2020-2020学年南通市如皋市高一上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2020 学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70 分）1（5 分）设全集 U= 1，2，4，集合 A= 1，4，则?UA=2（5分）已知函数 y=2sin（x+ ）（>0）的最小正周期为，则 = 3（5 分）已知幂函数的图象过点（ 2，4），则它的单调递减区间是4（5分）设函数 f（x）=，则 f f（ ） 的值为5（5 分）在 ABC中，向量 =（1，cosB）， =（sinB，1），且 ，则角 B 的 大小为 6（ 5 分）（log23+log227）×（ log44+log4 ）的值为7（5 分）将函数 f

2、（x）=sin（2x+）（0<<）的图象向左平移个单位后得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（ x）是偶函数，则 = 8（5分）已知函数 （f x）=mx22x+m的值域为 0，+），则实数 m 的值为 + ）的值为 ， sin（ ） = ，则9（ 5 分）已知 sin（ ）10（ 5 分）已知 sin（+）= ，则 sin( 2的值为11（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 （0 <<）角后到达角的终边，则tan =12（5 分）已知函数 f（x）=若关于 x 的方程 f（x） a2

3、+2a=0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是13（5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2 ）与函数 g（x）=tanx 的图象交 于 M ，N 两点，则 | + | = 14（5分）如图，在 ABC中，已知 AB=2，AC=3，BAC=60°，点 D，E分别在 边 AB，AC上，且 =2 ， =3 ，点 F 位线段 DE上的动点，则 ? 的取值 范围是 （ ）二、解答题（共 6 小题，满分 90 分.解答时写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 15（14分）已知集合 A=x| f（x）=lg（x1）+，集合 B=y| y=2x+a，x0（ 1）若 a= ，求 A

4、 B；（2）若 AB=?，求实数 a 的取值范围16（14 分）已知函数 f（x）=Asin（x ）（其中 A，为常数，且 A>0， >0）的部分图象如图所示（ 1）求函数 f（ x）的解析式；（2）若 f（+ ）=，f（+ ）=，且 ，（0， ），求 +的值17（14分）若| |=1，| | =m，| + | =21）若| +2 | =3，求实数 m 的值；2）若 + 与 的夹角为 ，求实数 m 的值18（16分）如图，经过村庄 A有两条互相垂直的笔直公路 AB和 AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库 M，N（

5、异于村庄 A，将工厂 P及仓库 M，N 近似看成点， 且 M，N 分别在射线 AB，AC上），要求 MN=2，PN=1（单位： km），PNMN（1）设 AMN= ，将工厂与村庄的距离 PA表示为 的函数，记为 l（），并写 出函数 l（）的定义域；（ 2）当 为何值时， l（）有最大值？并求出该最大值 ， m R19（ 16分）已知函数 f（x）=m（sinx+cosx）4sinxcosx，x 0，1）设 t=sinx+cosx，x 0， ，将 f （x）表示为关于 t 的函数关系式g（t），并求出 t 的取值范围；2）若关于 x 的不等式 f（x）0 对所有的 x 0， 恒成立，求实数m

6、的取值范围；3）若关于x 的方程 f （x） 2m+4=0 在 0， 上有实数根，求实数m 的取值范围20（16 分）1）已知函数 f（x） =x>0），证明函数 f（ x）在（ 0，上单调递减，2）记函数并写出函数 f（ x）的单调递增区间；g（x）=a| x|+2ax（a>1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x） =3；若 x 1，+），求函数 g（x）的值域2020-2020 学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70 分）1（5 分）设全集 U= 1，2，4，集合 A= 1，4，则?UA= 2 【解答

7、】 解：全集 U=1，2，4 ，集合 A=1，4 ，则?UA= 2 故答案为： 2 2（5 分）已知函数 y=2sin（x+ ）（>0）的最小正周期为，则 = 3解答】 解：由题意可得：最小正周期解得： =3故答案为： 33（ 5分）已知幂函数的图象过点 （2，4），则它的单调递减区间是 （，0）【解答】 解：设幂函数的解析式为 y=x，其函数图象过点（ 2， 4），则 4=2，解得 =2，所以 y=x2，所以函数 y 的单调递减区间是（， 0）故答案为：（， 0）4（5分）设函数 f（x）=，则 f f（ ） 的值为 4 【解答】 解： f（x）=， f（ ） =2=2=2，ff（ ）

8、 =f（2）=22=4故答案为： 45（5 分）在 ABC中，向量 =（1，cosB）， =（sinB，1），且 ，则角 B 的 大小为 【解答】解： ， ? =sinB+cosB=0? tanB=1， B（0，），B= 故答案为： 6（ 5 分）（log23+log227）×（ log44+log4 ）的值为 0 【解答】 解：原式 =log281×log41=0，故答案为： 07（5 分）将函数 f（x）=sin（ 2x+）（0<<）的图象向左平移 个单位后得 到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（ x）是偶函数，则 = 【解答】 解：图象向左平移 得到

9、f（x+ ） =2sin（ 2x+ +）， g（ x）=2sin（ 2x+ +），g（x）为偶函数， 因此 + =k+ ，又 0< < ，故 = 故答案为： 8（ 5分）已知函数 f（x）=mx22x+m的值域为 0，+），则实数 m 的值为 1【解答】 解： f（x） =mx2 2x+m 的值域为 0，+）， ，解得 m=1故答案为： 19（5 分）已知 sin解答】 解： sin）= ，则 sin（2）的值为）= ，）= ， sin（2+ ） =cos（2+ ） =cos（ 2）=cos 2（） =12sin2（）=12×（ ）2= =故答案为：10（ 5 分）已知

10、sin（+）= ，sin（）= ，则的值为 3解答】解： sin（+）=sin cos+cossin=，sin（ ）=sin coscossin=，sincossin=则=3，故答案为： 311（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射 故答案为： 线 OP绕坐标原点 O 逆时针方向旋转（ 0 <<）角后到达角 的终边，则 tan =解答】 解：由题意可得，+tan =，4 tan（+）=1，=1，即=1，求得 tan =，12（5 分）已知函数 f（x）=，若关于 x 的方程 f（x）a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是 0

11、<a<1 或 1<a<2 【解答】 解：由题意，关于 x 的方程 f（x）a2+2a=0 有三个不同的实数根，则 f（x）=a22a 有三个不同的交点， 1<a22a<0， 0< a<1 或 1<a<2，故答案为 0<a<1 或 1<a<213（5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2 ）与函数 g（x）=tanx 的图象交 于 M，N两点，则| + | = 解答】 解：由题意， M，N 关于点（ ，0）对称， | + | =2×，故答案为 14（5分）如图，在 ABC中，已知 AB=2，A

12、C=3，BAC=60°，点 D，E分别在 边 AB，AC上，且 =2 ， =3 ，点 F 位线段 DE上的动点，则 ? 的取值 范围是 ， （ ）解答】解：?最大为 ，当时， f（）=当 =0时， f（）=最小=，为则 ? 的取值范围是 ，故答案为： ，二、解答题（共 6小题，满分 90分.解答时写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 15（14分）已知集合 A=x| f（x）=lg（x1）+，集合 B=y| y=2x+a，x 01）若，求 A B；x1>0 且 2 x0，2）若 AB=?，求实数 a 的取值范围解答】 解：（1）由 f （x）=lg（x 1） +可得，解得 1&

13、lt;x2，故 A=x| 1<x2；（2分） ，则 y=2x+ ，当若 a=故 B= y| < y所以 AB= x| 1<x ，x0 时， 0<2x1， <（ 5 分）（ 7 分）（ 9 分）（2）当 x0时，0<2x1，a<2x+aa+1，故 B=y| a< y a+1 ， 因为 AB=?， A= x| 1<x2 ，所以 a2或 a+11，（12分）即 a 2 或 a 0 ，所以实数 a的取值范围为 a2或 a0（14分）16（ 14 分）已知函数 f（x）=Asin（x）（其中 A，为常数，且 A> 0， >0）的部分图象如

14、图所示1）2）求函数 f（ x）的解析式； 若 f（+ ）=，f（+） =，且 ，（ 0， ），求 +的值解答】（本题满分为 14 分）=，其中 T为函数 y=f（ x）的最小正周期，T=2，（4解：（1）据函数 y=f（x）的解析式及其图象可知 A=2，（2 分） 且 T= 分）所以=2，解得 =所以 f （x） =2sin（x）（ 6 分）2）由 f （+ ）=，可知 2sin（因为 （ 0，）=），即sin=，所以 cos=，可知 2sin（故 cos = ，由 f（ 8 分）=，即 sin（x+ ）=）=，因为 （ 0，），所以 sin= ，（10 分）于是 cos（+） =cosco

15、ssin sin××=×=（ 12 分）因为 ，（ 0， ），所以 +（ 0，），所以 += （ 14 分）17（14分）若| |=1，| | =m，| + | =2（1）若| +2 | =3，求实数 m 的值；（2）若 + 与 的夹角为，求实数 m 的值【解答】 解：（1）因为| + | =2，所以| + | 2=4即以 2+ 2+2 ? =4，（ 2 分）又| | =1，| | =m，所以（ 3 分）由 | +2 | =3，所以所以 | +2 | 2=9即以 2+4 2+4 ? =9，所以 1+4×+4m2=9，解得 m=±1，（ 6 分）

16、分）又因为 + 与 的夹角为，所以（ + ）?（ ）=以 2 2=| + | ×|又 | | 0，所以 m=1 （7 分）2）因为， | | =1，| |=m，+m2=2m22，| | =所以 | | 2= 2+ 2 2 ? =12× | cos即，所以 1 m2=2×，解得 m=± ，（13 分）又| | 0，所以 m= （14 分）18（16分）如图，经过村庄 A有两条互相垂直的笔直公路 AB和 AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P，为了仓库存储和运输方便，在两条 公路上分别建两个仓库 M，N（异于村庄 A，将工厂 P及仓库 M，N

17、 近似看成点， 且 M，N分别在射线 AB，AC上），要求 MN=2，PN=1（单位：km），PNMN （1）设 AMN= ，将工厂与村庄的距离 PA表示为 的函数，记为 l（），并写 出函数 l（）的定义域；（ 2）当 为何值时， l（）有最大值？并求出该最大值【解答】 解：（1）过点 P作 PDAC，垂足为 D，连结 PA 在 RtMAN中， sin = = ，故 NA=2sin，在 RtPND中， PND=，sin = = ，cos= = ， 故 PD=sin， ND=cos在 RtPDA中， PA=，所以 l （） =，函数 l（）的定义域为（ 0， ）（ 2）由（ 1）可知， l（

18、） =，即 l（）=又 （ 0， ），故 2 ， ），所以当 2即 = 时， sin（2 ）取最大值 1，l （ ） max=1+ = 时， l（）有最大值，最大值为 1+ ， m R19（ 16分）已知函数 f（x）=m（sinx+cosx）4sinxcosx，x 0，1）设 t=sinx+cosx，x0， ，将 f （x）表示为关于 t 的函数关系式 g（t），并求出 t 的取值范围；（2）若关于 x的不等式 f（x）0 对所有的 x 0， 恒成立，求实数 m 的取 值范围；（3）若关于 x 的方程 f（x）2m+4=0 在 0， 上有实数根，求实数 m 的取 值范围【解答】解：（1）因为

19、 t=sinx+cosx=，x 0， ，所以 t1， ，sinxcosx=（2 分）所以 g（t）=mt4?=2t2+mt+2（5 分）（2）因为关于 x的不等式 f（x）0 对所有的 x 0， 恒成立，据（ 1）可知 g（t）=2t2+mt+20 对所有的 t 1， 恒成立， （6分）所以，得 m 所以实数 m 的取值范围是 ，+）（10 分）（3）因为关于 x的方程 f（x）2m+4=0在 0， 上有实数解，据（ 1）可知关于 t 的方程 2t 2+mt+22m+4=0在 t1， 上有实数解， 即关于 t 的方程 2t2mt +2m 6=0在 t 1， 上有实数解， （11 分） 所以 =

20、m2 16（m 3） 0，即 m4 或 m12令 h（t）=2t2mt +2m6，开口向上，对称轴 t= ，当 m12时，对称轴 t3，函数 h（t）在 t 1， 上单调递减， ，解得 m 不存在 （ 13 分）当 m4 时，对称轴 t1，函数 h（t）在 t 1， 上单调递增， ，解得 2+ m 4 （ 15 分）综上所述，实数 m 的取值范围是 2+ ，4 （16分）20（16分）（1）已知函数 f（x）=2x+ （x>0），证明函数 f（x）在（ 0， ） 上单调递减，并写出函数 f（ x）的单调递增区间；（2）记函数 g（x）=a| x|+2ax（a>1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x） =3；若 x 1，+），求函数 g（x）的值域解答】（1）证明：设 x1，x2 是区间（ 0，上的任意两个实数，且x1<x2，则 f（ x1） f （x2）=2（x1x2） +（）=因为 0<x1< x2<，所以 x1x2< 0， 0< x1x2，故 2x1x2 1<0，所以 f（x1）f（x2）> 0，即 f（x1）> f（ x2）， 所