx，又因为函数fx在定义域上为单递增函数，所以222ln2302xxafxx在0 x时恒成立，即22ln230 xxa在0 x时恒成立，设22ln230g xxxax，则221122xxxgxxx，当01x时，( )0g x，则g x在0,1上为减函数，当1x时，0gx，则g x在1,上为增函数，所以22ln230 xxa在0 x时恒成立min(1)420g xga，所以2a；（3）因为222ln232xxafxx，所以22302aaaefee，则0fx不可能对0 x恒成立，即fx在定义域上不可能始终都为减函数，由（ 2）知函数fx为增函数2a，所以若函数fx

25、在定义域上不是单调函数2a，又因为10f，所以1x是函数0fx一个零点，令0fx即22ln2210 xxaxa，设22ln221h xxxaxa，则fx与h x有相同的零点，令22(1)0 xaxhxx，得210 xax，因为2a，所以240a，所以210 xax有两个不相等实数解1x，2x，因为121xx，122xxa，所以不妨设1201xx，当10,xx时，0hx，h x在10,x为增函数；当12,xx x时，0hx，h x在10,x为减函数；当1,xx时，0h x，h x在10, x为增函数；则110h xh，210h xh，又因为2a时，01ae，24a，所以22120aaah eea

26、e，231322ln24044haaa，又因为fx在0,1图象不间断，所以fx在0,1上有唯一零点；又因为fx在(1,)图象不间断，所以fx在(1,)上有唯一零点；又因为1x是函数0fx一个零点，综上，函数fx必有三个不同零点【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算能力与推理能力，属于难题.20. 已知数列na的前 n 项和为ns，把满足条件1nnasnn的所有数列na构成的集合记为m（1）若数列na的通项为12nna，则na是否属于m？（2）若数列na是等差数列，且namn，求1a的取值范围；（3）若数列na的各项均为正数，且nam，数列4nna中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，

27、给出一个数列na的通项；若不存在，说明理由【答案】（ 1）nam； （2）11a； （3）数列4nna中是不存在无穷多项依次成等差数列，理由详见解析【解析】【分析】（1）由题意可得112nns，证明10nnas即1nnas后即可得解；（2）由题意可得21113110222dnadna，当1n时，1d；结合二次函数的性质可得102d；即可得1d；进而可得1110an，即可得解；（3）转化条件得2*1)2(nnaann即1442nnnaa，假设数列4nna中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为dnb（b为常数），则存在mn，mn，使得1144422mmnmdnbaaa，设222n

28、nfn，*nn，3n，作差后可得913132f nfnf即当3n时，222nn，进而可得不等式2110nda nba有无穷多个解，显然不成立，即可得解. 【详解】（ 1）因为12nna，所以11112112212nnns，所以111132224nnnnnas，所以1nnas，即nam；（2）设na的公差为d，因为namn，所以121121nnanaaanl（* ）特别当1n时，2121aa，即1d，由（ *）得1111122n nn nandnnad，整理得21113110222dnadna，因为上述不等式对一切*nn恒成立，所以必有102d，解得1d，又1d，所以1

29、d，于是11110ana，即1110an，所以110a即11a；（3）由1nnas得1nnnsss，所以12nnss，即12nnss，所以13121122nnnnssssssssl，从而有11122nnnssa，又1nnas，所以2112nnnasa，即2123nnaan，又2 22112asa，1 2112aa，所以有2*1)2(nnaann，的所以1442nnnaa，假设数列4nna中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为dnb（b为常数），则存在mn，mn，使得1144422mmnmdnbaaa，即2112nda nba，设222nnfn，*nn，3n，则22232312

30、110222nnnnnnfnfn，即913132fnfnf，于是当3n时，222nn，从而有：当3n时211da nban，即2110nda nba，于是当3n时，关于n的不等式2110nda nba有无穷多个解，显然不成立，因此数列4nna中是不存在无穷多项依次成等差数列【点睛】本题考查了新概念在数列中的应用，考查了数列与函数的综合应用及反证法的应用，属于难题.第卷（附加题，共40 分）三、选做题21. 已知矩阵3 00 4a（1）求a的逆矩阵1a；（2）求圆22144xy 经过1a变换后所得的曲线的方程【答案】（ 1）-1103104a； （ 2）221169xy【解析】【分析】（1）由题

31、意结合11001aa，即可得解；（2）求出圆上的点,pxy经过1a变换后所得的点,p x y，即可得解 .【详解】（ 1）由条件3004a且11001aa，可得-1103104a；（2）设变换后新曲线上任一点,p x y，变换前对应点,pxy，则103104xxyy，即1314xxyy，所以34xxyy，代入22144xy得：221169xy，所以曲线22144xy经过1a变换后所得曲线的方程为221169xy.【点睛】本题考查了逆矩阵的求解及矩阵变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.22. 已知圆的参数方程为12cos32sinxy（为参数），以平面直角坐标系原点o为极点，x轴的正半轴

32、为极轴，取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系，求过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程【答案】cos1【解析】【分析】由题意消去参数可得圆的普通方程为22134xy，进而可得过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为1x，由极坐标方程与直角坐标方程的转换公式即可得解.【详解】由1 2cos32sinxy（为参数）消去参数得圆的普通方程为22134xy，圆心坐标为1,3，过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为1x，则其极坐标方程为cos1.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的转化，属于基础题.23. 已知函数12fxxx，若23 2abc, ,a b cr，且不等式222abcf

33、x恒成立，求实数x的取值范围【答案】1,2.【解析】分析】由 柯 西 不 等 式 得2222236abcabc， 转 化 条 件 得3fx， 结 合 绝 对 值 三 角 不 等 式12123fxxxxx，即可得解 .【详解】由柯西不等式可得22222222121abcabc，所以2222236abcabc，当且仅当121abc即2b、22ac时，等号成立，所以222abcfx恒成立3fx，因为12123fxxxxx，当且仅当12x时，等号成立，所以3fx的解集为12x，所以实数x的取值范围1,2.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题

34、 .四、必做题24. 如图，正四棱柱1111abcda b c d中，设1ad，13dd，点p在1cc上，且12c ppc【（1）求直线1a p与平面pdb所成角的正弦值；（2）求二面角abdp的余弦值【答案】（ 1）2 23； （2）33【解析】【分析】（1） 建立空间直角坐标系，求出各点坐标后， 进而可得平面pdb一个法向量1nu r、 直线1ap的方向向量1a puuu r，利用11sincos,a p nuu ur u r即可得解；（2）取平面abd一个法向量20,0,1nu u r，利用121212cos,n nn nn nu r u u ru r uu ru r uu r即可得解 .【详解】如图，以点d为原点o，da，dc，1dd分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系oxyz，则0,0,0d，1,1,0b，11,0,3a，0,11p；（1）所以11,1, 2ap