2019年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(4月份)解析版

1、2019 年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（4 月份）一、填空题（本大题共有12 题，满分33 分）1（ 3 分）方程的解 x2（ 3 分）已知复数z 满足 z+0，则 |z|3（ 3 分）已知互异的复数a，b 满足 ab0，集合 a，b a2，b2 ，则 a+b4（ 3 分）袋中装有5 只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出 3 只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）5 （ 3分 ） 已 知 数 列 an 是 共 有k个 项 的 有 限 数 列 ， 且 满 足，若 a124，a251，ak0，则 k6（ 3 分）7（ 3 分） abc 所在

2、平面上一点p 满足，若 abp 的面积为 6，则 abc 的面积为8 （3 分）若对任意x r，不等式 sin2x+2sin2xm0 恒成立， 则 m 的取值范围是9（3 分）设 n n*，an为（ x+4）n（ x+1）n的展开式的各项系数之和，c，t r，bn+（x表示不超过实数x的最大整数），则（nt）2+（bn+c）2的最小值为10（ 3 分）如图所示：在直三棱柱abca1b1c1中， abbc，ab bcbb1，则平面a1b1c 与平面 abc 所成的二面角的大小为11（ 3 分）把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三

3、角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列 an，若 ak2015，则 k二、选择题（每题5 分，共 20 分）12（5 分）一个公司有8 名员工， 其中 6 名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8 位员工月工资的中位数不可能是（）a5800b6000c6200d640013（ 5 分）下列不等式中，与不等式0 同解的是（）a（ x 3）（ 2x） 0b（ x3）（ 2x） 0c0d014（5 分）对于两条不同的直线m，n 和两个不同的平面 ， ，以下结论正确的是（）a若 m?，n ，m，n 是异面直线，则

4、，相交b若 m ，m ，n ，则 nc若 m?， n ，m，n 共面于 ，则 mnd若 m ，n ， ，不平行，则m，n 为异面直线15（ 5 分）对于集合a，定义了一种运算“”，使得集合a 中的元素间满足条件：如果存在元素e a，使得对任意a a，都有 eaaea，则称元素e 是集合 a 对运算 “”的单位元素例如：ar，运算“ ”为普通乘法；存在1 r，使得对任意a r，都有1 aa1a，所以元素1 是集合 r 对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“”： ar，运算“ ”为普通减法；aamn|amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n* ，运算“ ”为矩阵加法； ax|x?

5、m （其中 m 是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）abcd三、解答题：（本大题共有5 题，满分76 分）16（ 14 分）如图，已知长方体abcda1b1c1d1的棱长 ab2，bc 1，aa12，求：（1）异面直线bc1与 cd1所成角的大小；（2）点 b 到平面 acd1的距离17（ 14 分）已知函数为实数（1）当 a 1 时，判断函数yf（x）在（ 1，+）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a 的不同取值，讨论函数yf（x）的最小值18（ 14 分）某公园有个池塘，其形状为直角abc， c90， ab 的长为 2 百米， bc的长为

6、 1 百米（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在ab、bc、ca 上取点 d、e、f，如图（ 1），使得 efab， efed，在 def 内喂食，求当def 的面积取最大值时ef 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在ab、bc、ca 上取点 d、e、f，如图（ 2），建造def 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使def 为正三角形，记fec ，求 def边长的最小值及此时的值（精确到1 米和 0.1 度）19（ 16 分）设常数t2在平面直角坐标系xoy 中，已知点f（2， 0），直线l： xt，曲线： y28x（ 0 xt，y0）l 与 x 轴交于点 a、与交于点bp、q 分别是曲线与

7、线段ab 上的动点（1）用 t 表示点 b 到点 f 的距离；（2）设 t3，|fq|2，线段 oq 的中点在直线fp 上，求 aqp 的面积；（3）设 t 8，是否存在以fp、fq 为邻边的矩形fpeq，使得点 e 在上？若存在，求点 p 的坐标；若不存在，说明理由20（ 18 分）若无穷数列 an满足：只要apaq（p， q n*），必有ap+1aq+1，则称 an具有性质p（1）若 an具有性质p，且 a11，a22，a43，a52，a6+a7+a821，求 a3；（2）若无穷数列 bn是等差数列，无穷数列cn 是公比为正数的等比数列，b1c51；b5c181，an bn+cn，判断 a

8、n 是否具有性质p，并说明理由；（3）设 bn是无穷数列，已知an+1 bn+sinan（n n*），求证：“对任意a1， an都具有性质 p”的充要条件为“bn是常数列”2019 年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分33 分）1（ 3 分）方程的解 x2【分析】 利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可【解答】 解：方程，化为： 3?2x+54x+1，解得（ 2x+1）（ 2x4） 0，即 2x40，解得 x2，故答案为： 2【点评】 本题考查对数运算法则的应用，指数运算法则的应用，方程的解法，考查计算能力2（ 3 分）已知复数z

9、 满足 z+0，则 |z|【分析】 设 za+bi（a， b r），代入z2 3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案【解答】 解：由 z+0，得 z2 3，设 za+bi（a，b r），由 z2 3，得（ a+bi）2a2b2+2abi 3，即，解得：则|z|故答案为：【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题3（ 3 分）已知互异的复数a，b 满足 ab0，集合 a，b a2，b2 ，则 a+b1【分析】 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论【解答】 解：根据集合相等的条件可知，若a，ba2，b2，则 或 ，由 得，ab0， a

10、0 且 b0，即 a1，b1，此时集合 1 ，1不满足条件若 ba2，ab2，则两式相减得a2b2ba，互异的复数a，b，ba0，即 a+b 1，故答案为：1【点评】 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论4（ 3 分）袋中装有5 只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出 3 只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】 从 5 只球中随机取出3 只，共种情况，而取出的3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率【解答】 解：

11、从 5 只球中随机取出3 只，共种情况，而取出的3 只球的编号之和为奇数，有2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种情况，若取出 3 只球中有2 只偶数 1 只是奇数，则有种情况，若取出的3 只球中有 3 只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为故答案为：【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5 （ 3分 ） 已 知 数 列 an 是 共 有k个 项 的 有 限 数 列 ， 且 满 足，若 a124，a251，ak0，则 k50【分析】 根据题意，将an+1an1变形可得an+1anan1an n，据此可得（ a3a2a2a1

12、） 2，（ a4a3a3a2） 3， akak1ak1ak2（ k1），用累加法分析可得 akak1a1a2 1+2+3+ （ k1），代入数据变形可得k2k24500，解可得 k 的值，即可得答案【解答】 解：根据题意，数列an满足 an+1an1，变形可得： an+1an an1an n，则有（ a3a2a2a1） 2，（a4a3a3a2） 3，（a5a4a4a3） 4，akak1ak1ak2（ k1），相加可得： akak1a1a2 2+3+ （ k1） ，又由 a1 24，a251，ak0，则有 k2k2450 0，解可得： k50 或 49（舍）；故 k50；故答案为： 50【点评】

13、 本题考查数列的递推公式的应用，关键是对an+1 an1的变形6（ 3 分）2【分析】 变形得到，而，从而求出该极限的值【解答】 解：故答案为： 2【点评】 考查数列极限的定义及求法，知道7（ 3 分） abc 所在平面上一点p 满足，若 abp 的面积为 6，则 abc 的面积为12【分析】由已知中p 是 abc 所在平面内一点， 且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，c 到直线 ab 的距离等于p 到直线 ab的距离的2 倍，故 sabc2sabp，结合已知中abp 的面积为6，即可得到答案【解答】 解：取 ac 的中点 o，则，m2，c 到直线 ab 的距离等于p 到直线 ab

14、的距离的2 倍，故 sabc2sabp12故答案为： 12【点评】 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到sabc2sabp，是解答本题的关键8 （3 分）若对任意x r， 不等式 sin2x+2sin2xm0 恒成立，则 m 的取值范围是（+1，+）【分析】由条件利用三角恒等变换可得msin （2x） +1， 再根据sin （2x）+1 的最大值为+1，从而求得m 的范围【解答】 解：不等式 sin2x+2sin2xm0，即 msin2xcos2x+1sin（2x）+1由于sin（2x）+1 的最大值为+1， m+1，故答案为：（+1，+）【点评】 本题主要考查三角恒

15、等变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，属于中档题9（3 分）设 n n*，an为（ x+4）n（ x+1）n的展开式的各项系数之和，c，t r，bn+（x表示不超过实数x的最大整数），则（nt）2+（bn+c）2的最小值为【分析】 令 x1 可得，bn，则（ nt）2+（ bn+c）2的几何意义为点（n，）（ n n* ）到点（ t，）的距离，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案【解答】 解：令 x1 可得，bn+ 1+2+（n 1），则（ nt）2+（ bn+c）2的几何意义为点（n，）（ n n* ）到点（ t，）的距离的平方，最小值即（ 2，1）到的距离 d 的平方，d，（ nt）

16、2+（ bn+c）2的最小值为故答案为：【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题10（ 3 分）如图所示：在直三棱柱abca1b1c1中， abbc，ab bcbb1，则平面a1b1c 与平面 abc 所成的二面角的大小为【分析】 通过题意易得直三棱柱abca1b1c1即为正方体的一半，直接得出答案【解答】 解：根据题意，易得直三棱柱abca1b1c1即为正方体的一半，所求即为平面a1b1c 与平面 a1b1c1所成的二面角，即为c1b1c，又 b1c1c 为等腰直角三角形，c1b1c，故答案为：【点评】 本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱abc a1b1c1

17、即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题11（ 3 分）把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列 an，若 ak2015，则 k1030【分析】 由题意可以得出，图1 中第 n 行有 2n1 个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出ak2015 在图 1 中的位置，图2 中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n 行共有多少个数字，结合图 1 即可求出2015 在图 2 中的位置， 从而得出 k 的值【解答】 解：由题意，图1 中第 n 行有 2n1

18、个数，前n 行有 nnn n2个数，图 2 知各行数字个数等于行数，故前n 行共有 n，图 1 每行的最后一个数恰好是行号的平方，45452025，故 2015 是第 45 行倒数第11 个数，由图 2 知各行数字个数等于行数，故前45 行共有 451035，由于最后一个数是奇数，按图 2 规则知， 2015 是第 45 行倒数第6 个数，故k103551030，故答案为： 1030【点评】 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）二、选择题（每题5 分，共 20 分）12（5 分）一个公司有8 名员工， 其中

19、6 名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8 位员工月工资的中位数不可能是（）a5800b6000c6200d6400【分析】 由已知能求出8 位员工月工资的中位数的取值区间为5400，6300，由此能求出结果【解答】 解：一个公司有8 名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，当另外两名员工的工资都小于5300 时，中位数为5400，当另外两名员工的工资都大于6500 时，中位数为6300，8 位员工月工资的中位数的取值区间为5400，6300，8 位员工月工资的中位数不可

20、能是6400故选： d【点评】 本题考查中位数的求法及判断，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数性质的合理运用13（ 5 分）下列不等式中，与不等式0 同解的是（）a（ x 3）（ 2x） 0b（ x3）（ 2x） 0c0d0【分析】 将不等式进行等价变形进行对比即可【解答】 解：不等式0 等价为，即0，故选： d【点评】 本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础14（5 分）对于两条不同的直线m，n 和两个不同的平面 ， ，以下结论正确的是（）a若 m?，n ，m，n 是异面直线，则 ，相交b若 m ，m ，n ，则 nc若 m?， n ，m，n 共面于 ，则 mnd若 m ，n ，

21、，不平行，则m，n 为异面直线【分析】 由线面平行的性质和面面的位置关系可判断a；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断b；由线面平行的性质定理可判断c；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断d【解答】 解：若 m?，n ，m，n 是异面直线，则 ，相交或平行，故a 错误；若 m ，m ，则 ，由 n ，则 n或 n?，故 b 错误；若 m?，n ，m，n 共面于 ，则 mn，故 c 正确；若 m ，n ， ，不平行，则m，n 为异面直线或相交，故d 错误故选： c【点评】 本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题15

22、（ 5 分）对于集合a，定义了一种运算“”，使得集合a 中的元素间满足条件：如果存在元素e a，使得对任意a a，都有 eaaea，则称元素e 是集合 a 对运算 “”的单位元素例如：ar，运算“ ”为普通乘法；存在1 r，使得对任意a r，都有1 aa1a，所以元素1 是集合 r 对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“”： ar，运算“ ”为普通减法； aamn|amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n* ，运算“ ”为矩阵加法； ax|x? m （其中 m 是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）abcd【分析】 根据单位元素的定

23、义，对三个集合及相应的运算“”进行检验即可【解答】 解： 若 ar，运算“ ”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； aamn|amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n* ，运算“ ”为矩阵加法，其单位元素为全为0 的矩阵； ax|x? m （其中 m 是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集，其单位元素为集合m故选： d【点评】 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题三、解答题：（本大题共有5 题，满分76 分）16（ 14 分）如图，已知长方体abcda1b1c1d1的棱长 ab2，bc 1，aa12，求：（1）异面直线bc1与 cd1所成角的大小；（2）

24、点 b 到平面 acd1的距离【分析】 （1）以 d 为原点， da 为 x 轴，dc 为 y 轴，dd1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线bc1与 cd1所成角的大小（2）求出平面acd1的法向量，利用向量法能求出点b 到平面 acd1的距离【解答】 解：（ 1）长方体abcda1b1c1d1的棱长 ab2，bc1，aa12，以 d 为原点， da 为 x 轴， dc 为 y 轴， dd1为 z 轴，建立空间直角坐标系，b（1，2，0）， c1（0，2，2）， c（0，2，0）， d1（0，0，2），（ 1，0，2），（ 0， 2，2），设异面直线bc1与 cd1所成角

25、为 ，则 cos ，异面直线bc1与 cd1所成角的大小为（2）a（ 1，0，0），（ 0，2，0），（ 1， 2，0），（ 1，0，2），设平面 acd1的法向量（ x，y，z），则，取 y1，得（ 2，1，1），点 b 到平面 acd1的距离 d【点评】 本题考查异面直线所成我的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题17（ 14 分）已知函数为实数（1）当 a 1 时，判断函数yf（x）在（ 1，+）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a 的不同取值，讨论函数yf（x）的最小值【分析】 （1）f（x）

26、 |x|x在（ 1，+）上单调递增，利用f（x） 1+0 可得；（2）a0 时， x时，函数取得最小值0；a0 时， f（x） x+时，利用基本不等式求出yf（x）的最小值为2【解答】 解：（ 1） f（x） |x|x在（ 1，+）上单调递增f（ x） 1+ 0，y f（x）在（ 1，+）上在（ 1，+）上单调递增；（2）a0 时， x时，函数取得最小值0；a 0 时函数无最小值；a 0 时， f（x） x+2，当且仅当x时， yf（x）的最小值为2【点评】 本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题18（ 14 分）某公园有个池塘，其形状为直角abc， c90， ab

27、 的长为 2 百米， bc的长为 1 百米（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在ab、bc、ca 上取点 d、e、f，如图（ 1），使得 efab， efed，在 def 内喂食，求当def 的面积取最大值时ef 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在ab、bc、ca 上取点 d、e、f，如图（ 2），建造def 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使def 为正三角形，记fec ，求 def边长的最小值及此时的值（精确到1 米和 0.1 度）【分析】 （ 1）设 efx，则可求ce，be，de，求得 sdefx（ 1）， x （0，2），由基本不等式可得：（1）（）2当且仅当x1 时等号成立，

28、从而可求当def 的面积取最大值时ef 的长；（2）设等边三角形边长为efeddf y，在 ebd 中，由正弦定理及三角函数的性质可得 y0.65，即可求得def 边长的最小值及此时的值【解答】 （本题满分14 分）本题共2 小题，第（ 1）小题（ 6 分），第（ 2）小题（ 8 分）解：（ 1）设 efx，则 ce，故 be1，所以 de （1），（ 2 分）sdefx（1）， x （0，2），（ 4 分）因为 sdef（1）（）2当且仅当x1（即 ef 长 100 米）时等号成立，即（ sdef）max（ 6 分）（2）设等边三角形边长为efeddf y，在 ebd 中， b60， edb

29、 ，（ 8 分）由题意可知ceycos ，（ 9 分）则 eb1 ycos ，所以，（ 11 分）即 y0.65，即 def 边长的最小值是65 米，（ 13 分）此时 tan ，40.9， 49.1（ 14 分）【点评】 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质以及基本不等式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（ 16 分）设常数t2在平面直角坐标系xoy 中，已知点f（2， 0），直线l： xt，曲线： y28x（ 0 xt，y0）l 与 x 轴交于点 a、与交于点bp、q 分别是曲线与线段ab 上的动点（1）用 t 表示点 b 到点 f 的距离；（2）设 t3，|fq

30、|2，线段 oq 的中点在直线fp 上，求 aqp 的面积；（3）设 t 8，是否存在以fp、fq 为邻边的矩形fpeq，使得点 e 在上？若存在，求点 p 的坐标；若不存在，说明理由【分析】 （ 1）方法一：设b 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|bf|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|bf|；（2）根据抛物线的性质，求得q 点坐标，即可求得od 的中点坐标，即可求得直线pf的方程，代入抛物线方程，即可求得p 点坐标，即可求得aqp 的面积；（3）设 p 及 e 点坐标，根据直线kpf?kfq 1，求得直线qf 的方程，求得q 点坐标，根据+，求得 e 点坐标，则（）2 8（+6

31、），即可求得p 点坐标【解答】 解：（ 1）方法一：由题意可知：设b（t，2t），则|bf|t+2，|bf|t+2；方法二：由题意可知：设b（ t，2t），由抛物线的性质可知：|bf|t+t+2， |bf|t+2；（2）f（ 2，0）， |fq|2，t3，则 |fa|1，|aq|， q（3，），设 oq 的中点 d，d（，），kqf，则直线pf 方程： y（x2），联立，整理得： 3x220 x+120，解得： x，x6（舍去）， aqp 的面积 s；（3）存在，设 p（，y），e（，m），则 kpf，kfq，直线 qf 方程为 y（x2） ， yq（8 2） ， q （ 8，） ，根据+，则 e（+6，），（）28（+6），解得： y2，存在以fp、fq 为邻边的矩形fpeq ，使得点e 在上，且p（，）【点评】 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，