刚体的定轴转动02

1、 4 4 力矩的功力矩的功 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 一一. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 二二. 刚体势能及机械能守恒定律刚体势能及机械能守恒定律 5 5 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 一一. 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 二二. 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 作业：作业： 5.16 ，5.19，5.20 ，5.25一一. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理既然刚体是一质元相对位置固定的特殊质点系既然刚体是一质元相对位置固定的特殊质点系质点系动能定理也适用于刚体质点系动能

2、定理也适用于刚体12KKEE 外外W内内W 由于质元相对位置固定由于质元相对位置固定12KKEE 外外W0 内内W4 4 力矩的功力矩的功 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2121rdfdW内力总是内力总是成对出现成对出现021rd12KKEE 外外W刚体作定轴转动时刚体作定轴转动时221JEK 21222121JJW 外外外外W如何计算？如何计算？已知转动定律已知转动定律dtdJJM d两边同乘以角位移两边同乘以角位移ddtdJMd dJ 21222121JJW外dJMd设刚体由位置设刚体由位置 变化到变化到 时，角速度由时，角速度由 变化到变化到2112对上式积分对上式积分21

3、21dJMd21222121JJ 21MdW外21222121JJ21MdW外由此可见，外力对刚体所作的功的代数和由此可见，外力对刚体所作的功的代数和可用合外力矩与刚体的角位移的乘积的积分来表示可用合外力矩与刚体的角位移的乘积的积分来表示力矩的功力矩的功W21MdWW外2122212121JJMdW21222121JJ刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量2122212121JJMdW说明：说明：力矩对刚体作的功实质等于外力对各质元做功的总和力矩对刚体作的功实质

4、等于外力对各质元做功的总和，它只不过是用力矩和角位移表示而已。，它只不过是用力矩和角位移表示而已。物理物理意义意义力矩的空间累积效果是使刚体动能获得增量力矩的空间累积效果是使刚体动能获得增量力矩的功是刚体转动动能改变的量度力矩的功是刚体转动动能改变的量度例例1.一根长一根长L ，质量为，质量为m 的均匀细直棒，其一端有一的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。最初细棒静止在水平位置。求：细棒由水平位置下摆求：细棒由水平位置下摆 角时的角速度。角时的角速度。oL解：解：规定细棒规定细棒顺时针顺时针转动的方向转

5、动的方向为正方向，重力矩为为正方向，重力矩为由上节细棒只受重力矩作用由上节细棒只受重力矩作用NG用刚体定轴转动动能定理用刚体定轴转动动能定理cos2LmgM cos2LmgM 细棒由水平位置下摆细棒由水平位置下摆 角，角，重力矩做的功重力矩做的功0cos2dLmgMdWsin2Lmg 由刚体定轴转动的动能定理由刚体定轴转动的动能定理2022121JJ 0cos2dLmgoL000 ，t sin2Lmg2022121JJ 221J sin2Lmg231mLJ Lgsin3 oL例例2.有一长为有一长为L ，质量为，质量为 m 的均匀细棒，的均匀细棒，静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点静止放在

6、水平桌面上，它可以绕着过其端点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动摩擦系数为细棒与桌面的滑动摩擦系数为 ，oL0解：解：细棒作定轴转动，细棒作定轴转动，之所以停下来是之所以停下来是由于受到阻力矩的作用，由于受到阻力矩的作用，阻力矩是由谁产生的？阻力矩是由谁产生的？重力，支持力，摩擦力重力，支持力，摩擦力摩擦力力矩如何计算？摩擦力力矩如何计算？现给细棒一初角速度现给细棒一初角速度0 ，求：细棒停止运动所转过的角度。求：细棒停止运动所转过的角度。oL0dxxfd摩擦力力矩如何计算？摩擦力力矩如何计算？细棒与平面接触的各处都受细棒与平面接触的各处都受摩擦力

7、，需要用积分法来计算摩擦力，需要用积分法来计算dMM在细棒上距轴在细棒上距轴 x 处取一长为处取一长为dx 质元质元该质元所受摩擦力为该质元所受摩擦力为dmgdf对轴对轴o 的力臂为的力臂为xr dmgxdMdxLmdm 方向垂直棒长方向方向垂直棒长方向质元质元 dm所受摩擦力力矩所受摩擦力力矩oL0dxxfdgdmxdMMdmgxdMdxLmdm 整个细棒所受摩擦力力矩整个细棒所受摩擦力力矩dxxLmgML0221LLmgmgL21与时间无关的恒力矩与时间无关的恒力矩oL0dxxfdmgLM21与时间无关的恒力矩与时间无关的恒力矩2122212121JJMd由由刚体定轴转动的动能定理刚体定轴

8、转动的动能定理0201，20210JM202312121mLmgL231mLJ gL320三三. 刚体势能及机械能守恒定律刚体势能及机械能守恒定律一个刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念一个刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念例如：例如：刚体受到重力的作用，刚体就具有一定的重力势能。刚体受到重力的作用，刚体就具有一定的重力势能。它的重力势能就是它的各质元重力势能的总和它的重力势能就是它的各质元重力势能的总和 iiiiiiPhmgghmEmhmhiiiC 由质心定义由质心定义CPmghE 1. 刚体重力势能刚体重力势能刚体重力势能等于它的全部质量刚体重力势能等于它的全部质量集中在质心

9、时所具有的的势能。集中在质心时所具有的的势能。2.2. 包含刚体的物体系的的功能原理包含刚体的物体系的的功能原理如果研究对象包括如果研究对象包括刚体刚体和和质点质点，上述功和机械能的计算分成上述功和机械能的计算分成刚体刚体和和质点质点分别计算。分别计算。由质点系功能原理由质点系功能原理EWW非保内外FWWWW非保内外221JEK221mvEK刚体刚体动能动能质点质点动能动能3. 包括刚体在内的系统的机械能守恒包括刚体在内的系统的机械能守恒对于包括刚体的系统，如果在运动过程中，对于包括刚体的系统，如果在运动过程中，只有保守力做功，则系统的机械能守恒只有保守力做功，则系统的机械能守恒常数PKEEM

10、R0例例2.物体物体 m 通过轻绳悬于定滑轮之下，通过轻绳悬于定滑轮之下，滑轮为质量均匀分布的圆盘，质量为滑轮为质量均匀分布的圆盘，质量为M 。现给圆盘一个初角速度现给圆盘一个初角速度 0 ，同时轮轴处对滑轮有一个大小为同时轮轴处对滑轮有一个大小为 Mf 的恒定阻力矩的恒定阻力矩hfM求：求： m 可上升的最大高度。可上升的最大高度。解：解：选物体、滑轮、地球为一系统选物体、滑轮、地球为一系统受力分析受力分析MRfgMTNTgm滑轮为定轴转动的刚体滑轮为定轴转动的刚体物体物体 m 视为质点视为质点MR0hfMMRfgMTNTgm对滑轮定轴转动对滑轮定轴转动有影响只有有影响只有fT由质点系功能原

11、理由质点系功能原理EWW非保内外EWWWF外MdWfMRTM0非保内W选选逆时针逆时针转动方向转动方向为正方向为正方向dMRTf)(MR0hfMMRfgMTNTgmEWWWF外dMRTWf)(dMRTdfdMTdSfdSTWFMf 为恒定阻力矩为恒定阻力矩fMTdSMR0hfMMRfgMTNTgmEWWWF外fMTdSdSTW外TT fM)02121(2020mvJmghEMR0hfMMRfgMTNTgmfM)02121(2020mvJmghRh00Rv RhMf)2121(20220mRJmgh202)(2RMmgmRJhf例例3.一根长一根长L ，质量为，质量为m 的均匀细直棒，其一端有一

12、的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。最初细棒静止在水平位置。求：细棒由水平位置下摆求：细棒由水平位置下摆 角时的角速度。角时的角速度。oLNG解：解：规定细棒在水平位置时的规定细棒在水平位置时的重力势能为重力势能为零零细棒运动过程中只有重力做功细棒运动过程中只有重力做功系统机械能守恒系统机械能守恒oLNG用机械能守恒定律用机械能守恒定律细棒由水平位置下摆细棒由水平位置下摆 角时，角时，重力势能为重力势能为CPmghE Chsin2Lmg 由机械能守恒定律由机械能守恒定律初始状态系统机械能初始状态系统机械

13、能00 E末了状态系统机械能末了状态系统机械能PKEEE sin2212LmgJ oLNGCh02212 sinLmgJELgsin3 在质点力学中，力作用于物体一段时间，在质点力学中，力作用于物体一段时间，其结果是使物体的动量获得增量其结果是使物体的动量获得增量动量定理动量定理对于刚体来说，对于刚体来说，力矩是使刚体运动状态发生改变的原因，力矩是使刚体运动状态发生改变的原因，力矩的瞬时作用效果是使刚体的获得角加速度力矩的瞬时作用效果是使刚体的获得角加速度与质点情况相似，与质点情况相似，力矩作用一段时间其效果力矩作用一段时间其效果 又如何呢？又如何呢？由转动定律由转动定律JM dtdJ JL

14、dtLd LddtM 左边是力矩与时间的乘积，左边是力矩与时间的乘积，与质点力学中的冲量相似，与质点力学中的冲量相似，它表示力矩在它表示力矩在dt 时间内的累积，时间内的累积，称作力矩在称作力矩在dt 时间内的时间内的冲量矩，冲量矩，记作记作IddtMId 一一. 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理5 5 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 右边表示刚体角动量在右边表示刚体角动量在dt 时间内的变化时间内的变化LddtMId力矩在力矩在dt 时间内对刚体的冲量矩等于时间内对刚体的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的变化刚体在这段时间内角动量的变化刚体定轴转动的

15、角动量定理刚体定轴转动的角动量定理微分形式微分形式将上式从将上式从 t1 时刻到时刻到 t2 时刻积分，时刻积分，就可以得到就可以得到刚体定轴转动的角动量定理的刚体定轴转动的角动量定理的积分形式积分形式12212121LLLddtMIdILLtttt积分形式积分形式从从 t1 时刻到时刻到 t2 时刻，刚体所受合外力矩的冲量矩时刻，刚体所受合外力矩的冲量矩等于这段时间内刚体角动量的变化。等于这段时间内刚体角动量的变化。根据根据刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理可以得到可以得到关于刚体定轴转动的一条重要定律关于刚体定轴转动的一条重要定律12212121LLLddtMIdILLttt

16、t二二. 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律由角动量定理微分形式由角动量定理微分形式当当0 MLddtMId 0 Ld常常矢矢量量 L当绕定轴转动的刚体所受合外力矩等于零时，当绕定轴转动的刚体所受合外力矩等于零时，刚体角动量保持不变刚体角动量保持不变守恒守恒刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律常常矢矢量量 J或或讨论讨论0 M1221LLdtMItt v 刚体定轴转动角动量守恒的条件是刚体定轴转动角动量守恒的条件是当当0 M错误：错误：021 ttdtM常常矢矢量量 JL0 M0 M0 iM iMM0 iM0 iiiFrMiiFr|0 iFv 刚体定轴

17、转动角动量守恒的两种情况刚体定轴转动角动量守恒的两种情况B. 和和 都同时改变，但乘积保持不变都同时改变，但乘积保持不变JA. 和和 都保持不变都保持不变Jv 当刚体由几部分组成，且绕同一固定轴转动当刚体由几部分组成，且绕同一固定轴转动0外M常常矢矢量量 iiJL这时角动量在系统内部传递这时角动量在系统内部传递内外MM上式仍然成立上式仍然成立例例1.有一长为有一长为L ，质量为，质量为 m 的均匀细棒，的均匀细棒，静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动摩擦系数为细棒与桌面的滑动

18、摩擦系数为 ，现给细棒一初角速度现给细棒一初角速度0 ，求：细棒停止运动所需的时间求：细棒停止运动所需的时间oL0整个细棒所受摩擦力力矩整个细棒所受摩擦力力矩mgLM21解：解： 细棒所以停下来是细棒所以停下来是由于受到摩擦阻力矩的作用由于受到摩擦阻力矩的作用MmgLM21oL0M1221JJMdttt由由与时间无关的恒力矩与时间无关的恒力矩0201，231mLJ 12JJtM0231021mLtmgLgLt320例例2.一根长一根长L ，质量为，质量为m 的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端挂在水平光滑轴挂在水平光滑轴o 上，细棒可以在竖直平面上，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在

19、竖直位置。今有一内转动，最初细棒静止在竖直位置。今有一质量为质量为 的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入棒的下射入棒的下端，而不复出。端，而不复出。求：细棒和子弹开始一起运动时的角速度。求：细棒和子弹开始一起运动时的角速度。Lo0m0v0m0v分析：分析：由于从子弹射入细棒到二者一由于从子弹射入细棒到二者一起运动所经过的时间极短，起运动所经过的时间极短，在这一过程中细棒的位置基本在这一过程中细棒的位置基本保持不变，即仍然保持竖直。保持不变，即仍然保持竖直。解：解：Lo0m0vgmNgm0受力分析如图受力分析如图系统所受外力为系统所受外力为gmNgm0它们对轴它们对轴o 的力矩为零的力矩为零子弹射入细棒过程中子弹射入细棒过程中意味着意味着0 外外M常常矢矢量量 iiJL则有则有细细棒棒子子弹弹LLL Lo0m0v常常矢矢量量 iiJL细细棒棒子子弹弹LLL 碰