衡水中学高考数学(理)万卷检测：立体几何与空间向量(含答案)

1、立体几何与空间向量本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分 150 分。 考生应首先阅读答题卡上的文字信息， 然后在答题卡上作答 ,在试题卷上作答无效。第 i 卷一、选择题1.将正方体模型放置在你的水平细视线的左上角，用斜二测画法绘制成直观图，则正确的是 ( ) 2.向高为 h 水瓶中注水，注满为止 .如果注水体积 v 与水深 h的函数关系如图， 那么水瓶的形状是图中的 ( ) 3.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( ) a.253b.343c.1633d.161234.若正方体的棱长为2， 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )

2、a.26b.3 c.23 d.235.一球内切于一圆台，若此圆台的上.下底面半径分别是,a b，则此圆台的体积是（）a.22()aabbab b.2322()aabbabc.322()aabbabd.1322()aabbab6.已知平面截球面的圆m。过圆心m且与成60二面角的平面截该球面得圆n.若该球的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为 ( ). a.7b.9c.11d.137. 已 知nm,为 异 面 直 线 ，m平 面，n平 面。 直 线l满 足,lm ln ll，则（a）/，且/l（b），且 l（c）与相交，且交线垂直于l（d）与相交，且交线平行于l8.平面的斜线 l 与平面所成的

3、角是 45,则 l 与平面内所有不经过斜足的直线所成的角中 ,最大的角是 ( ) abcd.45.60.90.1359.已知四面体 abcd 中，ab.ac.ad 两两互相垂直，给出下列两个命题：ab cdac bdad bc; 2222|abacadabacad. a. 真，真b.真，假c. 假，假d.假，真10.已知在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。在空间中可以类比得出以下一组命题：在空间中，垂直于同一直线的两条直线平行在空间中，垂直于同一直线的两个平面平行在空间中，垂直于同一平面的两条直线平行在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行其中，正确的结论的个数为（）a.1 b.2 c.3

4、 d. 4 11.在正四面体a-bcd 中,棱长为 4,m 是 bc 的中点 ,p 在线段 am 上运动 (p 不与 a.m 重合),过点 p 作直线 l 平面 abc, l 与平面 bcd 交于点 q,给出下列命题: bc平面 amd; q 点一定在直线 dm 上;vc-amd=42其中正确的是 ( ) a. b.c. d. 第卷二、填空题12.某几何体的三视图是三个半径为1 的四分之一圆面如图则该几何体的表面积为13.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23它的三视图的俯视图如图左视图是一个矩形，则矩形的面积是14.，是两个不同的平面， m,n 是平面及之外的两条不同直线， 给出四个

5、论断：nmn m，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_15.如图，在透明塑料制成的长方体1111abcda b c d容器内灌进一些水，将容器底面一边bc 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形 efgh 的面积不改变；棱11a d始终与水面 efgh 平行；当1eaa时，aebf 是定值. 其中正确说法是. 三、解答题16. 如 图 ， 直 棱 柱111abca b c中 ，,d e 分 别 是1,ab bb的 中 点 ，122aaaccbab. （）证明：1/ /bc平面1acd；（）求二面角1

6、dace的正弦值 . abcd1a1c1be17.如 图 ， 在 四 棱 锥pab c d中 ， 底 面abcd是 正 方 形 ， 侧 棱pd底 面,abcd pddc e是pc的中点，作efpb交pb于点f. b a c d e f p g （）证明/ /pa平面edb；（）证明pb平面efd；（）求二面角cpbd的大小 . 18.（本小题满分 12 分）在长方体1111abcdabc d中，111113,4abbcbb，点1b在平面11abc上的射影为h. 1a1babcdh1c1d（）求证：h为11abc的垂心；（ ） 求 证 ：11111111112(,abcahcabcabcahca

7、bcssssss其中分 别 表 示111111,)abcahcabc的面积；（）求二面角111bacb的正切值 . 立体几何与空间向量单项选择题1.a【解析】本题考查对几何体的直观图的认识.由几何体的直观图的画法及直观图中虚线的使用，知a 正确 . 2.b【解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱，2vr h，当底面半径 r 不变时， v 是 h 的正比例函数，其图像应该是过原点的直线，与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜率大于0，且随着高度h 的增加，切线斜率逐渐变小，可以看出，随着高度h 的增加 v 也增加，但随着h 的变大，体积v 在单位高度的增加是变小，图像上升趋势

8、变缓，所以瓶子平行于底的截面的半径由底到顶逐渐变小. 3.d【解析】依题意知，该几何体是由上下两部分组成的，上部分是一个半径为2 的半球，下部分是一个正四棱柱，其中该正四棱柱的底面边长为2.侧棱长为3，因此该几何体的体积是32(162 )231231423，选 d. 4.c 5.b 6.d【解析】设圆n 的半径为r，球心为 o ，平面ab ，其中线段ab是圆m的一条直径， 连接 om,on,mn,na,nb过点 m 在平面内作ab的垂线交圆m 于点 c.由题意知ab是圆 n 的一条弦，则有nanb 又m为ab的中点，于是有,60nmabnmc又,abom abon 因此ab平面 omn ， 又

9、ab平面 cmn 因此平面 omn 平面与 cmn 重合，即点o,c,m,n四点共面，在四边形onc 中，=90609030onmomnomcnmc,22,1422 332omonom. 因此，球心 o 到截面的距离3on，截面圆n 的半径24313r，截面圆n 的面积等于213r，选 d 7.d 8.c 解析 :依题意得 ,直线l与平面内所有不经过斜足的直线都构成异面直线,而两条异面直线所成的角的最大值是90 ,因此选 c. 9.a 解析：由ab ac.ab ad,得 ab 平面acd ，故ab cd,即有=0ab cd，同理，=0ac bdad bc,于是，命题为真命题. 又以ab.ac.

10、ad 为同一顶点出发的三条棱，可构造一个长方体，则abacad为以 a 为起点的长方体的体对角线所对应的向量，从而abacad为长方体的体对角线的长，而222|abacad亦表示体对角线的长，故命题亦真. 10.b 11.a 解析 :连接 md, 对于 ,由于该几何体为正四面体,点 m 为 bc 边上的中点 ,所以 bcam,bcdm, 从而 bc平面amd, 故正确 ;对于 ,由 bc平面amd易得平面amd 平面abc, 又直线l平面 abc, 所以直线l一定在平面amd 内,l与 dm 不平行 ,故正确 ;对于 , 取ad的 中 点n, 连 接mn, 易 知mn ad, 在 等 腰 三

11、角 形amd中,mn=22mdnd=22(2 3)2=2 2, 13camdamdvs mc=1312ad mn 2=8 23,故错 ,故选 a. 填空题12.54【解析】依题意知，该几何体是半径为1 的球的八分之一，因此该几何体的表面积为22(41 )3(1 )115844. 13.23【解析】设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3故所求矩形的面积为2 3. 14. 或15.解答题16.连接1ac交1ac于f,则f为1ac中点 . 又 d 是 ab 中点，连接df，则1/ /.bcdf因为111,dfacd bcac

12、d趟平面平面，所以1/ /.bcdf（1）由 ac=cb=22ab 得， acbc 。设 c 点坐标原点，cauu r的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz.设 ca=2 ， 则 d(1， 1， 0),e(0，edb1c1acba12，1), 1a(2，0， 2). cduuu r=(1，1，0), ceuur=(0，2，1), 1cauuu r=(2，0，2). 设 n=（x,y,z）是平面1acd的法向量，则1.0.0ncdnca?=?=? ?uu u ruuu r即11120220 xyxz+=?+=? ?可取 n=(1,-1,-1). ，同 理 设m是 平 面1

13、a c e的 法 向 量 ， 则1.0.0mcemca?=?=? ?uuruuu r可 取m=(2,1,-2). 从 而.3cos,|3nmn mnm=，故6sin,3n m =即二面角d-1ac-e 的正弦值为6317.解：如图所示建立空间直角坐标系，d为坐标原点，设dca . （）连结,ac 交bd于 g ，连结 eg .依题意得( , 0, 0),(0, 0,),(0,)22aaa apae. 底面 abcd 是正方形，g 是此正方形的中心，故点g 的坐标为(, 0)22aa，b a c d e f p g x y z 且( , 0,),(, 0,)22aapaaaeg. 2paeg ，

14、这表明/paeg .而 eg平面 edb 且 pa平面edb，/pa平面edb. （）依题意得( , 0)b aa，( ,)pbaaa. 又(0,)22aade，故220022aapb de. pbde. 由已知efpb，且efdee，所以pb平面efd. （）设点f的坐标为000(,)xyz， pfpb ，则000(,)( ,)xyzaaaa ，从而000,(1)xayaza ，所以000(,)22aafexyz11(,() , () )22aaa. 由条件efpb知，0fe pb，即22211()()022aaa，解得：13，点f的坐标为2(,)333aaa，且(,)366aaafe，2(

15、,)333aaafd. 22220333aaapb fd，即pbfd，故efd是二面角 cpbd 的平面角 . 222291896aaaafe fd，2226|936366aaafea，22246|9993aaafda，216cos2|6663afe fdefdfefdaa，得3efd. 所以二面角cpbd 的大小为3. 18. （）证明：由长方体的性质知：11111111111,c ba b c bbb a bbbb1a1babcdh1c1d1111111,b ca b ba ba b b?面又面111111111=b ca ba bb hb cb hbi，又，111111abbc hc hbc h面，又面，1111a bc ha hbc，同理，11ha bcv是垂心（2） （）延长bh交11ac于m，连接1b m，由（）知：11,bmach且经过又1111,acb h b hbmh