数列求通项公式与前n项和的方法

1、数列求通项公式与前n项和的方法数列求通项公式的方法一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o例1、在数列中，,，求通项公式.二、作商求和法例2、设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=。三、换元法例3、已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。例4、已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。四、积差相消法例5、设正数列，满足= 且，求的通项公式.五、取倒数法例6、已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。六、取对数法例7、若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=。七、平方（开方）法例8、若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.八、待定系数法待定系数

2、法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9、若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10、在数列中，求通项公式。3、型，可化为的形式。例11、在数列中，当，求通项公式.4、型，可化为的形式。例12、在数列中，=6，求通项公式.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13、在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，

3、求其通项公式。 求递推数列通项的特征根法与不动点法十、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例14、已知数列满足，求数列的通项例15、已知数列满足，求数列的通项十一、形如的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法例16、已知数

4、列满足，求数列的通项例17、已知数列满足，求数列的通项数列练习题求数列的通项公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1在等差数列中，已知则等于（ ）A40 B42 C43 D45 2数列的前项和为，若，则等于（ ）A1BCD3设是等差数列的前项和，若，则( )A8 B7 C6 D 54已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A5 B4 C3 D 25一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D636等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10

5、 C8 D2+7已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）A3 B2 C1 D8已知等比数列的前项和，则等于（ ） A B C D 9设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A1 B1 C2 D10在等比数列中，公比q是整数，则此数列的前8项和为（ ）A514 B513 C512 D510二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分11 12设，则= 13若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项 14在等差数列中，该数列前_项的和最小.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程15（本小题满分12分）设是一个公差为的等差数列，它的前1

6、0项和，且成等比数列（）证明：； （）求公差的值和数列的通项公式16（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（）求的值及数列的通项公式； （） 求的和17（本小题满分14分）已知数列满足（）求；（）证明18求下列数列的通项公式（本小题满分14分）（1）； （2）；（3）是的前n项和，。19（本小题满分14分）已知二次函数，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数m20（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）（附加题）证明：数列求和的常用方法1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：

7、运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.例1 、已知，求的前n项和.练一练：等比数列的前项和S2，则_ ；2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例2、 求数列的前n项和：，练一练：求和：3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.例3、求的值练一练：已知，则_；4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也

8、是等比数列前和公式的推导方法）.例4、求和：例5、求数列前n项的和.练一练：设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.；5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：；，； ；.例6、 求数列的前n项和.例7、 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.练一练：（1）求和： ；（2）在数列中，且S，则n ；6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8 、求之和.练一练：求数列1×4，2×5，3×6，前项和= ；求和： ；数列练习题求数列前n项的

9、和一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1数列an的通项公式为an(1)n1·(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200B200 C400 D4002数列1，的前n项和为()A. B. C. D.3设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于()A.(8n1) B.(8n11) C.(8n31) D.(8n41)4若数列an的前n项和为Sn，且满足Snan3，则数列an的前n项和Sn等于()A3n13 B3n3 C3n13 D3n35数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n

10、2n1 Cn21 Dn2n16数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D9二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7已知函数f(x)对任意xR，都有f(x)1f(1x)，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)_.8.2等于_9数列，的前n项和等于_10函数f(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a1000_.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.12等差数列an是递增数列，前n项和为