线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

1、课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用本节主要讲解线性规划的常见基础类题型【母题一】 已知变量 A 7， 23 C7， 8x， y 满足约束条件x y3，x y 1，2x y 3，B 8， 23D 7， 25则目标函数z 2x 3y 的取值范围为()求这类目标函数的最值常将函数z axby转化为直线的斜截式：

2、y abx bz，通过求直线的截距bz的最值，间接求出z 的最值【解析】 画出不等式组x y 3，x y 1，2x y 3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数 z 2x3y 得 y 2x z，平移直线y 2x 知在点 B 处目标函数取到最小值，解方程组333x y 3，x 2，得所以 B(2,1)， zmin 2× 2 3×1 7，在点 A 处目标函数取到最大值，解方程组2x y 3，y 1，x y 1，x 4，得所以 A(4,5)， zmax 2× 4 3× 5 232x y 3，y 5，【答案】 Ax 4y 30，【母题二】 变量 x， y

3、 满足3x 5y 25 0，x 1，y，求 z 的最小值；(1)设 z 2x 1(2)设 z x2 y2，求 z 的取值范围；(3)设 z x2 y2 6x 4y 13，求 z 的取值范围点 (x，y) 在不等式组表示的平面区域内，y1·y 0 表示点 (x，y)和1， 0 连线的斜2x 1212x2率；x2 y2 表示点 (x，y)和原点距离的平方；x2 y2 6x 4y 13 (x 3)2 (y 2)2 表示点 (x，y)和点 ( 3,2)的距离的平方 x4y 3 0，【解析】 (1) 由约束条件3x 5y 25 0，作出 (x， y)的可行域如图所示 x 1，x 1，解得 A

4、1，22 由3x5y 25 0，5x 1，由解得 C(1,1)x 4y 3 0，x 4y 3 0，由解得 B(5,2)3x 5y 25 0， z y y 0× 1 2x 1 x 12 2 z 的值即是可行域中的点与1， 0 连线的斜率，观察图形可知zmin 20×12251292(2) z x2 y2 的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin |OC|2， dmax |OB|29 2 z 29(3) z x2 y2 6x4y 13 (x 3)2 (y 2)2 的几何意义是：可行域上的点到点 (3,2)的距离的平方结合图

5、形可知，可行域上的点到( 3,2)的距离中，dmin 1 ( 3) 4，dmax 3 5 2 2 2 2 8 16 z 641求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 z axby求这类目标函数的最值常将函数z ax by 转化为直线的斜截式：yazzx ，通过求直线的截距的bbb最值，间接求出z 的最值(2)距离型：形一：如z(x a)2 (yb)2， zx2 y2 Dx Ey F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二： z (x a)2 (yb)2， z x2 y2Dx Ey F，此类目标函数常

6、转化为点(x,y)与定点的距离的平方(3)斜率型：形如y， z ay b， zy， z ay b，此类目标函数常转化为点( x,y)与定点所在直z xcx dcx dx线的斜率【提醒】注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值x y7 0，1 (2014 新·课标全国 卷 )设 x， y 满足约束条件x 3y1 0，则 z2x y 的最大值为 ()3x y5 0，A 10B 8C3D 2【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由 z 2xy 得 y 2xz，作出直线 y 2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2) 时，对应的 z 值最大故 zmax 2&

7、#215; 5 2 8【答案】 Bx 2 0，2 (2015 高·考天津卷 )设变量 x， y 满足约束条件x y3 0，则目标函数 z x6y的最大值为2x y3 0，()A 3B 4C18D 40【解析】 作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时， z 取得最大值 18【答案】C3(2013高·考陕西卷)若点 (x，y)位于曲线y |x|与y 2 所围成的封闭区域，则2x y 的最小值为()A6C0B 2D 2【解析】 如图，曲线y |x|与y2 所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z 2xy，则 y2x z，作直线y 2x，在封闭区域内平行移动

8、直线取得最小值，此时z2×( 2) 2 6【答案】 Ay 2x，当经过点( 2,2)时， z角度二：求非线性目标的最值2x y 2 0，4 (2013 ·考山东卷高 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组x 2y 1 0，所表示的区域上一3x y 8 0动点，则直线OM 斜率的最小值为 ()A 2B 111C 3D 2【解析】 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点 A 重合时直线OM 的斜率最小， 由直线方程x 2y 1 0 和 3x y 80，解得 A(3 ， 1)，故 OM 斜率的最小值为 13【解析】 C0 x2，5已知实数 x，y 满

9、足y 2，则 z 2x y 1的取值范围x1x2y，【解】 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z 2x y 1 2y 1的取值范围可转化为点(x，y)与 (1， 1)所在直线的斜率加上 2的取值x 1x 1范围，由图形知，A 点坐标为 (2，1)，则点 (1， 1)与 (2， 1)所在直线的斜率为 2 2 2，点 (0,0)与 (1， 1)所在直线的斜率为 1，所以 z 的取值范围为 ( ， 12 24， )【答案】 (，1 2 24， )x y 26 (2015 郑·州质检 )设实数 x， y 满足不等式组 y x 2，则 x2y2 的取值范围是 ()y 1，A 1

10、，2B 1， 4C 2， 2D 2，4【解析】 如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 的内部 (含边界 )，x2 y2 表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故 x2y2的取值范围是 1,4 【答案】 Bx0，7 (2013 高·考北京卷 )设 D 为不等式组2xy 0，所表示的平面区域，区域D 上的点与点 (1,0)之xy 3 0间的距离的最小值为_【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线 2xy 0 的距离最小， d |2 ×1 0|25，

11、故最小距离为 2 522 155【答案】 2 55x 1，8设不等式组 x2y 3 0，所表示的平面区域是1，平面区域 2 与 1 关于直线3x4y 9 0yx对称对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B， |AB|的最小值等于 ()28A 5B 412C 5D 2x 1【解析】 不等式组x 2y3 0，所表示的平面区域如图所示，y xx 1x 1点 A(1,1)到直线 3x 4y9 0 的距离 d|3 4 9| 2，则 |AB|的最小值为 4解方程组，得y xy 15【答案】 B角度三：求线性规划中的参数x 0，4分为面积相等的两部分，9若不等式组 x 3y 4，所表示的平面区域被直

12、线y kx则 k 的值是3xy 43()73A 3B 743C3D4【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示444由于直线 y kx3过定点0，3因此只有直线过AB 中点时，直线 y kx3能平分平面区域 因为 A(1,1)，1， 5当 y kx 4过点1， 5时， 5 k4，所以 k7B(0,4) ，所以 AB 中点 D 2232 22 2 33【解析】 Ax y 20，10 (2014 高·考北京卷 )若 x， y 满足 kx y 20，且 z y x 的最小值为4，则 k 的值为 ()y 0，A 2B 211C2D 2x y 2 0，【解析】 D作出线性约束条件kx y 2 0

13、，的可行域y 0当 k 0 时，如图所示，此时可行域为y 轴上方、直线 x y 2 0 的右上方、直线kx y 2 0 的右下方的区域，显然此时z y x 无最小值当 k 1 时， zy x 取得最小值 2；当 k 1 时， z y x 取得最小值 2，均不符合题意当 1 k 0 时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)， B2， 0 ，C(0,2) 所围成的三角形区域，当k直线 z y x 经过点 B 2， 0 时，有最小值，即2 4?k 1kk2【答案】 Dx y 2 0，11(2014 高·考安徽卷 )x，y 满足约束条件x2y 2 0，若 z y ax 取得最大值的最优解不唯

14、一，2x y 2 0.则实数 a 的值为 ()A 1或 1B2或122C2或1D2或1【解析】法一 ：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)， B(2,0)， C( 2， 2)，则zA 2，zB 2a，zC 2a 2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA zB zC 或 zA zC zB 或zB zC zA，解得 a 1 或 a 2法二 ：目标函数z y ax 可化为 yax z，令 l 0：y ax，平移 l0 ，则当 l 0 AB 或 l 0 AC 时符合题意，故 a 1 或 a 2【答案】 Dx 0，y 0，12在约束条件下，当 3s 5 时，目标函数z 3x

15、2y 的最大值的取值范围是()x y s，y 2x4.A 6， 15B 7， 15C6， 8D 7，8x y s，x 4 s，A(2,0)，【解析】由得，则交点为 B(4 s,2s 4)，y 2x 4 与 x 轴的交点为y 2x 4，y 2s 4，与 y 轴的交点为 C (0,4)， x y s 与 y 轴的交点为 C(0， s)作出当 s3 和 s 5 时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图 (1)(2) 中阴影部分所示(1)(2)当 3 s 4 时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7 zmax 8；当 4 s 5 时，可行域是OAC 及其内部，此时，zmax 8综上所述，可得目标

16、函数z 3x 2y 的最大值的取值范围是7， 8【答案】 Dx 0，y 0，若 zx2y 33，则 a 的值为13(2015 通·化一模 )设 x，y 满足约束条件x的最小值为2x y 1，13a4a_【解析】 x 2y 3 12 y 1，而 y 1表示过点 (x，y)与 (1， 1)连线的斜率，易知a 0，x 1x 1x 1可作出可行域，由题意知y 1的最小值是1，即 y 1min 0 111? a 1x 14x 13a 1 3a 14【答案】 1角度四：线性规划的实际应用14A， B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A 产品需要在甲机器上加工3

17、 小时，在乙机器上加工1 小时； B 产品需要在甲机器上加工1 小时，在乙机器上加工3 小时在一个工作日内， 甲机器至多只能使用11 小时，乙机器至多只能使用9 小时 A 产品每件利润300元， B 产品每件利润400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元3x y 11，【解析】设生产A 产品x 件， B 产品y 件，则x，y 满足约束条件x 3y9，生产利润为zx N， y N，300x 400y画出可行域，如图中阴影部分(包含边界 )内的整点，显然 z 300x 400y 在点 A 处取得最大值，由方3xy 11，x 3，则 zmax 300× 3 400×

18、; 2 1 700故最大利润是 1 700 元程组解得x 3y 9，y 2，【答案】 1 70015某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7分钟，生产一个伞兵需4 分钟，已知总生产时间不超过10 小时若生产一个卫兵可获利润5 元，生产一个骑兵可获利润6 元，生产一个伞兵可获利润3 元(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元 )；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w 5x 6y 3(100 x y) 2x3y 30

19、0(2) 约束条件为5x 7y 4 100x y 600，100 x y 0，x 0，y 0， x，y N .整理得x 3y 200，x y 100，x 0， y0， x， yN .目标函数为w 2x 3y 300作出可行域如图所示：初始直线 l 0：2x 3y 0，平移初始直线经过点x 3y 200，x50，A 时，w 有最大值由得x y 100，y50.最优解为 A(50,50)，所以 w max 550 元所以每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为550 元一、选择题1已知点 ( 3， 1) 和点 (4， 6)在直线A ( 24,7)C(， 7)(24

20、 ， )3x 2y a 0 的两侧，则a 的取值范围为B ( 7,24)D (， 24) (7， )()【解析】 根据题意知 ( 9 2 a) ·(1212 a) 0即 (a 7)(a 24) 0，解得 7a 24【答案】 Bx0，2 (2015 临·沂检测 )若 x，y 满足约束条件x2y 3，则 z xy 的最小值是 ()2x y 3，A3B 03C2D 3x 0，【解析】 作出不等式组x 2y 3，表示的可行域(如图所示的 ABC 的边界及内部)2x y 3平移直线 zx y，易知当直线z xy 经过点 C(0,3)时，目标函数zxy 取得最小值，即zmin 3【答案

21、】 Ax|y| 1， 3(2015 泉·州质检 )已知 O 为坐标原点， A(1,2) ，点 P 的坐标 (x，y)满足约束条件则 zOA·OPx0，的最大值为 ()A2B 1C1D 2【解析】 如图作可行域， B(0,1)处 zmax 2z OA·OP x2y，显然在【答案】 Dx 2y 10，4已知实数 x，y 满足：x<2，则 z 2x 2y1 的取值范围是 ()xy 1 0，5， 5B 0， 5A 355C 3，5D 3， 5【解析】 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x 2y1 0，平移 l 可知 2× 1325 2

22、× 3 1z<2× 2 2× ( 1) 1，即 z的取值范围是 3，5 【答案】 D5如果点 (1， b)在两条平行直线6x 8y1 0 和 3x 4y 50 之间，则b 应取的整数值为()A 2B 1C3D 0【解析】 由题意知 (6 8b 1)(3 4b 5) 0，即 b7(b 2) 0，7 b 2， b 应取的整数为 188【答案】 B6(2014 ·郑州模拟 )已知正三角形ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3) ，顶点 C 在第一象限， 若点 (x，y)在 ABC内部，则 z x y 的取值范围是 ()A (1 3， 2)B (0， 2

23、)C( 3 1，2)D (0， 1 3)【解析】 如图，根据题意得C(13， 2)作直线 x y 0，并向左上或右下平移，过点 B(1,3)和 C(1 3， 2)时， z xy 取范围的边界值，即 (1 3) 2<z< 13， z x y 的取值范围是 (1 3， 2)【答案】 Ay 1，7(2014 成·都二诊 )在平面直角坐标系xOy 中， P 为不等式组x y2 0，所表示的平面区域上一x y1 0，动点，则直线OP 斜率的最大值为 ()1A 2B 31C2D 1x y2，的交点 (1,1)时， (kOP)max 1【解析】 作出可行域如图所示，当点P 位于y 1，

24、【答案】 D8在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A( x， y)|x y 1，且( x y， x y)|(x， y) A 的面积为 ()A2B1x 0， y 0 ，则平面区域B11C2D4【解析】 不等式x y 1，所表示的可行域如图所示，x 0， y 0，设 ax y，b x y，则此两目标函数的范围分别为a x y 0,1 ，b x y 1,1 ，又 a b 2x0 a 1， 0,2 ，a b 2y 0,2 ，点坐标 (x y，x y)，即点 (a，b)满足约束条件 1 b1，作出该不等0 a b2，0 a b2，式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面

25、积S 1× 2× 112【答案】 B3xy 2 0，9设 x，y 满足约束条件x y0，若目标函数 z ax by(a 0， b 0)的最大值为 4，则 abx 0， y 0，的取值范围是 ()A (0， 4)B (0， 4C4， )D (4， )【解析】 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ax by(a>0， b>0) 过点 A(1,1)时取最大值， a b4， aba b 2 4， a 0，b 0， ab (0， 42【答案】 Bx 0，10设动点 P(x，y)在区域 ： y x，上，过点 P 任作直线 l，设直线 l 与区域 的公共部分

26、为线x y 4段 AB ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为()A B 2C3D 4【解析】 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ×42 42【答案】 Dy 1，11 (2015 东·北三校联考 )变量 x， y 满足约束条件x y 2，若使 z ax y 取得最大值的最优解3x y 14，有无穷多个，则实数a 的取值集合是()A 3,0B 3, 1C0,1D 3,0,1【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线 z ax y 与 x y 2 或 3x y 14 平行时取得最大值的最优解有无穷多

27、个，即a 1 或 a 3， a 1 或 a 3【答案】 Bx y a，7，则 a ()12(2014 新·课标全国 卷 )设 x，y 满足约束条件且 z x ay 的最小值为x y 1，A5B 3C5 或 3D5或3a 1x y a，x2 ，【解析】法一 ：联立方程解得代入 x ay 7 中，解得 a 3 或 5，当 axy 1，a1，y 2 5 时， z x ay 的最大值是 7；当 a 3 时， z x ay 的最小值是 7法二 ：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当 a 5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分 )图 (1)图 (2)xy 1，由得交点A( 3

28、， 2)，则目标函数z x 5y 过 A 点时取得最大值zmax 3 5× (xy 52) 7，不满足题意，排除 A ，C 选项当 a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)( 阴影部分 )xy 1，由得交点 B(1,2)，则目标函数 z x 3y 过 B 点时取得最小值 zmin 1 3× 2 7，满足xy 3题意【答案】 Bx 0，13若 a 0，b 0，且当y 0，时，恒有 axby 1，则由点 P(a， b)所确定的平面区域的面积x y1是 ()1A 2B 4C1D 2【解析】因为 ax by 1 恒成立，则当 x 0 时，by 1 恒成立，可得 y1(b 0)恒

29、成立，所以 0b 1；b同理 0 a 1所以由点 P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为1 的正方形，面积为 1【答案】 C2x y 1>0 ，14 (2013 高·考北京卷 )设关于 x， y 的不等式组x m<0 ，表示的平面区域内存在点P(x0， y0)，y m>0满足 x0 2y0 2求得 m 的取值范围是 ()A ， 4B， 133C ， 2D， 533【解析】当 m 0 时，若平面区域存在， 则平面区域内的点在第二象限， 平面区域内不可能存在点P( x0，y0 )满足 x0 2y02，因此 m 0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包

30、含y 1x1 上的点，只需可行域边界点(m， m)在直线 y1x 1 的下方即可，即 m221m 1，解得 m223【答案】 Cx y 11 0，x15设不等式组3xy 3 0，表示的平面区域为D 若指数函数y a 的图象上存在区域D 上的点，则 a 的取值范围是()A (1， 3B 2， 3C(1， 2D 3， )【解析】 平面区域 D 如图所示要使指数函数 y ax 的图象上存在区域D 上的点，所以 1 a 3【解析】 Ax y 7 0，16(2014 高·考福建卷 )已知圆 C：(x a)2 (y b)2 1，平面区域 ： xy 3 0，若圆心 C，y0.且圆 C 与 x 轴相

31、切，则 a2 b2 的最大值为 ()A 5B 29C37D 49【解析】 由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界 圆 C 与 x 轴相切， b 1显然当圆心 C 位于直线 y1 与 x y 7 0 的交点 (6,1)处时， amax 6 a2 b2 的最大值为62 12 37【解析】 Cy 0，17在平面直角坐标系中，若不等式组y x，表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围y k x 1 1是 ()A (， 1)B (1， )C(1， 1)D (， 1) (1， )【解析】 已知直线 y k(x 1) 1 过定点 (1， 1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示当直线 y k(x 1

32、) 1 位于 y x 和 x 1 两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域所以直线 y k( x 1)1 的斜率的范围为 ( ， 1)，即实数 k 的取值范围是 ( ， 1) 当直线 y k(x1) 1 与 y x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得 k 1 时，也可形成三角形，综上可知 k 1 或 k 1【答案】 Dx 2y 1 0，则 z 2x y 的最大值为 ()18 (2016 武·邑中学期中 )已知实数 x， y 满足|x| y 10，A 4B 6C8D 10【解析】 区域如图所示，目标函数z 2x y 在点 A(3,2) 处取得最大值，最大值为 8【答案】 Cy x

33、19(2016 衡·水中学期末 )当变量 x，y 满足约束条件x3y 4时， z x 3y 的 最大值为8，则实数xmm 的值是 ()A4B 3C 2D 1【解析】 画出可行域如图所示，目标函数zx 3y 变形为 y x z，当直线过点 C 时， z 取到最大值， 3 3又 C(m， m)，所以 8 m 3m，解得 m 4【答案】 Ax 3y 10，20 (2016 ·州质检湖 )已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等式组x y 3 0，则 tanx 1 0， AOB 的最大值等于 ()9B 4A 4731C4D 2【解析】 如图阴影部分为不等式组表示的平面区域

34、，观察图形可知当A 为 (1,2) ， B 为 (2,1)时， tan AOB 取得最大值，此时由于tan k 1，tan kBO2AO1 2，故 tan AOB tan ( ) tan tan 2 231 tan tan 1412×2【解析】 C二、填空题x y 20，21 (2014 高·考安徽卷 )不等式组x 2y 40，表示的平面区域的面积为_x 3y 20【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC 1×2× (2 2) 42【答案】 4x2y 4 0，22 (2014 高·考浙江卷 )若实数 x， y 满足 xy1 0，则 x y 的取值范围是 _x1，【解析】 作出可行域，如图，作直线x y 0，向右上平移，过点 B 时， x y 取得最小值，过点A 时取得最大值由 B(1,0)，A(2,1)得 (x y)min 1， (x y)max 3所以 1 x y 3【答案】 1