2020-2021学年江苏省南通市高一(下)期末数学模拟试卷

1、第 1 页，共 26 页2020-2021 学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷一、单选题（本大题共9 小题，共45.0 分）1.(2021 浙江省 单元测试 )已知复数 ? =(3?-1)(1-?)?2019(? 为虚数单位 )，则下列说法正确的是()a. z的虚部为4b. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限c. z的共轭复数 ?-= 4 - 2?d. |?|= 2 52.(2021 四川省泸州市 月考试卷 )设?的三个内角为a，b，c，向量 ? ? ? =(?,?)，? = ( 3?, 3?)，若 ? ? ? ? = 2 - ?，则 c 的值为 ()a. ?6b. ?3c. 2?3

2、d. 5?63.(2021 山东省烟台市 单元测试 )设?= ?14 + ?14 ，?= ?16 + ?16 ，? = 62，则 a，b，c 大小关系 ()a. ? ? ?b. ? ? ?c. ? ? ?d. ? ? ?2，?1 ?2b. ?1 ?2， ?1 ?2c. ?1 ?2，?1 ?2d. ?1 ?28.(2020 河北省衡水市 月考试卷 )在棱长为2 的正方体 ?-?1?1?1?1中，点 m 是对角线 ?1上的点 (点 m 与 a、?1不重合)，则下列结论正确的个数为() 存在点 m，使得平面 ?1? 平面 ?1? ； 存在点 m，使得 ?/平面 ?1?1； 若?1? 的面积为s，则

3、?(2 33,2 3)； 若?1、?2分别是 ?1? 在平面 ?1?1?1?1与平面 ?1?1? 的正投影的面积，则存在点 m，使得 ?1= ?2a. 1 个b. 2个c. 3 个d. 4 个9.(2021 北京市 单元测试 )在边长为 2 的等边三角形abc 中，点 d， e 分别是边 ac，ab上的点，满足?/?且?= ?(? (0,1) ，将 ?沿直线 de 折到 ? ?的位置在翻折过程中，下列结论成立的是()a. 在边 ? ?上存在点f，使得在翻折过程中，满足?/ 平面 ? ?b. 存在 ?(0,12)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面? ? 平面 bcde第 3 页，共 26 页

4、c. 若? =12，当二面角?- ? - ?为直二面角时，|? ?|= 104d. 在翻折过程中，四棱锥?- ?体积的最大值记为?(?) ，?(?) 的最大值为239二、多选题（本大题共3 小题，共15.0 分）10.(2021 湖北省 模拟题 )已知 m，n 是两条不重合的直线，? ，? ，? 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是()a. 若 ?/?， ?/? ，m，? ? ，则 ?/?b. 若 ? ，? ，?= ?，? ? ，则 ?c. 若? ，? ，?= ? ，那么 ?/?d. 若 ?/?， ?/?， ?= ? ，那么 ?/?11.(2021 江苏省南通市 期末考试

5、 )关于函数 ?(?) = 4?2? + 4?(?+?6)，下列说法正确的是 ()a. 若 ?1，?2是函数 ?(?) 的零点，则 ?1-?2是?2的整数倍b. 函数 ?(?) 的图象关于点(-?6,1)对称c. 函数 ?(?) 的图象与函数?= 2 3cos(2?-?6) + 1的图象相同d. 函数 ?(?) 的图象可由 ?= 2 3?2?的图象先向上平移1 个单位长度，再向左平移?3个单位长度得到12.(2021 江苏省南通市 期末考试 )已知 i 为虚数单位，下列说法中正确的是()a. 若复数z满足 |?- ?| = 5，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心， 5为半径的圆上b. 若复数

6、 z满足 ? + |?|= 2 + 8? ，则复数 ?= -15+ 8?c. 当 m，?时，有 ?= ?+?d. 1-?1+?是集合 ? = ?|? = ?,? ?中的元素三、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.(2021 江苏省南通市 期末考试 )如图，要计算某湖泊岸边两景点b 与 c 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取a 和 d 两点， 现测得 ? = 5? ， ? = 7? ， ?= 60 ， ?= 15 ， ?= 120 ，则两景点b 与 c 的距离为 _ km第 4 页，共 26 页14.(2021 江苏省南通市 期末考试 )某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课

7、程的学生共 900 人 (假设每人只选修一种类别的课程)，按照分层随机抽样的方法从中抽取 20人参加数学调研检测.已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119 分， 其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115 分，则该校选修政史类课程的学生人数为_ 15.(2021 浙江省 水平会考 )已知向量 ? = (4,2) ，? = (?, 1)，若 ? + 2? 与? - ? 的夹角是锐角，则实数 ? 的取值范围为 _16.(2021 全国 模拟题 )如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“

8、阿基米德体”.点a，b，m是该多面体的三个顶点，点n 是该多面体表面上的动点，且总满足? ，若 ? = 4，则该多面体的表面积为_ ，点 n 轨迹的长度为_ 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.(2021 江苏省南通市 期末考试 )在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题 3?= 4?， 2?+?2= 5?.在?中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 _，?= 3 2(1) 求 sina 的值；(2) 如图， m 为边 ac 上一点， |?|= |?| ， ?=?2，求 ?的面积第 5 页，共 26 页18.(2021 江苏省南通市 期末考试

9、 )如图，在四棱锥?- ?中，底面abcd 是矩形，点 e、f 分别是棱pc 和 pd 的中点(1) 求证： ?/ 平面 pab；(2) 若? = ? ，平面 ? 平面 abcd，证明：平面 ? 平面 pcd19.(2018 江西省赣州市 月考试卷 )一网站营销部为统计某市网友2017 年 12月 12 日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60 名网友在该网店的网购金额情况，如表：网购金额(单位：千元 )频数频率0,0.5)30.050.5,1)xp1,1.5)90.151.5,2)150.252,2.5)180.302.5,3yq合计601.00第 6 页，共 26 页若将当日网购金额不小于

10、2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2 千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2: 3(1) 确定 x， y，p，q 的值，并补全频率分布直方图；(2) 试根据频率分布直方图估算这60 名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”20.(2021 江苏省南通市 单元测试 )已知 o 为坐标原点， 对于函数 ?(?) = ?+ ?，称向量? ? ? ? ? ? ? = (?,?) 为函数 ?(?) 的伴随向量，同时称函数?(?) 为向量 ? ? ? ? ?

11、 ? ? 的伴随函数(1) 设函数 ?(?) = 3sin(?+ ?)- sin(3?2-?) ，试求 ?(?) 的伴随向量 ? ? ? ? ? ? ? ；(2) 记向量 ? ? ? ? ? = (1, 3) 的伴随函数为 ?(?) ， 求当 ?(?) =85且 ?(-?3,?6)时 sinx 的值；(3) 由(1) 中函数 ?(?) 的图象 (纵坐标不变 )横坐标伸长为原来的2 倍，再把整个图象向右平移2?3个单位长度得到?(?)的图象， 已知 ?(-2,3) ，?(2,6)，问在 ?= ?(?)的图象上是否存在一点p， 使得 ? ? ? ? .若存在，求出 p 点坐标；若不存在， 说明理由

12、第 7 页，共 26 页21.(2021 江苏省南通市 模拟题 )某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2 次，超过2次每次收取维修费200 元方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200 元小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100 台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：维修次数0123空调台数20303020用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率(1) 求购买这样

13、的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2 次的概率；(2) 请问小李选择哪种质保方案更合算22.(2018 四川省宜宾市 模拟题 )如图，在四棱锥?-?中， ?/?， ?= ?= 90 ，? =? =12?. ? 为棱 ad 的中点，异面直线pa 与 cd所成的角为 90 () 在平面 pab 内找一点m，使得直线 ?/平面pbe，并说明理由；() 若二面角 ?-? - ? 的大小为 45 ，求直线pa 与平面 pce 所成角的正弦值第 8 页，共 26 页第 9 页，共 26 页答案和解析1.【答案】d 【知识点】 复数的四则运算【解析】 解： ?=(3?-1)(1-?)?2019=2+4?

14、4504+3=2+4?-?=(2+4?)?-?2= -4+ 2? ? 的虚部为2；复数 z在复平面内对应的点位于第二象限；?-= -4- 2?；|?|= 2 5故选： d利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题2.【答案】 b 【知识点】 向量的数量积【解析】解： ?的三个内角为a， b， c， 向量 ? ? ? = (?,?)， ? = ( 3?, 3?)，? ? ? ? = 3?+ 3?= 3sin(? + ?)= 3?，又因为 ? ? ? ? = 2 - ?，所以 3?= 2 - ?，所以 3

15、?+ ?= 2(?6+ sin?6?)= 2?(?+?6) = 2，因为 0 ? ? ，所以?+?6=?2，所以?=?3故选： b利用向量的坐标表示求出向量的数量积，结合? ? ? ? = 2 - ?，转化求解c本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能3.【答案】 d 【知识点】 正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、比较大小【解析】 解：由题意知，?= ?14+ ?14= 2( 22?14 +22?14 )= 2?59 ，同理可得， ?= ?16+ ?

16、16= 2?61 ，? = 62= 2?60 ，第 10 页，共 26 页?= ?在(0,90)是增函数， ?59 ?60 ?61 ，? ? ? ，故选： d利用两角和的正弦公式对a 和 b 进行化简， 转化为正弦值的形式，再由正弦函数的单调性进行比较大小本题考查了比较式子大小的方法，一般需要把各项转化统一的形式，再由对应的性质进行比较，考查了转化思想4.【答案】 d 【知识点】 三角形面积公式、余弦定理、正弦定理【解析】【分析】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式

17、可得?= 1，结合 a 的范围可求 ?= 900，由余弦定理、三角形面积公式可求 ?=3，结合范围 00 ? 0时，需要满足? 1，符合条件的有：(1, -1) ，(1,1) ，(2, -1) ，(2,1) ，共 4种 函数 ?(?) = ?2-2?在区间 (1, +)上为增函数的概率是?=512故选 a6.【答案】 c 【知识点】 向量的数量积【解析】第 12 页，共 26 页【分析】本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太大，要注意计算的准确性属于中档题如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a，圆的半径为r，且 ? 2? ，然后设 ?(?,?)， 正方形的

18、四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选项判断即可【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a，圆的半径为r，且 ? 2? ，然后设?(?,?)，?(?, ?) ， ?(-?,?) ， ?(-?,-?)，?(?, -?) ? ? ? ? = (?- ?,?-?)，? = (-? -?,?- ?)，? ? ? ? =(-? -?,-? - ?)，? = (?- ?,-? -?)，? ? ? ? ? = ?2- 2?，? ? ? ? ? ? ? ? = -2?2+ ?2，? ? ? ? ? = ?2- 2?，? ? ? ? ? =?2+ 2?，? ? = -2?2+ ?2，? ? ?

19、 ? ? = ?2+ 2? ? ? ? 2= 2?2+ ?2-2?(?+ ?)，? 2= 2?2+ ?2+ 2?(?- ?)，? ? ? ? 2=2?2+ ?2+ 2?(?+ ?)，? 2= 2?2+ ?2- 2?(?- ?)对于 a，原式 = -4?2+ 2?2(定值 )，故 a结论成立；对于 b，原式 = 4?2(定值 )，故结论b 成立；对于 d，原式 = 8?2+ 4?2(定值 )，故结论 d 成立对于 c，取 ?= 0 时，原式 = 2|?| + 2|?| = 2?2+ (?- ?)2+ 2 ?2+ (?+ ?)2，再取 ?= 45 时，原式 = |?| + |?| + 2|?| =

20、 ? - 2?+ ? + 2?+ 2?2+ 2?2= 2? +2 ?2+ 2?2显然两式不相等故c 结论不成立故选： c7.【答案】 c 【知识点】 众数、中位数、平均数、频率分布直方图第 13 页，共 26 页【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区 40,60) 的频率为： (0.015 + 0.020) 10 = 0.35，60,70) 的频率为 0.025 10 =0.25 ， 甲地区用户满意度评分的中位数?1= 60

21、 +0.5-0.350.2510 = 66，甲地区的平均数?1= 45 0.015 10 + 55 0.020 10 + 65 0.025 10 +75 0.020 10 + 85 0.010 10 + 95 0.010 10 = 67乙地区 50,70) 的频率为： (0.005 + 0.020) 10 = 0.25，70,80) 的频率为： 0.035 10 =0.35 ， 乙地区用户满意度评分的中位数?2= 70 +0.5-0.250.3510 77.1，乙地区的平均数?2= 55 0.005 10 + 65 0.020 10 + 75 0.035 10 +85 0.025 10 + 9

22、5 0.015 10 = 77.5?1 ?2，?1 0，求得 1 - 11 ? 0，?=45(2) ? = ? ，cos ?= -cos ?= -?= -45，在 ?中，运用余弦定理可得，18 = 2?2- 2?2?(-45)，解得 ?= 5，?=12?2sin ?=125 35=32，在 ?中，?=45，? = 5，?=?2，第 20 页，共 26 页? =3 54，?=12354 5 =158，?=32+158=278选择条件 2?+?2= 5?，2?+?2= 5?，2?-?2= 5?，由正弦定理可得，2?cos?2= 5?，?0，2?2= 5?= 5 ?2?2?cos?2，cos?2 0

23、，sin?2=55，cos?2=2 55，?= 2?2?cos?2=45(2) ? = ? ，cos ?= -cos ?= -?= -45，在 ?中，运用余弦定理可得，18 = 2?2- 2?2?(-45)，解得 ?= 5，?=12?2sin ?=125 35=32，在 ?中，?=45，? = 5，?=?2，? =3 54，?=12354 5 =158，?=32+158=278【知识点】 解三角形的实际应用、余弦定理、正弦定理第 21 页，共 26 页【解析】 选择条件 3?= 4?(1)根据已知条件， 结合正弦定理， 即可求解 (2)根据已知条件，运用余弦定理，可得?= 5，再结合三角形面积

24、公式，即可求解选择条件 2?+?2= 5?(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解 (2) 根据已知条件，运用余弦定理，可得? = 5，再结合三角形面积公式，即可求解本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题18.【答案】 证明： (1) 底面 abcd 是矩形， ?/?， 点 e、f 分别是棱pc 和 pd 的中点， ?/?，?/?，又? ?平面pab，? ?平面pab，?/ 平面 pab(2) ? = ? ，且 f 为 pd 的中点，? ? ，又平面 ? 平面 abcd，平面 ? 平面 ?= ? ，? ? ，? 平面 pad，

25、? ? ，? ? = ? ，pd、? ? 平面 pcd，? 平面 pcd ，? ? 平面 pad， 平面 ? 平面 pcd 【知识点】 线面平行的判定、面面垂直的判定【解析】 (1) 由矩形的性质知?/?，由中位线的性质知?/?，从而有 ?/?，再由线面平行的判定定理，得证；(2) 由平面 ? 平面 abcd，可证 ? 平面 pad，知 ? ? ，而 ? ? ，再结合线面垂直和面面垂直的判定定理，得证本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、 推理论证能力， 属于中档题19.【答案】 解： (1) 由题意得：

26、 3 + ?+ 9 + 15 + 18 + ?= 6018+?3+?+9+15=23，化简得： ?+ ?= 152?= 3?，解得： ?= 9，?= 6，第 22 页，共 26 页故 ? = 0.15，?= 0.1，补全的频率直方图如图示：，(2) 设这 60名网友的网购金额的平均数为x，则 ?-= 0.25 0.05 + 0.75 0.15 + 1.25 0.15 + 1.75 0.25 + 2.25 0.3 + 2.75 0.1 = 1.7( 千元 )，又 0.05 + 0.15 + 0.15 = 0.35，0.150.5= 0.3，故这 60 名网友的网购金额的中位数为：1.5 + 0.

27、3 = 1.8( 千元 )， 平均数 1.7 2，中位数 1.8 2，故根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”【知识点】 众数、中位数、平均数、频率分布表、频率分布直方图【解析】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是常规题(1) 根据频数和与频数的计算问题，求出 x 与 y 的值，再计算 p 与 q 的值；求出小组 (0.5,1与 (2.5,3 的频率组距，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；(2) 根据频率分布直方图，计算平均数和中位数即可20.【答案】 解： (1) ?(?) = -sin(3?2- ?)+ 3sin(?+ ?)?(?) = ?- 3

28、?= - 3?+ ?(?) 的伴随向量? ? ? ? ? ? = (- 3, 1)；(2) 向量? ? ? ? ? = (1, 3)的伴随函数为?(?) = ?+ 3?，?(?) = ?+ 3?= 2?(?+?3) =85，sin(?+?3) =45第 23 页，共 26 页?(-?3,?6)，? +?3(0,?2) ，cos(?+?3) =35，?= sin(?+?3) -?3 =12sin(?+?3) - 32cos(?+?3) =4 - 3 310(3) 由(1) 知：?(?) = - 3?+ ?= -2?(?-?6)将函数 ?(?) 的图象 (纵坐标不变 )横坐标伸长为原来的2 倍，得

29、到函数 ?= -2?(12? -?6) ，再把整个图象向右平移2?3个单位长得到?(?)的图象，得到 ?(?) = -2?(12(?-2?3) -?6) = -2?(12? -?2) = 2?12? ，设 ?(?, 2?12?) ，?(-2,3) ，?(2,6)，? ? ? = (?+ 2,2?12?- 3)，? = (?-2,2?12? - 6)又? ? ? ? ，? ? ? ? = 0(?+ 2)(?- 2) + (2?12? -3)(2?12?-6) = 0即 ?2- 4 + 4?212?- 18?12?+ 18 = 0(2?12? -92)2=254- ?2(?)-22?12?2，-1

30、322?12?-92-52，254(2?12?-92)21694，又 254- ?2254， 当且仅当 ?= 0时， (2?12?-92)2和254-?2同时等于254，这时 (?)式成立 在?= ?(?)的图象上存在点?(0,2)，使得 ? ? ? ? 【知识点】 函数 y=asin( x+) 的图象与性质【解析】 (1) 根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可(2) 根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可(3) 根据三角函数的图象变换关系求出?(?)的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解本题主要考查三角函数和向量的综合应用，根据伴随向量的定义，以及利用辅助角公

31、式，两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度21.【答案】 解： (1) 两台空调在质保期的两年内维修交数超过2 次的概率为：第 24 页，共 26 页?= ?211515+ ?2131012+ ?2131015+ ?22(310)2+ ?22(15)2=63100(2) 方案一的维修费用x 的可能取值为0，200，400，600，800，?(? = 0) = 0.2 0.8 + 0.3 0.5 + 0.3 0.2 = 0.37，?(? = 200) = 0.2 0.2 + 0.3 0.3 + 0.3 0.3 + 0.2 0.2 = 0.26，?(

32、? = 400) = 0.3 0.2 + 0.3 0.3 + 0.2 0.3 = 0.21，?(? = 600) = 0.3 0.2 + 0.2 0.3 = 0.12，?(? = 800) = 0.2 0.2 = 0.04，方案一的质保金与维修费用之和的期望值为：300 + 0 0.37 + 200 0.26 + 400 0.21 + 600 0.12 + 800 0.04 = 540 元，方案二的维修费用y的可能取值为0，200，400，600，?(? = 0) = 0.2 1 + 0.3 0.8 + 0.3 0.5 + 0.2 0.2 = 0.63 ，?(? = 200) = 0.3 0.

33、2 + 0.3 0.3 + 0.2 0.3 = 0.21，?(? = 400) = 0.3 0.2 + 0.2 0.3 = 0.12，?(? = 600) = 0.2 0.2 = 0.04，方案二的质保金与维修费用之和的期望值为：400 + 0 0.63 + 200 0.21 + 400 0.12 + 600 0.04 = 514元，故方案二更合算【知识点】 古典概型的计算与应用【解析】 (1) 利用相互独立事件概率乘法公式能求出两台空调在质保期的两年内维修交数超过 2 次的概率(2) 先分别求出方案一的维修费用期望和方案二的维修费用期望，从而得到方案二更合算本题考查概率、数学期望的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题22.【答案】 解： ( )延长 ab交直线 cd 于点 m， 点 e 为 ad 的中点， ? = ? =12? ，? = ? =12? ，? = ? ，?/?，即 ?/?， 四边形 bcde 为平行四边形，即?/? ? = ?，? ? ，?/? ，第 25 页，共 26 页