第二章测评-北师大版高中数学选修2-3练习

1、高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！第二章测评( 时间:120 分钟满分:150 分) 一、选择题 (本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分) 1. 若随机变量 的分布列如下表所示 , 则 p1=( ) -1 2 4 p 1523p1a.0 b.215c.115d.1 解析: 由分布列性质?=1?pi=1,n=1,2,3,n, 得15+23+p1=1.所以 p1=215. 答案: b 2. 已知事件 a,b 发生的概率都大于零 , 则( ) a.如果 a,b 是互斥事件 , 那么 a与? 也是互斥事件b.如果 a,b 不是相互独立事件 , 那么它们一定是互斥事件c.如果 a,b

2、是相互独立事件 , 那么它们一定不是互斥事件d.如果 ab是必然事件 , 那么它们一定是对立事件解析: 对 a,若 a,b 互斥, 则 a与? 不互斥; 对 b,若 a,b 不相互独立 , 则它们可能互斥 , 也可能不互斥 ; 对 c,是正确的 . 对 d,当 ab是必然事件 ,ab是不可能事件时 ,a,b 才是对立事件 . 答案: c 3.(2016 山东青岛教学质量调研 ) 某校高考的数学成绩近似服从正态分布n(100,100), 则该校成绩位于 (80,120) 内的人数占考生总人数的百分比约为( ) a.22.8% b.45.6% c.95.4% d.97.22% 解析: 设该校高考数

3、学成绩为x,由 xn(100,100)知, 正态分布的两个参数为=100,=10, 所以 p(80x120)=p(100-20x100+20)=p(-2x +2)=0.954. 答案: c 4. 若 yb(n,p), 且 ey=3.6,dy=2.16, 则此二项分布是 ( ) a.b(4,0.9) b.b(9,0.4) c.b(18,0.2) d.b(36,0.1) 解析: 由题意得 np=3.6,np(1-p)=2.16, 所以 n=9,p=0.4. 答案: b 5. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60 分. 甲、乙、丙三名考生独立参加测试 , 他们能达到合格的概率分别是0.9,

4、0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为( ) 高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！a.0.015 b.0.005 c.0.985 d.0.995 解析: 三人都不合格的概率为 (1-0.9) (1-0.8) (1-0.75)=0.005. 所以至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995. 答案: d 6. 设由“ 0”“1”组成的三位数组中 , 若用 a表示“第二位数字为 0的事件” , 用 b表示“第一位数字为 0的事件” , 则 p(a|b)=( ) a.25b.34c.12d.18解析: p(b)=1 222 22=12,p(a b)=1 122 22=14, p(a|b)

5、=? ( ? )? ( ? )=12. 答案: c 7. 在 4 次独立重复试验中 , 随机事件 a恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生2 次的概率, 则事件 a在 1 次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( ) a.0.4,1) b.(0,0.4 c.(0,0.6 d.0.6,1) 解析: 由题意知 c41p(1-p)3c42p2(1-p)2, 化简得 2(1- p)3p,解得 p0.4, 又因为 0p1,所以 0. 4p1. 故选 a. 答案: a 8. 由正方体 abcd-a1b1c1d1的 8 个顶点中的任意3 个顶点构成的所有三角形中, 任取其中的两个 , 这两个三角形不共面的概率

6、为( ) a.367385b.376385c.192385d.18385解析: 从 8 个顶点中任选 3 个顶点组成三角形的个数为c83=56,从 56 个三角形中任选 2个有c562种选法 . 正方体中四点共面的情况共有12种, 每共面的四个顶点可组成c43=4 个三角形 , 在 4 个三角形中任取 2 个的取法有 c42=6 种, 所以 8个顶点中的任意3 个顶点构成的所有三角形中 , 任取其中的两个 , 这两个三角形共面的概率为126c562=18385, 所以所求概率为 1-18385=367385. 答案: a 9. 设集合 a=1,2,b=1,2,3,分别从集合 a和集合 b中随机

7、取一个数 a 和 b, 确定平面上的一个点 p(a,b), 记“点 p(a,b) 落在直线 x+y=n 上”为事件 cn(2n5,n n+), 当事件 cn发生的概率最大时 ,n 的所有可能取值为 ( ) a.3 b.4 c.2 和 5 d.3 和 4 解析: 由题意知点 p 的坐标可能为 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),故事件 c2发生的概率为16, 事件 c3发生的概率为13, 事件 c4发生的概率为13, 事件 c5发生的概率为16,故选 d. 答案: d 高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！10. 利用下列盈利表中的数据进行决策, 应选择的方案是(

8、 ) 自然状况方案盈利概率a1a2a3a4s10.25 50 70 -20 98 s20.30 65 26 52 82 s30.45 26 16 78 -10 a.a1b.a2c.a3d.a4解析: 分别求出方案 a1,a2,a3,a4盈利的均值 , 得 ea1=43.7,ea2=32.5,ea3=45.7,ea4=44.6,故选 c. 答案: c 11.(2016 四川绵阳市高二月考 )设 10 x1x2x3d 2b.d1=d 2c.d1d 2. 答案: a 12.(2016 甘肃天水一中高二段考 ) 一袋中有大小、形状、质地相同的4 个红球和 2 个白球, 给出下列结论 : 从中任取 3

9、球, 恰有一个白球的概率是35; 从中有放回的取球6 次, 每次任取一球 , 则取到红球次数的方差为43; 现从中不放回的取球2 次, 每次任取 1 球, 则在第一次取到红球后 , 第二次再次取到红球的概率为25; 从中有放回的取球3 次, 每次任取一球 , 则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确的结论是 ( ) a.b.c.d.解析: 恰有一个白球的概率p=c21c42c63=35, 故正确 ; 每次任取一球 , 取到红球次数 xb (6 ,23), 其方差为 623(1 -23) =43, 故正确 ; 设 a=第一次取到红球 ,b= 第二次取到红球 , 则 p(a)=23,p

10、(ab)=4365=25, 高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！所以 p(b|a)=? ( ? )? ( ? )=35, 故错 ; 每次取到红球的概率p=23, 所以至少有一次取到红球的概率为1-(1 -23)3=2627, 故正确 . 答案: a 二、填空题 ( 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分) 13.(2016 湖北省孝感高中高二上学期期中考试) 已知离散型随机变量x的分布列为 : x 0 1 2 p 0.5 1-2q q2则常数 q=.解析: 由离散型随机变量的分布列意义得0. 5 + 1- 2? + ?2= 1,0 1- 2? 1,0 ?2p2p3, 所以方案对乙最

11、有利 . 答案: 三、解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 70 分) 17.( 本小题满分 10 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片, 其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是2,2 张卡片上的数字是3. 从盒中任取 3 张卡片 . (1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)x 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数 , 求 x的分布列与均值 . ( 注: 若三个数 a,b,c 满足 abc, 则称 b 为这三个数的中位数 .) 解(1) 由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p=c43+c33c93=584. (2)x 的所有可能值为 1,2,3, 且p(

12、x=1)=c42c51+c43c93=1742, p(x=2)=c31c41c21+c32c61+c33c93=4384, p(x=3)=c22c71c93=112, 故 x的分布列为x 1 2 3 p而 ex=1 1742+24384+3112=4728. 18.( 本小题满分 12 分)某高校设计了某实验学科的考核方案: 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定: 至少正确完成其中2 题才可提交通过 . 已知 6 道备选题中 , 考生甲有 4 道题能正确完成 ,2 道题不能正确完成 ; 考生乙每题正确完成的概率都是2

13、3, 且每题正确完成与否互不影响. (1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列, 并计算数学期望 ; (2) 试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2 道题的概率分析比较两位考生的实验操作能力 . 解(1) 设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为, , 则 的所有可能取值为1,2,3, 的所有可能取值为0,1,2,3. p(=1)=c41c22c63=15,p( =2)=c42c21c63=35, p(=3)=c43c20c63=15, 高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！考生甲正确完成题数的概率分布列为1 2 3 p 153515e=115+235+315=2. p(=0

14、)=c30(1 -23)3=127, p(=1)=c3123(1 -23)2=627=29, p(=2)=c32(23)2(1 -23) =1227=49, p(=3)=c33(23)3=827, 考生乙正确完成题数的分布列为0 1 2 3 p 1272949827e=0127+129+249+3827=2. (2) p(2)=35+15=0.8, p(2)=49+8270.74, p(2)p(2) . 从做对题数的数学期望考核, 两人水平相当 ; 从至少正确完成 2 道题的概率考核 , 甲获得通过的可能性大 . 因此可以判断甲的实验操作能力较强. 19.( 本小题满分 12 分)某班从 6

15、名班干部 ( 其中男生 4 人, 女生 2 人) 中, 任选 3 人参加学校的义务劳动 . (1) 设所选 3 人中女生人数为 x,求 x的分布列 ; (2) 求男生甲或女生乙被选中的概率; (3) 设“男生甲被选中”为事件a,“女生乙被选中”为事件b,求 p(b)和 p(a|b). 解(1)x 的所有可能取值为0,1,2, 依题意得p(x=0)=c43c63=15,p(x=1)=c42c21c63=35, p(x=2)=c41c22c63=15. x的分布列为x 0 1 2 p 153515(2) 设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件c, 则 p(c)=c43c63=420=15, 高中数学

16、阶段过关检测坚持就是胜利！所求概率为 p(? )=1-p(c)=1-15=45. (3) 由题意得 p(b)=c52c63=1020=12, 又p(ab)=c41c63=15, p(a|b)=? (? )? (? )=25. 20. 导学号 43944048(本小题满分 12 分) 某球类总决赛采取7 局 4 胜制, 预计本次比赛两队的实力相当 (各队在一场比赛中获胜的可能性均为12) , 每场比赛组织者可获利200万元. (1) 求组织者在本次比赛中获利不低于1 200 万元的概率 ; (2) 组织者在本次比赛中获利的期望为多少万元? 解设本次比赛组织者获利为x万元, 当 x=800时, 这

17、两队只进行四场比赛 , 两队有一队全胜 ,p(x=800)=2 (12)4=0.125; 当 x=1 000 时, 这两队进行五场比赛 , 两队中有一队前四场比赛是胜三场, 败一场 ,第五场胜 , p(x=1 000)=2 c41(12)412=0.25; 当 x=1 200 时, 这两队进行六场比赛 , p(x=1 200)=2 c52(12)512=0.312 5; 当 x=1 400 时, 这两队比赛满七场 , p(x=1 400)=2 c63(12)612=0.312 5. 所以 x的分布列为x 800 1 000 1 200 1 400 p 0.125 0.25 0.312 5 0.

18、312 5 (1) 组织者在本次比赛中获利不低于1 200 万元的概率是 0.312 5 2=0.625. (2)ex=8000.125+1 000 0.25+1 200 0.312 5+1 400 0.312 5=1 162.5. 故组织者在本次比赛中获利的期望为1 162.5 万元. 21. 导学号 43944049(本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图, 如图所示 . 将日销售量落入各组的频率视为概率, 并假设每天的销售量相互独立. (1) 求在未来连续 3 天里, 有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量

19、低于 50 个的概率 ; (2) 用 x表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数 , 求随机变量 x的分布列 , 均值ex及方差 dx. 高中数学阶段过关检测坚持就是胜利！解(1) 设 a1表示事件“日销售量不低于100 个”,a2表示事件“日销售量低于50 个”,b表示事件“在未来连续3 天里, 有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”, 因此 p(a1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, p(a2)=0.003 50=0.15, p(b)=0.6 0.6 0.152=0.108. (2)x 可能取的值为 0,1,2,3,

20、相应的概率为p(x=0)=c30(1-0.6)3=0.064, p(x=1)=c310.6 (1-0.6)2=0.288, p(x=2)=c320.62(1-0.6)=0.432, p(x=3)=c330.63=0.216. 分布列为x 0 1 2 3 p 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 xb(3,0.6),所以 ex=3 0.6=1.8, 方差 dx=3 0.6 (1-0.6)=0.72. 22. 导学号 43944050(本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产a,b 两种奶制品, 生产 1 吨 a产品需鲜牛奶 2 吨, 使用设备 1 小时, 获利 1 0

21、00 元; 生产 1 吨 b产品需鲜牛奶 1.5 吨, 使用设备 1.5 小时, 获利 1 200 元, 要求每天 b产品的产量不超过a产品产量的 2 倍, 设备每天生产 a,b 两种产品时间之和不超过12 小时, 假定每天可获取的鲜牛奶数量 w( 单位: 吨)是一个随机变量 , 其分布列为w 12 15 18 p 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大 , 因此每天的最大获利z(单位: 元)是一个随机变量 . (1) 求 z 的分布列和均值 ; (2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过10 000元的概率 . 解(1) 设每天 a,b 两种产品的生产数量分别为x,y, 相应的获利为 z, 则有2? + 1. 5? ?,? + 1. 5?12,2? -? 0,? 0, ? 0.目标函数为 z=1 000 x+1 200y. 当 w=12时, 表示的平面区域如图1, 三个顶点分别为a(0,0),b(2.4,4.8),c(6,