2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(解析版)

1、2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共io小题）.1. （4 分）已知集合从=如 -120, B=<0, 1, 2,则 AD5=（）A. 0B. 1C. 2D. 1, 22. （4分）已知为是公差为，/的等差数列，S,为其前项和.若S3=3r+3,则4=（）A 一2B. - 1C. 1D. 23. （4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0, 1）上单调递增的是（）A. y=2'xB. y=lnxC. y=D. y=sinv4. （4分）将正方体去掉一个四枝锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图5. （4分）与圆/+（）一1）2=5相切

2、于点（2, 2）的直线的斜率为（）A. 一2B.C. iD. 2716. （4分）函数/（幻=2sin （o）.v+<p） （u）>0, l（pl<）的部分图象如图所示，则/同）7 . （4分）设:，E是两个不共线向量，则与吊的夹角为锐角”是（a-b） ”的A.充分而不必要条件8 .必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （4分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪.现有十二生百的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马, 乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）9.A. 242 种B. 220

3、C. 200 种D. 110 种（4分）已知抛物线y2=2px （p>0）的焦点厂到准线的距离为2,过焦点厂的直线与抛物线交于A, B两点、,且L4FI = 3I”I,则点A到y轴的距离为（A. 5B. 4C. 3D. 210. （4分）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：10人（含）以上团体购票9折优惠：50人（含）以上团体购票8折优惠：100人（含）以上团体购票7折优惠：购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）A. 1090 元B. 1171 元C. 1200 元D. 1210 元二、填空题（共5小题）11.复数

4、怨1112 .函数/G） =J7zl+/，.的定义域是,cos20 =iq兀13 .已知 sin9=一豆，0G (n, ±y-),贝U cos0 =，2214 .已知双曲线M: j-七=1 (a>0, Z?>0) , ZkABC为等边三角形.若点A在丁轴上, £14点、B,。在双曲线M上，且双曲线加的实轴为ABC的中位线，则双曲线M的离心率 为.15 .已知函数/ G)=消血+3kg),尤0, 2n,其中用表示不超过x的最大整数.例如： =1, 0.5=0, - 0.5= - 1.怨)=:若/G) >x+a对任意尤0, 2ir都成立，则实数”的取值范围是.

5、三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16 . (13分)如图，在四棱锥P-A8C。中，PD上平面ABCD, PD=4,底面ABCD是边 长为2的正方形，E, F分别为PB, PC的中点.(I )求证：平面AOE1.平面PCO：(II)求直线BE与平面AOE所成角的正弦值.17 . (13分)已知函数g (x) =sin (x-) , h (x) =cosx,再从条件、条件这两 个条件中选择一个作为已知，求：(I ) /(A)的最小正周期；(II ) /(A)在区间0,5上的最大值.条件：/ (x) =g (a) h (a);条件：f (x) =g (x) +h

6、 (x).18 . (14分)为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组为100, 150) , 150, 200) , 200, 250) , 250, 300) , 300, 350) , 350, 400(单 位：克)，其频率分布直方图如图所示：(I )用分层抽样的方法从样本里质量在250, 300) , 300, 350)的水果中抽取6个， 求质量在250, 300)的水果数量：(II )从(I )中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在300, 350)的水果数 量，求X的分布列和数学期望；(III)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如

7、表所示，19.(15分)已知椭圆C:过点 A (-2, 0) , B (2, 0),且离质量，(单/h<200200W，V，心 300位：克)300等级规格 二等一等特等价格(元/4710个)心率为(I )求椭圆。的方程:(II)设直线/与椭圆C有且仅有一个公共点E,且与X轴交于点G (E, G不重合)，ETLr轴，垂足为7.求证:|TA| _|GA|TB| |GB| . , 220. (15 分)已知函数/(x) =1-qawR.e(I )若曲线y=/Cr)在点(1, /(I)处的切线平行于直线y=x,求该切线方程;(II)若 ”=1,求证：当 x>0 时，/Cv)>0;(

8、Ill)若/(X)恰有两个零点，求a的值.21. (15分)给定正整数叫f 50),若数列A： a1，S,，如，满足：，氏(0,1, 4】+2+«=?，则称数列A具有性质E (1, m).对于两个数列 & bl, bl,，bn9 ；C： Cl, C2, , Cn,，定义数列 8+C： b+c9 bi+C29 ,瓦+Cn,.(I )设数列A具有性质E (4, 2),数列B的通项公式为bn=n (WN*)，求数列A+8 的前四项和：(II)设数列Ar (ON*)具有性质E (4, m),数列B满足仇=1, b2=2,d=3, b4 =4且勿=阳4 OwN*).若存在一组数列A,

9、A2,，A"使得A】+A2+4+3为常 数列，求出m所有可能的值；(III)设数列4 (泪N*)具有性质E (t, t- 1)(常数f22),数列B满足耕=1, b2 =2, , 且 bj=bj* (JwN*).若存在一组数列 A, A2,，4,使得4+42+4+8 为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。1. （4 分）已知集合 A = xk-120）, 8=0, 1, 2,则 AC8=（）A. 0B. 1C. 2）D. 1, 2解：A=xlx21, B=0, 1, 2）, :.

10、AQB=9 2.故选：2. （4分）已知小是公差为4的等差数列，S”为其前项和.若S3=34+3,则d=（）A-2B. - 1C. 1D. 2解:V S3 = 3t/i+3, ' 3ai+3d=3ai+3,则 cl= 1.故选：C.3. （4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0, 1）上单调递增的是（）A. y=2 rB. y=InxC. v=D. v=sinvx解：对于A,），=2一、为非奇非偶函数，不符合题意；对于8, .v=/，为非奇非偶函数，不符合题意：对于C,，=1为奇函数，但在区间（0, 1）上单调递减，不符合题意： x对于£）, y=sinA,为奇的数，由正

11、弦函数的图象可知，y=siiu,在区间（0, 1）上单调递增, 符合题意.故选：4. （4分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图 为（）解：将几何体补充为正方体，如图1所示:则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图2所示:A. -2解：根据题意,P, -2-1故选：B.5. （4分）与圆/+ （y-1） 2=5相切于点（2, 2）的直线的斜率为（）1 1B. -C.D. 2圆片+ （- 1） 2=5,其圆心为（0, 1）,设圆心为C,切点（2, 2）为2-0 2'则切线的斜率左=-2,故选：A.兀6. （4分）函数f （分=2sin（3

12、x+（p） （o）>0, l（pl<-）的部分图象如图所示，则f Gr） 乙B.*C亨解：由图可知,又2XT 5兀 ,兀、 兀 ，2='= 则 TF ,3 = 2兀兀= .<p=-则 f (x) =2sin (2x-?),7T兀-V (n) =2sin (2n-) =2sin (-)=一«故选：A.7. （4分）设之，式是两个不共线向量，则“W与E的夹角为锐角”是G -b） ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:若a，（旷b），则 <a- b) =a2-|7 | |b|cos<a, b>=|

13、a | (| a |-|b|cos< a， b)=。14是两个不共线向量，二即|W|声0,，I a | = | b|cos< a, b>,，cos<7, E>>。，<£,与E的夹角为锐角,而彳与E的夹角为锐角，不妨设£二（1, 0）, b=（2, 2）,此时b） =-1手0,故W与（之一4）不垂直，“W与己的夹角为锐角”是“W，（a -b） ”的必要不充分条件.故选：B.8. （4分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，

14、 乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）A. 242 种B. 220 种C. 200 种D. 110 种解：根据题意，分3步进行分析：对于甲，不选马和羊，有10种选法，对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法，则有10X2X10=200种不同的选法，故选：C.9. （4分）已知抛物线丁=2外（）的焦点厂到准线的距离为2,过焦点厂的直线与抛 物线交于A, B两点,且L4FI = 3IF8,则点A到y轴的距离为（）A. 5B. 4C. 3D. 2解：焦点F到准线的距离为=2,过点A作A。垂直于准线/于点。，过点8作BE垂直于/于点E,延长A8交

15、/于点C,则BCEs/vic。，“ BC BE BF 1所以=AC AD AF 3'记 BC=x,则 AC=3a因为 L4n=3IFBI,1 1Q所以即言此4工，”=3即唠工， jZ乙乙因为CF=BC+BF=x, F为AC的中点，所以 AO=2FG=4,即点A至I y轴的距离为4*=3.故选：C.10. （4分）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：10人（含）以上团体购票9折优惠：50人（含）以上团体购票8折优惠：100人（含）以上团体购票7折优惠：购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）A. 1090 元B. 1

16、171 元C. 1200 元D. 1210 元解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政级中的和，若只按优惠政褰购买，则门票费用为47X30X90%= 1269元；若将47分为17+17+13,则可享受两次优惠政策，一次优惠政褰，门票费用为（17X30- 100） X2+13X30X90%=1171 元，因为1269>1171,所以门票费用最少为1171元.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数史也14-3/ .解:复数空三=二- 3/1 -1*1故答案为：4-3L12.函数/ （x） =11+历x的定义域是1,十8）解：由题意得：jxT）Q,>0,解得

17、门“故函数的定义域是1, +°°）,故答案为：1, +8).1q兀13.已知 sin6=一石，0e (n,则 cosB =13兀事一 -=4-可得 cose=_ Jisi 产以=小(-产-¥解：因为 sine=-w，0e (n, f), O乙可得 cos2e=2cos20-1=2X (-2返)2-i=1 39故答案为：-享，卷. 4 y.2 214 .已知双曲线M：3-七=1 (a>0, >0) , ZkABC为等边三角形.若点A在)，轴上, az bz点、B,。在双曲线用上，且双曲线M的实轴为A8C的中位线，则双曲线M的离心率 为_亚_.解：双曲线M

18、的实轴为A8C的中位线，二等边aABC的边长为44假设点B在第一象限，则点8的坐标为(2，J9。，4a23 2将其代入双曲线M的方程有，-"-=1,故答案为：V2.15 .已知函数/G) =2忻叫3“叫.w0, 2n,其中灯表示不超过x的最大整数.例如： =1, 0.5=0, - 0.5= - 1.®f 吗-)=_4：Q若“X)>x+a对任意正0, 2巾都成立，则实数”的取值范围是 (-8, 2-2川 .解： ®f )=2sirr-+3cos- =2 ”+3=20+3 】=母；若/ (x) >x+a对任意成0, 2巾都成立，即为aV/(x) 7=2区同

19、+3k3)-x对任意.回0, 2旬都成立，当 a=0 或 x=2n 时，,f (x) - x= 1+3=4 或 4 - 2ir；兀兀当 x=时，/ M -x=2+l -=3 乙乙_4- 71=- n;当 x=n 时，f (x) 一元=3等十号等等,7T当 OVxV-时，siiuG (0, 1) , cosaW (0, 1), 乙7T7T可得,忘2。+3。-亏=2-亏； 乙乙兀4同理可得当亏VxViT时，可得aW20+37-Tr=5-E2兀262'当 irVxV-y-时，可得 ”W27+3.J 乙当耳L<rV21r 时,可得 aW2+30- 27r=,-2Tr.乙乙Q综上可得，”的

20、取值范围是(-8, -2n.4q故答案为：:(-8, - - 2n. u)乙三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16. (13分)如图，在四枝锥P-A8C。中，平面ABC。，PO=4,底面ABCD是边长为2的正方形，E, F分别为PB, PC的中点.(I )求证：平面从OEJ平面PC。：(II)求直线8E与平面AOE所成角的正弦值.【解答】(I )证明：因为P。，平面ABC。,所以 POJ_A。，因为底面A3CD是正方形，所以AOLC。，因为 ponco=。，所以AO«L平面PCD,又AOu平面AOE,所以平面AOE_L平面PCD;(II )解：因为

21、尸。，平面A8CO,所以 PD«LA。，PD±CD9因为底面ABC。是正方形，所以 AOJ_C。，如图建立空间直角坐标系O-qz,因为PD=4,底面ABC。是边长为2的正方形，所以尸(0, 0, 4) , A (2, 0, 0) , B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , D (0, 0, 0) , E (1, 1, 2) , F (0, 1, 2),则球 0, 0), DE=(1, 1, 2), BF=(-2, -1, 2),设平面AOE的法向量为y, z),-mDA=0 , ? f2x=0则有一 一，可得 0mDE=0 x+y+2z=0所以m=(0, 2

22、, T),设直线BF与平面AOE所成的角为0,则谛，谭涌卜向黑所以直线8厂与平面ADE所成角的正弦值为二邑.17. (13分)已知函数g (x) =sin (x-) , h (x) =cos.v,再从条件、条件这两o个条件中选择一个作为已知，求:(I ) / M的最小正周期：(II ) /(A)在区间0,令|上的最大值.乙条件：/ (x) =g(X) h (x)；条件：f (x) =g (.v) +h (x).解：选择条件:V3 .1 、 f3、/ 1 勺 l+cos2x2222217T 1=苧由2.-=(2r-) -。，44649JTn.所以/(x)的最小正周期7=工丁 乙"J t

23、Jl I 5 JI(ID因为.隹0, -1,可得21工日一丁，马一,2666所以 sin (2v-)日-4，1,可sin -春，),622642 4TT TTTT1当2工一一=丁，即时，.f(X)有最大值"7.选择条件：.f (a) =g (x) +h (a),(I ) / (a) =sin+cosx= (-siiu - -cos.v) +cosx622=苧底会皿(x吟)，9 JT所以/ G)的最小正周期T=2m(II)因为.隹0, -y,可得人吟6卷，等,所以sin,IL兀兀兀当即工=丁丁时，f(x)有最大值1. uZ318. (14分)为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水

24、果测量质量，样本数据分组为100, 150)，150, 200) , 200, 250) , 250, 300) , 300, 350) , 350, 400(单位：克)，其频率分布直方图如图所示:(I )用分层抽样的方法从样本里质量在250, 300) , 300, 350)的水果中抽取6个,求质量在250, 300)的水果数量:（II）从（I ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在300, 350）的水果数量，求X的分布列和数学期望；（III）果国现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，试估计果园该种水果的销售收入.卓频率组距00150503003质量小（单m&l

25、t;200200W?V加 2 300位:克）300等级规格 二等一等特等价格（元/4710个）解：（I ）质量在250, 300） , 300, 350）的该种水果的频率分别为0.008X50=0.4,0.004X50=0.2,其比为 2： 1,所以按分层抽样从质量在250, 300） , 300, 350）的这种水果中随机抽取6个，质量在250,300)的该种水果有4个;(II)0, 1,2,3C4 1P (X=0)P (X=l)=J D%C63p (X=2)=DC42 1C65'I ）可知，6个水果中有2个质量在300, 350）,所以X的所有可能取值为所以X的分布列为:X012P

26、1 535151Q1所以 E(X) =0X2十IX菅十2X = 1; S33(Ill)二等品的须率为(0.002+0.002) X50=0.2,一等品的频率为(0.003+0.008) X50=0.55,特等品的频率为(0.004+0.001) X50 = 0.25,19. (15分)已知椭圆C：则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个, 贝”销售收入约为 4000X4+11000X7+5000 探 10=143000 元.=1 (a>>0)过点 A (-2, 0) , B (2, 0),且离心率4 乙(I )求楣圆C的方程:(II)设直线/

27、与椭圆C有且仅有一个公共点E,且与X轴交于点G(E, G不重合)，Gx轴，垂足为求证：借卜解2二2el.解：(I )由题意可得e=T=V ,解得：，尸=4,尻=3,2八2工2a -b +c22所以椭圆的方程为：-=1：4 37(II)由题意可得直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为：y=k.x+m (】工0),整理可得：(3+42)+8k?x+4?2 - 12=0,由题意可得=(),即646层- (3+4好)(团2-3) =0,解得：尸= 3+4M设 G (xi, 0) , E (刈，yo)则片=一乎，xo=： 2 = 一, k 3十妹 m因为E7Lx轴，所以7(-生，0), m第十21|

28、U| ' m |-4k+2ml |m-2k|TB| |2_(_4k |2m+4k|m+2k，m又因为留=|irr2k |m+2k |所以可证：W=w220. (15分)已知函数/(x) =1-且 WR.(I )若曲线y=/a)在点(1, /(I)处的切线平行于直线y=x,求该切线方程;(II )若 4=1,求证：当 X>0 时，/(X)>0；(III)若/(X)恰有两个零点，求”的值.ax(x-2)解：()因为 r a)=-一， e所以 f (1) = - -= 1 ,故4=-6 e所以7 (1) =1-且=2, e所以切线方程为y-2=x- 1,即y=x+l.2Z V(I

29、I)当 4=1 时，/(X)=1 一 J, f (X)='"尸,eAe .当.隹(0, 2)时，r (X)<0, / (x)单调递减，当.隹(2, +8)时，f (a) >0, f G)单调递增，4所以的最小值为/ (2) =1->0, 日一故.¥>0 时，/(X)>0.,2(III)对于函数/。)=1-受一，wR,e当“W0时，/ (a) >0, / (x)没有零点，/ax(x-2)当 </>0 时，f G)=；一，当.隹(-8, 0)时，G) >0,所以/(X)在区间(-8, 0)上单调递增,当.隹(0, 2

30、)时，f G) <0,所以/G)在区间(0, 2)上单调递减，当.隹(2, +8)时，f (a) >0,所以/G)在区间(2, +8)上单调递增，所以f(0) =1是函数的极大值，/ (2) =1-避是/6)的极小值， 日一a(-)21因为八一五)F一 -七=】一出°'F ee所以/ (x)在(-8, 0)上有且只有一个零点4a由/=1-,日一2若f (2) >0,即“V旦一，/ (x)在区间(0, +8)上没有零点.42若f(2) =0,即=且_，/Cv)在区间(0, +oo)上只有一个零点.42若f (2) <0,即4>另_,由于f (0) =1,所以/(x)在区间(0, 2)上有一个零点.4由(II)知，当心>0时，、1 16a316a316a31所以n一记区故/(X)在区间(2, 4a)上