竞赛专题培训中位线及其应用

1、初中数学竞赛专题培训中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线形， A， B， C，D分别是 AP，PB，BQ，QA的中点求证：段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明AC =B D中有着广泛的应用分析由于 A， B， C， D分别是四边形APBQ的四条边 AP，例 1 如图 2-53 所示 ABC中， ADBC于 D，E， F，PB，BQ，QA的中点， 有经验的同学知道A B CD是平行四边形，A C与 BD则是它的对角线，从而四边形ABCD应该是矩形利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点ABC的面积分析由条件知， EF， EG分别是三角形ABD和

2、三角形 ABC的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出ABC的高 AD及底边 BC的长例 4 如图 2-58 所示在四边形ABCD中，CD AB，E，F 分别是 AC，BD的中点求证：例 2 如图 2 -54 所示 ABC中，B， C 的平分线 BE，CF相交于 O， AG BE于 G， AH CF于 H(1) 求证： GHBC；(2) 若 AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求 GH分析若延长 AG，设延长线交BC于M由角平分线的对称性可以证明 ABG MBG，从而 G是 AM的中点；同样，延长 AH交 BC于 N，H 是 AN的中点，从而 GH就是 AMN的中位

3、线，所以 GHBC，进而，利用 ABC的三边长可求出GH的长度分析 :在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点例 5 如图 2-59 所示梯形ABCD中， AB CD， E为 BC的中点， AD=DC+AB求证： DEAE例 3 如图 2-57 所示 P分析本题等价于证明AED是直角三角形，是矩形 ABCD内的一点，四边形 BCPQ是平行四边其中 AED=90°在 E 点( 即直角三角形的直角顶点) 是梯形一3已知在 ABC中， ABAC，ADBC于D，E，F，G 分别是AB，腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，BC，AC

4、的中点求证：BFE=EGD该中位线是直角三角形AED的斜边 ( 即梯形另一腰 ) 的一半，则问题获解4在 ABC中，AHBC于 H，D，E，F 分别是 BC，CA，AB的中点 ( 如图 2-62 所示 ) 求证： DEF= HFE例 6 如图 2-60 所示 ABC外一条直线 l ，D， E，F 分别是三边的中点， AA1 ，FF1 ，DD1， EE1 都垂直 l 于 A1， F1 ，D1 ，E1求证：AA1+EE1=FF1 +DD1分析 显然 ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线， OO1 恰是两个梯形的公6共中位线利用中位线定理可证5. 如图 2-63 所示 D，E 分别在

5、 AB，AC上， BD=CE，BE，CD的中点分别是 M， N，直线 MN分别交 AB，AC于 P，Q求证： AP=AQ练习部分1 已知 ABC中，D为 AB的中点， E 为 AC上一点， AE=2CE，CD，BE 交于 O点， OE=2厘米求BO的长6. 已知在四边形ABCD中，ADBC， E ，F 分别是 AB， CD 的2已知 ABC中， BD，CE分别是 ABC， ACB的平分线， AHBD于 H， AF CE于 F若 AB=14 厘米， AC=8厘米， BC=18厘米，求 FH 的长作业部分：姓名：1如图，已知四边形ABCD为平行四边形， AEBD 于 E，CFBD于 F（ 1）求证

6、： BE=DF；（ 2）若 M、N 分别为边 AD、BC上的点，且 DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）5如图，已知D 是ABC的边 AB 上一点， CEAB，DE交 AC于点 O，且 OA=OC，猜想线段CD与线段 AE的大小关系和位置关系，并加以证明2如图所示， ?AECF的对角线相交于点O，DB经过点 O，分别与AE， CF交于 B，D求证：四边形ABCD是平行四边形6如图，已知， ?ABCD中， AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点求证：四边形MFNE是平行四边形3如图，在四边形ABCD中， AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为E， F（ 1）求证： ABECDF；（ 2）若 AC与 BD交于点 O，求证： AO=CO7如图平行四边形ABCD中， ABC=60°，点BC的延长线上， AEBD，EFBF，垂足为点（ 1）求