2017年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析

1、第 1 页，共 21 页2017 年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题 : 本大题共 10小题 , 每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的 .1.(5 分) 设函数 y的定义域为 a,函数 yln(1 x) 的定义域为 b,则 ab( ) a.(1,2) b.(1,2 c.( 2,1) d. 2,1) 2.(5 分) 已知 ar,i 是虚数单位 , 若 zai,z ? 4, 则 a( ) a.1 或1 b.或c.d.3.(5 分) 已知命题 p: ?x0,ln(x 1) 0；命题 q: 若 ab, 则 a2b2, 下列命题为真命

2、题的是( ) a.pq b.p q c.pq d.pq 4.(5 分) 已知 x,y 满足约束条件, 则 zx2y 的最大值是 ( ) a.0 b.2 c.5 d.6 5.(5 分) 为了研究某班学生的脚长x( 单位: 厘米)和身高 y( 单位: 厘米)的关系 , 从该班随机抽取 10名学生 , 根据测量数据的散点图可以看出y 与 x 之间有线性相关关系 , 设其回归直线方程为x, 已知xi22.5,yi160,4, 该班某学生的脚长为24, 据此估计其身高为( ) a.160 b.163 c.166 d.170 6.(5 分) 执行两次如图所示的程序框图, 若第一次输入的x 值为 7, 第二

3、次输入的 x 值为 9, 则第一次 , 第二次输出的 a 值分别为 ( ) 第 2 页，共 21 页a.0,0 b.1,1 c.0,1 d.1,0 7.(5 分) 若 ab0, 且 ab1, 则下列不等式成立的是 ( ) a.alog2(ab) b.log2(a b)ac.alog2(ab) d.log2(a b) a8.(5 分) 从分别标有 1,2, ,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次, 每次抽取 1 张, 则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) a.b.c.d.9.(5 分) 在 abc中, 角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c, 若abc为锐角三角形 , 且满足

4、 sinb(1 2cosc)2sinacosccosasinc, 则下列等式成立的是 ( ) a.a2b b.b2a c.a2b d.b2a 10.(5 分)已知当 x0,1时, 函数 y(mx1)2的图象与 ym的图象有且只有一个交点, 则正实数 m的取值范围是 ( ) a.(0,1 2, ) b.(0,13, ) c.(0,)2, ) d.(0, 3, ) 二、填空题 : 本大题共 5小题 , 每小题 5 分, 共 25分11.(5 分)已知(13x)n的展开式中含有 x2的系数是 54, 则 n. 12.(5 分)已知,是互相垂直的单位向量 , 若与的夹角为 60, 则实数 的值是. 1

5、3.(5 分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为. 14.(5 分)在平面直角坐标系xoy中, 双曲线1(a0,b 0) 的右支与焦点为 f 的抛物线 x22py(p0)交于 a,b 两点, 若|af| |bf| 4|of|, 则该双曲线的渐近线方程为. 15.(5 分)若函数 exf(x)(e2.71828是自然对数的底数 ) 在 f(x) 的定义域上单调递增 , 则称函数 f(x) 具有 m性质. 下列函数中所有具有m性质的函数的序号为. f(x) 2xf(x) 3xf(x) x3f(x) x22. 第 3 页，共 21 页三、解答题 ( 共 6 小题,

6、 满分 75 分)16.(12 分) 设函数 f(x) sin( x)sin( x), 其中 0 3, 已知 f() 0. ()求 ；()将函数 yf(x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变 ), 再将得到的图象向左平移个单位 , 得到函数 yg(x) 的图象 , 求 g(x) 在 , 上的最小值 . 17.(12 分) 如图, 几何体是圆柱的一部分 , 它是由矩形 abcd( 及其内部 ) 以 ab边所在直线为旋转轴旋转 120得到的 ,g 是的中点. ()设 p是上的一点 , 且 ap be,求cbp的大小；()当 ab 3,ad2 时, 求二面角 eag c的大小 .

7、18.(12 分) 在心理学研究中 , 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下: 将参加试验的志愿者随机分成两组, 一组接受甲种心理暗示 , 另一组接受乙种心理暗示 ,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用, 现有 6 名男志愿者 a1,a2,a3,a4,a5,a6和 4 名女志愿者 b1,b2,b3,b4, 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示 , 另 5 人接受乙种心理暗示 . ()求接受甲种心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的概率 . ()用 x表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数, 求 x的分布列与数学期望ex. 19.(12 分)

8、 已知xn 是各项均为正数的等比数列, 且 x1x23,x3x22. ()求数列 xn的通项公式；()如图, 在平面直角坐标系 xoy中, 依次连接点 p1(x1,1),p2(x2,2) pn1(xn1,n 1)得到折线p1 p2pn1, 求由该折线与直线y0,x x1,x xn1所围成的区域的面积tn. 20.(13 分) 已知函数 f(x) x22cosx,g(x) ex(cosx sinx 2x2), 其中 e2.71828是自然对数的底数 . ()求曲线 yf(x) 在点(,f( ) 处的切线方程；()令 h(x) g (x) a f(x)(ar), 讨论 h(x) 的单调性并判断有无

9、极值 , 有极值时求出极值 . 21.(14 分) 在平面直角坐标系xoy中, 椭圆 e:1(ab0)的离心率为, 焦距为 2. ()求椭圆 e的方程 . 第 4 页，共 21 页()如图, 动直线 l:y k1x交椭圆 e于 a,b 两点,c 是椭圆 e上的一点 , 直线 oc的斜率为k2, 且 k1k2,m 是线段 oc延长线上一点 , 且|mc|:|ab| 2:3, m的半径为 |mc|,os,ot 是m的两条切线 , 切点分别为 s,t, 求sot 的最大值 , 并求取得最大值时直线l 的斜率. 第 5 页，共 21 页2017 年山东省高考数学试卷 (理科)参考答案与试题解析一、选择

10、题 : 本大题共 10小题 , 每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的 .1.(5 分) 设函数 y的定义域为 a,函数 yln(1 x) 的定义域为 b,则 ab( ) a.(1,2) b.(1,2 c.( 2,1) d. 2,1) 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法, 即可求得 a和 b,即可求得 ab. 【解答】解 : 由 4x20, 解得 : 2x2, 则函数 y的定义域 2,2, 由对数函数的定义域可知 :1 x0, 解得:x 1, 则函数 yln(1 x) 的定义域 ( ,1), 则 ab 2,1), 故选:d. 【点评】本题考

11、查函数定义的求法, 交集及其运算 , 考查计算能力 , 属于基础题 . 2.(5 分) 已知 ar,i 是虚数单位 , 若 zai,z ? 4, 则 a( ) a.1 或1 b.或c.d.【分析】求得 z 的共轭复数 , 根据复数的运算 , 即可求得 a 的值. 【解答】解 : 由 zai, 则 z 的共轭复数ai, 由 z? (ai)(a i) a234, 则 a21, 解得:a 1, a 的值为 1 或1, 故选:a. 【点评】本题考查共轭复数的求法, 复数的乘法运算 , 考查计算能力 , 属于基础题 . 3.(5 分) 已知命题 p: ?x0,ln(x 1) 0；命题 q: 若 ab,

12、则 a2b2, 下列命题为真命题的是( ) a.pq b.p q c.pq d.pq 【分析】由对数函数的性质可知命题p 为真命题 , 则p 为假命题 , 命题 q 是假命题 , 则q 是真命题 . 因此 pq 为真命题 . 【解答】解 : 命题 p: ?x0,ln(x 1)0, 则命题 p 为真命题 , 则p 为假命题；取 a1,b 2,a b, 但 a2b2, 则命题 q 是假命题 , 则q 是真命题 . pq 是假命题 ,p q 是真命题 , pq 是假命题 , pq 是假命题 . 故选:b. 【点评】本题考查命题真假性的判断, 复合命题的真假性 , 属于基础题 . 4.(5 分) 已知

13、 x,y 满足约束条件, 则 zx2y 的最大值是 ( ) a.0 b.2 c.5 d.6 第 6 页，共 21 页【分析】画出约束条件表示的平面区域, 根据图形找出最优解是由解得的点 a的坐标 , 代入目标函数求出最大值 . 【解答】解 : 画出约束条件表示的平面区域 , 如图所示；由解得 a(3,4), 此时直线 yxz 在 y 轴上的截距最大 , 所以目标函数 zx2y 的最大值为zmax3245. 故选:c. 【点评】本题考查了线性规划的应用问题, 是中档题 . 5.(5 分) 为了研究某班学生的脚长x( 单位: 厘米)和身高 y( 单位: 厘米)的关系 , 从该班随机抽取 10名学生

14、 , 根据测量数据的散点图可以看出y 与 x 之间有线性相关关系 , 设其回归直线方程为x, 已知xi22.5,yi160,4, 该班某学生的脚长为24, 据此估计其身高为( ) a.160 b.163 c.166 d.170 【分析】由数据求得样本中心点, 由回归直线方程必过样本中心点, 代入即可求得, 将 x24代入回归直线方程即可估计其身高. 【解答】解 : 由线性回归方程为4x , 第 7 页，共 21 页则 xi22.5,yi160, 则数据的样本中心点 (22.5,160), 由回归直线方程样本中心点, 则 4x160422.5 70, 回归直线方程为4x70, 当 x24 时,4

15、2470166, 则估计其身高为 166, 故选:c. 【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用, 考查计算能力 , 属于基础题 . 6.(5 分) 执行两次如图所示的程序框图, 若第一次输入的x 值为 7, 第二次输入的 x 值为 9, 则第一次 , 第二次输出的 a 值分别为 ( ) a.0,0 b.1,1 c.0,1 d.1,0 【分析】根据已知中的程序框图, 模拟程序的执行过程 , 可得答案 . 【解答】解 : 当输入的 x 值为 7 时, 第一次 , 不满足 b2x, 也不满足 x 能被 b 整数, 故 b3；第二次 , 满足 b2x, 故输出 a1；当输入的 x 值为

16、 9 时, 第一次 , 不满足 b2x, 也不满足 x 能被 b 整数, 故 b3；第二次 , 不满足 b2x, 满足 x 能被 b 整数, 故输出 a0；故选:d. 【点评】本题考查的知识点是程序框图, 难度不大 , 属于基础题 . 7.(5 分) 若 ab0, 且 ab1, 则下列不等式成立的是 ( ) 第 8 页，共 21 页a.alog2(ab) b.log2(a b)ac.alog2(ab) d.log2(a b) a【分析】 ab0, 且 ab1, 可取 a2,b . 代入计算即可得出大小关系. 【解答】解 : ab0, 且 ab1, 可取 a2,b . 则4,log2(a b)(

17、1,2), log2(a b)a. 故选:b. 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题 . 8.(5 分) 从分别标有 1,2, ,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次, 每次抽取 1 张, 则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) a.b.c.d.【分析】计算出所有情况总数, 及满足条件的情况数 , 代入古典概型概率计算公式, 可得答案 . 【解答】解 : 从分别标有 1,2, ,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次, 共有36 种不同情况, 且这些情况是等可能发生的, 抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有20

18、种, 故抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率p, 故选:c. 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式, 难度不大 , 属于基础题 . 9.(5 分) 在 abc中, 角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c, 若abc为锐角三角形 , 且满足 sinb(1 2cosc)2sinacosccosasinc, 则下列等式成立的是 ( ) a.a2b b.b2a c.a2b d.b2a 【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧, 然后化简通过正弦定理推出结果即可. 【解答】解 : 在 abc中, 角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c, 满足 sinb(1 2cosc)2sin

19、acosccosasincsinacoscsin(a c)sinacoscsinb, 可得:2sinbcosc sinacosc, 因为 abc 为锐角三角形 , 所以 2sinbsina, 由正弦定理可得 :2b a. 第 9 页，共 21 页故选:a. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数, 正弦定理的应用 , 考查计算能力 . 10.(5 分)已知当 x0,1时, 函数 y(mx1)2的图象与 ym的图象有且只有一个交点, 则正实数 m的取值范围是 ( ) a.(0,1 2, ) b.(0,13, ) c.(0,)2, ) d.(0, 3, ) 【分析】根据题意 , 由二次函数的性质分析

20、可得:y (mx1)2为二次函数 , 在区间 (0,) 为减函数,(, ) 为增函数 , 分 2 种情况讨论 : 、 当 0m 1 时, 有1, 、 当 m 1 时, 有1, 结合图象分析两个函数的单调性与值域, 可得 m的取值范围 , 综合可得答案 . 【解答】解 : 根据题意 , 由于 m为正数 ,y (mx1)2为二次函数 , 在区间 (0,) 为减函数 ,(,) 为增函数 , 函数 ym为增函数 , 分 2 种情况讨论 : 、当 0m 1 时, 有1, 在区间 0,1 上,y (mx1)2为减函数 , 且其值域为 (m1)2,1, 函数 ym为增函数 , 其值域为 m,1m, 此时两个

21、函数的图象有1 个交点 , 符合题意；、当 m 1 时, 有1, y(mx1)2在区间 (0,) 为减函数 ,(,1) 为增函数 , 函数 ym为增函数 , 其值域为 m,1m, 若两个函数的图象有1 个交点 , 则有(m1)21m, 解可得 m 0 或 m 3, 又由 m为正数, 则 m 3；综合可得 :m 的取值范围是 (0,1 3, )；故选:b. 【点评】本题考查函数图象的交点问题, 涉及函数单调性的应用 , 关键是确定实数 m的分类讨论. 二、填空题 : 本大题共 5小题 , 每小题 5 分, 共 25分11.(5 分)已知(13x)n的展开式中含有 x2的系数是 54, 则 n4

22、. 【分析】利用通项公式即可得出. 【解答】解 :(1 3x)n的展开式中通项公式 :tr 1(3x)r3rxr. 含有 x2的系数是 54, r 2. 第 10 页，共 21 页54, 可得6, 6,n n*. 解得 n4. 故答案为 :4. 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 . 12.(5 分)已知,是互相垂直的单位向量 , 若与的夹角为 60, 则实数 的值是. 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义, 列出方程解方程即可求出 的值. 【解答】解 : 【方法一】由题意 , 设(1,0),(0,1), 则(, 1), (1, ) ；

23、又夹角为 60, ()?() 2cos60, 即, 解得 . 【方法二】,是互相垂直的单位向量 , | | 1, 且?0；又与的夹角为 60, ()?() | | cos60, 即(1)?, 化简得, 即, 解得 . 第 11 页，共 21 页故答案为 :. 【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题, 是中档题 . 13.(5 分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为2. 【分析】由三视图可知 : 长方体长为 2, 宽为 1, 高为 1, 圆柱的底面半径为1, 高为 1 圆柱的,根据长方体及圆柱的体积公式, 即可求得几何体的体积 . 【解答】解 :

24、 由长方体长为 2, 宽为 1, 高为 1, 则长方体的体积 v12112, 圆柱的底面半径为1, 高为 1, 则圆柱的体积 v2 121, 则该几何体的体积vv12v12, 故答案为 :2 . 【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积, 考查长方体及圆柱的体积公式, 考查计算能力 ,属于基础题 . 14.(5 分)在平面直角坐标系xoy中, 双曲线1(a0,b 0) 的右支与焦点为 f 的抛物线 x22py(p0)交于 a,b 两点, 若|af| |bf| 4|of|, 则该双曲线的渐近线方程为yx . 【分析】把 x22py(p0) 代入双曲线1(a0,b 0), 可得:a2y22pb2y

25、a2b20, 利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出. 【解答】解 : 把 x22py(p0) 代入双曲线1(a0,b 0), 可得:a2y22pb2ya2b20, 第 12 页，共 21 页yayb, |af| |bf| 4|of|, yayb24, p, . 该双曲线的渐近线方程为:y x. 故答案为 :y x. 【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题 . 15.(5 分)若函数 exf(x)(e2.71828是自然对数的底数 ) 在 f(x) 的定义域上单调递增 , 则称函数 f(x) 具有

26、 m性质. 下列函数中所有具有m性质的函数的序号为. f(x) 2xf(x) 3xf(x) x3f(x) x22. 【分析】把代入exf(x),变形为指数函数判断；把代入exf(x),求导数判断 . 【解答】解 : 对于 ,f(x)2x, 则 g(x) exf(x) 为实数集上的增函数；对于 ,f(x)3x, 则 g(x) exf(x) 为实数集上的减函数；对于 ,f(x)x3, 则 g(x) exf(x) ex?x3, g(x) ex?x33ex?x2ex(x33x2)ex?x2(x 3), 当 x3 时, g(x) 0, g(x) exf(x) 在定义域 r上先减后增；对于 ,f(x)x2

27、2, 则 g(x) exf(x) ex(x22), g(x) ex(x22)2xexex(x22x2)0 在实数集 r上恒成立 , g(x) exf(x) 在定义域 r上是增函数 . 具有 m性质的函数的序号为. 故答案为 : . 【点评】本题考查函数单调性的性质, 训练了利用导数研究函数的单调性, 是中档题 . 三、解答题 ( 共 6 小题, 满分 75 分)16.(12 分) 设函数 f(x) sin( x)sin( x), 其中 0 3, 已知 f() 0. ()求 ；()将函数 yf(x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变 ), 再将得到的图象第 13 页，共 21

28、页向左平移个单位 , 得到函数 yg(x) 的图象 , 求 g(x) 在 , 上的最小值 . 【分析】 ( )利用三角恒等变换化函数f(x) 为正弦型函数 , 根据 f() 0 求出 的值；()写出 f(x) 解析式 , 利用平移法则写出g(x) 的解析式 , 求出 x , 时 g(x) 的最小值. 【解答】解 :( )函数 f(x) sin( x) sin( x) sin xcoscosxsinsin(x ) sin xcosxsin( x), 又 f() sin()0, k,k z, 解得 6k2, 又 0 3, 2；()由()知,f(x)sin(2x ), 将函数 yf(x) 的图象上各

29、点的横坐标伸长为原来的2 倍( 纵坐标不变 ), 得到函数 ysin(x )的图象；再将得到的图象向左平移个单位 , 得到 ysin(x ) 的图象 , 函数 yg(x) sin(x )；当 x , 时,x , sin(x ) ,1, 当 x时,g(x) 取得最小值是. 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题, 是中档题 . 17.(12 分) 如图, 几何体是圆柱的一部分 , 它是由矩形 abcd( 及其内部 ) 以 ab边所在直线为旋转轴旋转 120得到的 ,g 是的中点. ()设 p是上的一点 , 且 ap be,求cbp的大小；第 14 页，共 21 页()当

30、ab 3,ad2 时, 求二面角 eag c的大小 . 【分析】 ()由已知利用线面垂直的判定可得be 平面 abp,得到 be bp,结合 ebc 120求得 cbp 30；()法一、 取的中点 h,连接 eh,gh,ch, 可得四边形 begh 为菱形 , 取 ag 中点 m,连接 em,cm,ec,得到 em ag,cm ag,说明 emc 为所求二面角的平面角 . 求解三角形得二面角eag c的大小. 法二、以 b为坐标原点 , 分别以 be,bp,ba所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系 . 求出a,e,g,c 的坐标, 进一步求出平面aeg 与平面 acg 的一个法向量 ,

31、由两法向量所成角的余弦值可得二面角 eag c的大小 . 【解答】解 :( )ap be,abbe,且 ab,ap ? 平面 abp,ab ap a, be 平面 abp,又 bp ? 平面 abp, be bp,又ebc 120 , 因此 cbp 30；()解法一、取的中点 h,连接 eh,gh,ch, ebc 120, 四边形 bech 为菱形 , ae ge ac gc . 取 ag中点 m,连接 em,cm,ec, 则 em ag,cm ag, emc 为所求二面角的平面角 . 又 am 1, em cm . 在bec中, 由于ebc 120, 由余弦定理得 :ec22222222co

32、s120 12, , 因此 emc 为等边三角形 , 故所求的角为 60. 解法二、以 b为坐标原点 , 分别以 be,bp,ba所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系 . 由题意得 :a(0,0,3),e(2,0,0),g(1,3),c( 1,0), 故,. 设为平面 aeg 的一个法向量 , 第 15 页，共 21 页由, 得, 取 z12, 得；设为平面 acg 的一个法向量 , 由, 可得, 取 z22, 得. cos. 二面角 eag c的大小为 60. 【点评】本题考查空间角的求法, 考查空间想象能力和思维能力, 训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小 , 是中档题 .

33、 18.(12 分) 在心理学研究中 , 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下: 将参加试验的志愿者随机分成两组, 一组接受甲种心理暗示 , 另一组接受乙种心理暗示 ,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用, 现有 6 名男志愿者 a1,a2,a3,a4,a5,a6和 4 名女志愿者 b1,b2,b3,b4, 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示 , 另 5 人接受乙种心理暗示 . ()求接受甲种心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的概率 . ()用 x表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数, 求 x的分布列与数学期望ex. 【分析】 (1)

34、 利用组合数公式计算概率；(2) 使用超几何分布的概率公式计算概率, 得出分布列 , 再计算数学期望 . 【解答】解 :(i)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的事件为 m, 则 p(m). (ii)x的可能取值为 :0,1,2,3,4, 第 16 页，共 21 页p(x0) , p(x1), p(x2), p(x3), p(x4). x的分布列为 x 0 1 2 3 4 p x的数学期望 ex 012342. 【点评】本题考查了组合数公式与概率计算, 超几何分布的分布列与数学期望, 属于中档题 . 19.(12 分) 已知xn 是各项均为正数的等比数列, 且 x1x23,x3

35、x22. ()求数列 xn的通项公式；()如图, 在平面直角坐标系 xoy中, 依次连接点 p1(x1,1),p2(x2,2) pn1(xn1,n 1)得到折线p1 p2pn1, 求由该折线与直线y0,x x1,x xn1所围成的区域的面积tn. 【分析】 (i) 列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；(ii)从各点向 x 轴作垂线 , 求出梯形的面积的通项公式, 利用错位相减法求和即可. 【解答】解 :(i)设数列 xn 的公比为 q, 则 q0, 由题意得, 两式相比得 :, 解得 q2 或 q(舍), 第 17 页，共 21 页x11, xn2n1. (ii)过 p1,p2,p3, ,

36、pn向 x 轴作垂线 , 垂足为 q1,q2,q3, ,qn, 记梯形 pnpn1qn1qn的面积为 bn, 则 bn(2n1)2n2, tn321520721 (2n1)2n2, 2tn320521722 (2n1)2n1, 得 : tn(222 2n1) (2n1) 2n1(2n1) 2n1(12n)2n1. tn. 【点评】本题考查了等比数列的性质, 错位相减法求和 , 属于中档题 . 20.(13 分) 已知函数 f(x) x22cosx,g(x) ex(cosx sinx 2x2), 其中 e2.71828是自然对数的底数 . ()求曲线 yf(x) 在点(,f( ) 处的切线方程；

37、()令 h(x) g (x) a f(x)(ar), 讨论 h(x) 的单调性并判断有无极值 , 有极值时求出极值 . 【分析】 (i)f() 22. f (x) 2x2sinx, 可得 f ( ) 2 即为切线的斜率 , 利用点斜式即可得出切线方程 . (ii)h(x)g (x) a f(x)ex(cosx sinx 2x2)a(x22cosx), 可得 h(x) 2(x sinx)(exa)2(x sinx)(exelna). 令 u(x) xsinx, 则 u(x) 1cosx0, 可得函数u(x) 在 r上单调递增 . 由 u(0) 0, 可得 x0 时,u(x) 0；x0 时,u(x

38、) 0. 对 a 分类讨论 :a 0 时,0 a1 时, 当 a1 时,a 1 时, 利用导数研究函数的单调性极值即可得出. 【解答】解 :(i)f() 22. f (x) 2x2sinx, f ()2. 曲线 yf(x) 在点( ,f( ) 处的切线方程为 :y ( 22)2(x ). 化为: 2xy220. (ii)h(x)g (x) a f(x)ex(cosx sinx 2x2)a(x22cosx) h(x) ex(cosx sinx 2x2)ex(sinx cosx2) a(2x 2sinx) 2(x sinx)(exa) 2(x sinx)(exelna). 令 u(x) xsinx

39、, 则 u(x) 1cosx0, 函数 u(x) 在 r上单调递增 . u(0) 0, x0 时,u(x) 0；x0 时,u(x) 0. (1)a 0 时,exa0, x0 时, h(x) 0, 函数 h(x) 在(0, ) 单调递增；x0 时, h(x) 0, 函数 h(x) 在( ,0) 单调递减 . x0 时, 函数 h(x) 取得极小值 ,h(0) 12a. (2)a 0 时, 令 h(x) 2(x sinx)(exelna)0. 解得 x1lna,x20. 0a1 时,x (,lna) 时,exelna0, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递增；x(lna,0)时,exelna0

40、, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递减；x(0, ) 时,exelna0, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递增 . 第 18 页，共 21 页当 x0 时, 函数 h(x) 取得极小值 ,h(0) 2a1. 当 xlna 时, 函数 h(x) 取得极大值 ,h(lna)aln2a2lna sin(lna)cos(lna) 2. 当 a1 时,lna 0,x r时, h(x) 0, 函数 h(x) 在 r上单调递增 . 1a 时,lna 0,x ( ,0) 时,exelna0, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递增；x(0,lna)时,exelna0, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递减；x(lna, ) 时,exelna0, h(x) 0, 函数 h(x) 单调递增 . 当 x0 时, 函数 h(x) 取得极大值 ,h(0) 2a1. 当 xlna 时, 函数 h(x) 取得极小值 ,h(lna)aln2a2lna sin(lna)cos(lna)