2019届高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第二课时练习

1、第七章 第 7 节立体几何中的向量方法第二课时提笔能 课时冲关_ g 能力各个击礦基础训练组1.（导学号 14577717）已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，SDL底面ABCD SD=1,AB=2,AD=1，/DAB=60,M N分别为SB SC中点，过MN乍平面MNP（分别与线段CD AB相交于点P、Q若XQ= 3AB求二面角M- PQ- B的平面角大小.（）以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系,且A（1,0,0） ,B（0, 3, 0） ,S（0,0,1） ,M0, -, 2 ,0.设平面MNP（的法向量为n= （x,y,z）,nAD=0由T，

2、得n= (0, 3 , 1),n MQ=0易知平面ABC的法向量为m （0,0,1）,“丨n| 1则cosm n=nmn?=2 ,所以二面角M- PQ- B为 60 .2.（导学号 14577718）（2018 秦皇岛市模拟）已知正四棱柱ABCA1B1C1D中，AA= 2ABE为AA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（）A. 60C. 45解析：A 在厶ABCD中,设AB=2AD=4,有AB=AD+BD,所以ADL BD6 分/DCB= 60,所以由余弦定理求得BD=3,恤Q1B-53D-5解析：C 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图,设AA= 2AB=2,贝U D(0,0,0

3、) ,C(0,1,0) ,B(1,1,0),日 1,0,1),D(0,0,2).所以BB(0，- 1,1) ,CD= (0，- 1,2),3.（导学号 14577719）如图，在直三棱柱ABC- ABC中，AB=1 ,AC=2,BC=3,D,E分别是AC和BB的中点，则直线DE与平面BBCQ所成的角为（）解析：A TAB=1,AC=2,BC=3,AC=BC+AB,.ABL BC所以 COSCDBECDIBEICD|.2X310.三棱柱为直三棱柱，BB丄平面ABC以B为原点，BC BA BB所在的直线分别为坐标系B-xyz，则A(0,1,0),Q,3, 0,0).设x轴，y轴，z轴建立如图所示的

4、空间直角B（0,0 ,a），贝U C（V3, 0,a）,1(0,1,0).设直线DE与平面BBGC所成的角为a，则 sina=|cosDFBA | =2,4.(导学号 14577720)如图，在四棱锥P-ABC呼，四边形ABCD平行四边形，且BC丄平面PAB PAL AB M为PB的中点，PA= AD=2.若AB=1,则二面角B-AC- M的余弦值解析：A TBC丄平面PAB AD/ BC - ADL平面PAB PA! AD又PAL AB且ADA ABD号,，DE= 23,- o 平面BBCQ的法向量 A：则A(0,0,0) ,Q2,1,0) ,P(0,0,2) ,B(0,1,0),MO, 2

5、, 1，以点A为坐标原点，分别以AD AB AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐 标系A- xyz.=A, PAL平面ABCD1 KC=(2,1,0),AMp,2 1)求得平面AMC的一个法向量为n= (1 , - 2,1),又平面ABC的一个法向量 AA (0,0,2),nAP2_ 6|n|Ap.1+4+126面角B-AC-M的余弦值为5.(导学号 14577721)如图，在直三棱柱AB(-ABC中，/ACB=90, 2AC=AA=BC解析：A 如图，以C为坐标原点，CA CB CC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0

6、,2,2) ,C(0,0,2).设AD= a,则D点坐标为(1,0 ,a),SD=(1,0 ,a),CB= (0,2,2).设平面BCD的法向量为m= (x,y,z).m- CB= 2y+ 2z= 0 由Am- St=x+az=0得厂Z,令z=- 1，则 m= (a,1, - 1).x= az又平面GDC的一个法向量为n= (0,1,0),| m-n|,口11-imin|，得a2+ 2= 2，解得a=2，所以AD=谑.故选A. cosn.XP=则由 cos 60)C. 2D.6.(导学号 14577722)(2018 郑州市模拟)在长方体ABCDABCD中，AB=2,BC= AA=1，贝 UD

7、C与平面ABC所成角的正弦值为 _.解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，则Ai(1,0,1),C(0,2,1), (1,2,0), AB= (0,2 , - 1) ,( 1,2,0)令z= 2,贝 yy= 1,x= 2,于是n= (2,1,2)设所求线面角为a，则 sina=|cos n.7.(导学号 14577723)如图，在正四棱锥S ABCD中,O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO= OD则直线BC与平面PAC所成角为 _ .解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD= SC=OA= OB= OC= a,a a则A(

8、a,0,0),巳 0,a,0),C( a,0,0) ,P(0， -, |).则CA=(2a,0,0),AP=(a,2,|), 2B=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n= (0,1,1),SB. n a11气.cr设n= (x,y,z)为平面ABC的法向量，则2yz=0,nA1C1=0,即x+ 2y= 0,DC= (0,2,0),则 cosSB nnAB= 0,|CBIn，2aj、2_2CB n= 60直线BC与平面PAC的夹角为 90 60= 30答案：308.（导学号 14577724）设正方体ABCA1B1C1D的棱长为 2,则点D到平面AiBD的距离是_ .解析：如图建立

9、空间直角坐标系,则D(0,0,2),Ai(2,0,2),D(0,0,0), R2,2,0),DA= (2,0,0),DA= (2,0,2),DB=(2,2,0)设平面AiBD的一个法向量n= (x,y,z),nDA=2x+ 2z= 0 则 sDB=2x+2y=0令x= 1,贝U n= (1 , 1, 1),点D到平面ABD的距离d=DA；叫=*=学5 窃3答案：穿9.（导学号 14577725）如图，在四棱锥PABCD,底面ABCD1平行四边形，/BCD=135,侧面PABL底面ABCD/BAP=90 ,AB= AC=PA=2 ,E, F分别为BC AD的中点， 点M在线段PD上.（1）求证：

10、EF丄平面PAC如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求 盘的勺值.解：（1）证明：在平行四边形ABCD,因为AB= AC/BCD=135,所以ABL AC由E,F分别为BC AD的中点，得EF/ AB,所以EFLAC2 分因为侧面PABL底面ABCD且/BAP90,所以PAL底面ABCD又因为EF?底面ABCD所以PAL EF.4 分又因为PAPAC= A,PA?平面PAC AC?平面PAC所以EF丄平面PAC因为PAL底面ABCD ABL AC,所以AP, AB, AC两两垂直，故以AB,x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系,5 分AC AP分别为Q 2

11、,2,0) , E(1,1,0),7 分所以 (2,0 , 2) ,PD= ( 2,2 , 2),BC=(2,2,0),鈴入(入 0,1),则PMk（ 2 入，2 入，一 2 入） ,所以M 2 入，2 入，2 2 入），IME= （1 + 2 入，1 2 入，2入一 2）, 易得平面ABC啲法向量m （0,0,1）.设平面PBC勺法向量为n= （x,y,z）,9 分2x+ 2y= 0 ,2x 2z= 0 ,令x= 1,得n= (1,1,1).10 分因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCC所成的角相等,所以|cos|=E、F分别在正方体ABCBA1B1C1D的棱BB、CG上，

12、且BE= 2EB CF= 2FC,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为解析：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设DA=1,由已知条件得，A（1,0,0）,E1，1,1，F0，1, I，平面ABC所成的二面角为0,令y= 1,贝 Un= ( 1,1， 3).又平面ABC勺一个法向量为m= （0,0 , 1）,14.（导学号 14577730）（2018 汕头市二模）如图，在正三棱柱ABC- ABC中，AB= 2,、32,2X故选 A.13.（导学号 14577729）如图，已知点XE=0,1,1,n= (x,y,z)，nXE=y+ 3Z= 0由 5nXF=k.2x+y+ 3Z=0，得

13、 I = 3y贝 U cos0 =|cos答案：子n, m |=斋所以tan2.设平面AEF的法向量为AA=h,E为BB的中点.若h= 2，请画出该正三棱柱的正（主）视图与侧（左）视图.求证：平面AECL平面AACC;当平面AEC与平面ABC所成的锐二面角为 45。时，求该正三棱柱外接球的体积.解：（1） ABC是边长为 2 的正三角形，ABC的高为.3,又h= 2,二正视图为边长为2 的正方形，左视图为边长为2 和. 3 的矩形,证明：连接AC交AC于F,取AC的中点M连接EF, FM MB.四边形ACCA是矩形，F是AC的中点.又M是A1G的中ATE是B吕i的中点AA四边形EFMBr是平行四边形EF/ MBABC是正三角形，MB丄AQ./AA丄平面ABC,MB?平面ABC, AA_L MB,又AAAAiC=A,MB丄平面ACCA,又MB/ EF,作出正（主）视图与侧:AEF丄平面ACCA，又EF?平面AiEC.平面AiECL平面AACC. AE=(1,3,2),AC= (2,0 x +V3y+?hz= 0y,z),则 22x+hz= 0人h令z= 1 得n= ( 2, 0,1 ).又AA丄平面AiBiC,mr(0,0,1 )是