2018年高考数学总复习高考达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题-定点、定值、探索性问题理

1、高考达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题 定点、定值、探索性问题1. (2017 汕头期末联考)已知抛物线C y2= 2px(p0)的焦点F(1,0)A B是抛物线C上异于O的两点.(1) 求抛物线C的方程；1(2) 若直线OA OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点.解：因为抛物线y2= 2px(p 0)的焦点坐标为(1,0),所以 2= 1,所以p= 2.所以抛物线C的方程为y2= 4x.1因为直线OA OB的斜率之积为一 2,tt12所以t2 T 厂=2，化简得t= 32. 44所以A(8 ,t) ,B(8 , t)，此时直线AB的方程为x= 8.当直线AB的斜率存在时，设其方程

2、为y=kx+b,A(XA,yA) ,B(XB,yB),、ty2=4x/2联立方程组消去x,得ky 4y+ 4b= 0.y=kx+b4b根据根与系数的关系得yAyB=k,1因为直线OA OB的斜率之积为一,yAyB所以-=XAXB即XAXB+2yAyB= 0.2 2即yT+ 2yAy-= 0,44,O为坐标原(2)证明：当直线AB的斜率不存在时,2解得yAy-= 0（舍去）或yAy-= 32.4b所以yAy-=u=32,即b= 8k,k3所以y=kx 8k,即卩y=k(x 8).综上所述，直线AB过定点(8,0).2 2x y2.(2017 甘肃张掖一诊)已知椭圆云+含=1(ab 0)的左、右焦

3、点分别为F1,F2,|F1F2|=2 5，点P为椭圆短轴的端点，且PFF2的面积为 2 5.(1)求椭圆的方程；点Q是椭圆上任意一点，A(4 . 5, 6)，求|QA |QF|的最小值；点B1, 響 是椭圆上的一定点，B,B2是椭圆上的两动点，且直线I3丿所以kBB=X1X2BB,BB关于直线x= 1 对称，试证明直线BR的斜率为定值.解：由题意可知c=&,SAPFF2=扌厅冋Xb= 2 寸 5,2 2所以b= 2,求得a= 3，故椭圆的方程为 +占=1.由得|QF| + |QF| = 6,F1( 5, 0) , F 5, 0). 那么 |QA |QF| = |QA (6 |QF|)=

4、|QA+ |QF| 6,而 |QA+ |QF|AF| =.寸5 -J5+ h U所以|QA|QF|的最小值为 3.2= 9,设直线BB的斜率为k,因为直线BB与直线BB关于直线x= 1 对称, 所以直线BR的斜率为-J,所以直线BB的方程为y-寧k(x 1),、rt T Ji设B(X1,y,Bgy2),4 丈 J |y由2可得(4 + 9k2)x2+ 6k(4 2 3k)x+ 9k2 24 ,2k 4= 0,9k2 24Ek 4 因为该方程有一个根为x= 1，所以X1=2,24+ 9k同理得x2=峪HP4,24+ 9k4kxi+X2 2kXiX29k2 24 ,2k 4 9k2+ 24 ,2k

5、 4479?2k9k2 24，2k 4 9k2+ 24 ,2k 44 + 9k24+ 9k4+ 9k4+ 9k故直线BB2的斜率为定值.63. (2016 合肥质检)设A,B为抛物线y2=x上相异两点, 分别以A,B为切点作抛物线的切线丨1,丨2,设丨1,丨2相交于点(1) 求点P的坐标；- - (2)M为A B间抛物线段上任意一点，设PM=PA+卩为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由.解：(1)由题知A(1,1)，耳 4， 2)，其纵坐标分别为1， 2，P.PB，试判断飞；入+1是否设点P的坐标为(XP，yp)，y 1 =k x，切线I1：y 1 =k(x 1)，联立 2

6、ly=x，1由抛物线与直线11相切，解得k= 2,即I1：y= 2x+1，同理，丨2：y= 4x1.Xp=2，联立丨1,丨2的方程，可解得1lyp=2，即点 P 的坐标为 i 2，1.2设My。，y。)，且2yobc 0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为f,过原点和X轴不重合的直线与椭圆(2)是否存在过点R2,1)的直线4PAPB成立？若存在，试求出直线I与椭圆E相交于不同的两点A, B且使得-P2=I的方程；若不存在，请说明理由.tJJ解：(1)由椭圆的对称性知 |GF|+ |CF| = 2a= 4,7又a2=b2+c2= 4,abc 0,-b= 3,c= 1.2故椭圆E的方程为X+y(2)当直线I与X轴垂直时不满足条件. 故可设直线I的方程为y=k(X2) + 1,代入椭圆方程得(3 + 4k2)X2 8k(2k1)X+ 16k2 16k 8= 0,+y=1.X1,y1),旦X2,y2), = 32(6k+ 3) 0,1k-2.8k 2kX1+X2=374716k2 16k8,X1X2=2,- A2A A OP2=4PAPB,即 4(xi- 2)(X2 2) + (yi 1)(y2- 1) = 5,82 4(xi 2)(X2 2)(1 +k) = 5,即 4xiX2 2(xi+X2) + 4(1 +k2)