周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章4分析力学

1、第五章第五章分析力学分析力学拉格朗日拉格朗日哈密顿哈密顿导读导读 动能和势能的泰勒展开动能和势能的泰勒展开 线性齐次方程的求解线性齐次方程的求解 简正频率简正频率 简正坐标简正坐标5.4 小振动小振动1 多自由度力学体系的小振动多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的广义坐标均等于零广义坐标均等于零. 如果力学体系自平衡位置发生微小偏如果力学体系自平衡位置发生微小偏移移, 力学体系的势能力学体系的势能可以可以在平衡位形区域内展成泰勒级数在平衡位形区域内展成泰勒级数, )(2121102100qOqqqqVqqVVVss

2、利用保守体系的平衡方程利用保守体系的平衡方程, 略去二级以上的高级项并略去二级以上的高级项并令令V0=0, 就得到就得到qqcVs1,21在稳定约束时在稳定约束时, 动能动能T只是速度的二次齐次函数只是速度的二次齐次函数, 即即式式中系数中系数a是广义坐标是广义坐标q 的显函数的显函数. 把把a 在力学体系在力学体系平衡位形的区域内展成泰勒级数平衡位形的区域内展成泰勒级数, 就得到就得到由于由于q 值很小值很小, 因此展开式中只保留头一项因此展开式中只保留头一项, 动能动能T变为变为qqaTs1,21010( )sqO qqqqaTs1,21现在式中系数现在式中系数a 是不变的是不变的. c

3、称为恢复系数或准弹称为恢复系数或准弹性系数性系数, 而而a 则称为惯性系数则称为惯性系数.qqcVs1,21所以所以 0 ,dd ,11qTqaqTtqaqTss qcqVs1 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体系在平衡位置附近的动力学方程系在平衡位置附近的动力学方程ssqcqa1, 2 , 1 , 0 这是线性齐次常微分方程组这是线性齐次常微分方程组, 它的解它的解teAq式中式中A 及及 是常数是常数. 把这表示式代回把这表示式代回, 得得sscaA12, 2 , 1 , 0从行列式从行列式0222212122222222212211211

4、221211211sssssssssssscacacacacacacacaca求出求出2s个个 的本征值的本征值 l , (l1,2,2s). 然后然后求出一组求出一组A (l), 方程式的解即是方程式的解即是), 2 , 1( 21)(seAqsltll为了物体在平衡位置附近振动为了物体在平衡位置附近振动, 则则力学体系的势能力学体系的势能V 0 (即平衡位置即平衡位置V0是极小值是极小值), 方程方程所有的根所有的根 l为纯虚数为纯虚数.既然既然 l是纯虚数是纯虚数, 因此可令因此可令lli这样这样, 解可以写为解可以写为sltiltillleAeAq1)()(实数实数 解为解为sllll

5、ltbtaq1)()(sincos实际上实际上, 我们把我们把 的某一本征值的某一本征值 l代入原方程后代入原方程后, 并不能并不能得出得出s个互相独立的常数个互相独立的常数A ( 1,2,s), 而只能得出它而只能得出它们的比们的比, 因为此时系数行列式等于零因为此时系数行列式等于零. 如果行列式的如果行列式的 (s-1)阶代数余阶代数余子子式中有一个不等于零式中有一个不等于零, 则在一组解则在一组解A 中只有中只有一个数是可以任意取的一个数是可以任意取的. 如果设此常数为如果设此常数为A(l) ,则则A (l)可写可写为为 21)()(lllAA即即 21)()(212)()(2211)(

6、)(1,lsllsllllllAAAAAA在方程的解中共有在方程的解中共有2s2个常数个常数, 因为每个因为每个 l对应一个任意对应一个任意常数常数, 而共有而共有2s个个 l, 所以所以2s2个常数只有个常数只有2s个是独立的个是独立的. 这这2s个常数个常数, 可由起始条件决定可由起始条件决定, 即即t0时的初始位置和初时的初始位置和初始速度应为已知始速度应为已知. 这样，这样，sltilltilllleAeAq12)(2)(sllllllltbtaq12)(2)(sincos实数解：实数解：这里的这里的 l叫做简正频率叫做简正频率, 它的数目共有它的数目共有 s个个, 和力学体系和力学体

7、系的自由度数相等的自由度数相等. 多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势能和动能中都有交叉项能和动能中都有交叉项(相互作用相互作用). 消除之消除之, 可以简化问可以简化问题题.因为动能总是正定的因为动能总是正定的, 根据线性代数理论根据线性代数理论, 总能找到线总能找到线性变换性变换slllgq1使得使得T和和V同时变成正则形式同时变成正则形式, 即没有交叉项即没有交叉项. 变换后变换后2 简正坐标简正坐标slllslllcVaT12012021 ,21相应的拉氏方程为相应的拉氏方程为0ddlllVTTt所以所以)21( 000,s,lcal

8、lll 可得可得, 解解), 2 , 1( cossincossltCtB tAllllllll式中式中00lllac坐标坐标 l叫做简正坐标叫做简正坐标, l仍为简正频率仍为简正频率.每一个每一个简正坐标都做具有自己固有频率简正坐标都做具有自己固有频率 l的谐振动的谐振动, 而广义坐标而广义坐标, 作为简正坐标的线性函数作为简正坐标的线性函数, 将是将是s个谐个谐振叠加而成的复杂运动振叠加而成的复杂运动. 例例1 耦合摆耦合摆 两相同的单摆两相同的单摆, ,长为长为a,a,摆锤的质量为摆锤的质量为m,m,用倔用倔强系数为强系数为k k且其自然长度等于两摆悬点之间距离的无重弹且其自然长度等于两

9、摆悬点之间距离的无重弹簧相耦合簧相耦合. .略去阻尼作用略去阻尼作用, ,试求此体系的运动试求此体系的运动.解解: 两个摆在同一平面内振动两个摆在同一平面内振动,取振动取振动平面为平面为 xy平平面面, 并且令两个摆锤的坐并且令两个摆锤的坐标为标为(x1, y1)及及(x2,y2), 则由于约束关系则由于约束关系(两摆的摆长一定两摆的摆长一定), 四个坐标中只有四个坐标中只有两个是独立的两个是独立的. 选选x1及及x2作为两个广作为两个广义坐标义坐标, 而而x1及及x2等于零时相当于耦等于零时相当于耦合摆的平衡状态合摆的平衡状态.y2y1x1x2aa 耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆锤重力势

10、能两耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆锤重力势能两者之和者之和,即即2122121mgymgyxxkV耦合摆的动能为耦合摆的动能为222221212121yxmyxmT因为因为22222222221212112121xxaxyxayaxxaxyxaya故故22221222121xaamgxaamgxxkV22222222121221121121xxaxmxxaxmT为了算出在平衡位置附近的势能及动能为了算出在平衡位置附近的势能及动能, 按泰勒级数按泰勒级数展开展开, 可得可得amgkxVckxxVcamgkxVcxxx022222021212021211211 , ,mama022011,又又

11、故在平衡位置附近故在平衡位置附近, V与与T简化为简化为2221212121xamgkxkxxamgkV222121xxmT运用拉氏方程运用拉氏方程, 得动力学方程得动力学方程1211)(xamgxxkxm 2212)(xamgxxkxm 这是二阶常系数线性齐次方程组这是二阶常系数线性齐次方程组,具有形式解具有形式解tteAxeAx2211,所以所以00221221kamgmAkAkAkamgmA此方程组有非零解的充要条件为此方程组有非零解的充要条件为022kamgmkkkamgm由此得到由此得到4个本征值如下个本征值如下:这样得到通解这样得到通解22112 ,imkagiiagi,22112

12、211)2(2)2(2)1(2)1(22)2(1)2(1)1(1)1(11titititititititieAeAeAeAxeAeAeAeAx把把 1, 2代入行列式代入行列式,得到得到 )1(1211)1(121112111,:AAAAAAkk )2(2221)1(222112112,:AAAAAAkk,22112211)2()2()1()1(2)2()2()1()1(1titititititititieAeAeAeAxeAeAeAeAx4个任意常数由初始条件决定个任意常数由初始条件决定.如果令如果令 则则 1, 2将以单一的将以单一的频率频率 1, 2振动振动, 因此因此 1, 2就是简正

13、坐标就是简正坐标.21221121,21xxxx例例2 线对称三原子分子的振动线对称三原子分子的振动 设两个质量为设两个质量为m的原子的原子, 对称地位于质量为对称地位于质量为M的原子两侧的原子两侧, 三者皆处于一直线上三者皆处于一直线上, 其间的相互作用可近似地认为是准弹性的其间的相互作用可近似地认为是准弹性的, 即相当于用即相当于用弹性系数为弹性系数为k的两个相同弹簧把它们联结起来的两个相同弹簧把它们联结起来. 如平衡时如平衡时, M与每一与每一m间的距离均等于间的距离均等于b,求三者沿联线振动时的简求三者沿联线振动时的简正频率正频率.解解: 由图知由图知, 若以水平轴若以水平轴x上某处上某处O为原点为原点. 系统的势能为系统的势能为 bxxkbxxkV22321222而而 xMxxmT2223212121mmM令令b xqbxqxq2,332211则则 qqkqqkV22321222 qMqqmT2223212121本问题是三个自由度本问题是三个自由度, 故故q1,q2,q3就是广义坐标就是广义坐标, 由拉氏由拉氏方程得方程得00203233212211kqkq qmkqkqkqqMkqkqqm 设解的形式为设解的形式为)sin(tcqMmm1x2x3xbb带入动力学方程组带入动力学