结构化学习题解答(第二章)说课材料

1、 第二章第二章 原子原子(yunz)(yunz)的结构和性的结构和性质质 第一页，共28页。 计算计算(j sun)氢原子的基态波函数在氢原子的基态波函数在 处处的比值。的比值。解解：氢原子基态波函数为：氢原子基态波函数为：该函数在该函数在 两处的比较值为：两处的比较值为： 而而002arar和02/30111arsea002arar和71828. 211112122/302/300000eeeeaeaaaaa两处的比较值为：和在00212arars38906. 72e2.5第二页，共28页。本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我

2、们注意到且，如果我们注意到 在在r的全部区间内随着的全部区间内随着r的增大的增大而单调下降这个事实而单调下降这个事实(shsh)，计算结果的合理性也是，计算结果的合理性也是显而易见的。显而易见的。 已知氢原子的已知氢原子的试问下列问题：试问下列问题：（a） 原子轨道能原子轨道能E=？（b） 轨道角动量轨道角动量|M|=？轨道磁距？轨道磁距|=？（c） 轨道角动量轨道角动量M和和Z轴的夹角是多少度？轴的夹角是多少度？（d） 列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体 的的数值）。数值）。（e） 节面的个数、位置节面的个数、位置(wi zhi)和形

3、状怎样？和形状怎样？（f） 几率密度极大值的位置几率密度极大值的位置(wi zhi)在何处？在何处？（g） 画出径向分布图。画出径向分布图。cos2exp24100302ararazp2.9s1第三页，共28页。解：（a）原子轨道(gudo)能为：（b）轨道(gudo)角动量为：轨道(gudo)磁距为：JJE192181045. 5211018. 2222) 11 ( 1hhMee2) 11 ( 1（c）设轨道(gudo)角动量M和Z轴的夹角为，则：=90002220coshhMMz第四页，共28页。（d）电子离核的平均距离的表达式为：(e)令,得：节 面 或 节 点 通 常 不 包 括 (

4、b o k u )的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.drrzzpp2*2 0020222sinddrdrrzp02zp090, 0rrzprr2,0故和090, 0cos43求得Y第五页，共28页。（f)几率(jl)密度为：由式可见，若r相同，则当=00或=1800时最大（亦可令），以0表示，即：2203022cos3210arpearaz001800, 0sin或0020300020300003210321180,0,ararearadrddrdrearar，有：求导并使之为对将023210500arreaar解之得：解之得：舍去和r

5、rar020第六页，共28页。又因：又因：002202 ardrd所以所以(suy)，当，当 有极大值。有极大值。此极大值为：此极大值为： 2200021800zpar时，或30222200308232100aeeaaaaam= 36.4nm-322250222201621arprearRrDz(g)0450241arera第七页，共28页。根据根据(gnj)此式列出此式列出D-r数据表：数据表： 01.02.03.04.05.06.000.0150.0900.1690.1950.1750.1347.08.09.010.011.012.00.0910.0570.0340.0191.0210-2

6、5.310-3按表中数据作D-r图，得下图：由图可见，氢原子的径向分布图有个极大（峰）和个极小（节面），这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在处，这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理(wl)意义不同。另外，由于径向分布函数只与有关而与无关，、和的径向分布图相同。0/ar10/aD0/ar10/aD1ln01ln04ar ln和mxp2yp2zp2zp2第八页，共28页。 作氢原子的作氢原子的 图图 ，证明，证明 极大值极大值在在 处，并说明处，并说明(shumng)两种图形不同的原因。两种图形不同的原因。rDrss121图及sD10ar 解解：H原子的原子的分析分析 、

7、的变化规律，估计的变化规律，估计(gj)的变化范围及的变化范围及特殊值，选取合适的值，计算出特殊值，选取合适的值，计算出 列于下表：列于下表： 021301arsea002230212121302144arssarserarDea21srDs随1ssD121和2.11第九页，共28页。*从物理(wl)图象上来说，只能接近于0。r0*0.100.200.350.500.700.901.101.300/ar1.000.820.670.490.370.250.170.110.0713021/as00.030.110.240.370.480.540.540.50101/aDs1.602.002.302

8、.503.003.504.004.505.000/ar0.040.020.010.0070.0030.0010.00113021/as0.420.290.210.170.090.040.020.010.005101/aDs第十页，共28页。rDrss121图和根据根据(gnj)表中数据作表中数据作 图图如图如图2.9（a）和）和(b)所示。所示。令令得得 即：, 01sDdrd0182244023020223022300000arreaearreaeradrdarararar)0(0rar舍去第十一页，共28页。 即即 处有极大值，这与处有极大值，这与 称称为为H原子的最可几半径原子的最可几半

9、径(bnjng)，亦常称为，亦常称为Bohr半径半径(bnjng)。推广之，核电荷为。推广之，核电荷为Z的单电子的单电子“原子原子”，1s态最态最可几半径可几半径(bnjng)为为 。01arDs在01arDs图一致。Za0图不同的原因是的物理意义不同，表示电子在空间某点出现的几率密度，即电子云。而的物理意义是：Ddr代表在半径为和半径为的两个球壳内找到电子的几率。两个函数的差别在于不包含体积因素，而Ddr包含了体积因素。由图可见，在原子核附近，电子出现的几率密度最大，随后几率密度随的增大单调下降。由图可见，在原子核附近，接近于0，随着的增大，先是增大，到时达到(ddo)极大，随后随的增大而减

10、小。由于几率密度随的增大而减小，而球壳的面积随的增大而增大（因而球壳体积增大），两个随变化趋势相反的因素的乘积必然使出现极大值。rDrsrs11图和ssD121和21ssD121srdrr rs21rDs1sD1sD10ar 21srrrr21214ssrD24 rrrr第十二页，共28页。 写出写出Li2+离子的离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出及各项的意义；写出Li2+离子离子1s态的波函数并计算或回答：态的波函数并计算或回答：（a） 1s电子径向分布最大值离核的距离；电子径向分布最大值离核的距离；（b） 1s电子离核的平均距离；

11、电子离核的平均距离；（c） 1s电子几率密度最大处离核的距离；电子几率密度最大处离核的距离；（d）比较）比较Li2+离子的离子的2s和和2p态能量的高低；态能量的高低；（e） Li原子原子(yunz)的第一电离能（按的第一电离能（按Slater屏蔽常数算有效屏蔽常数算有效核电荷）。核电荷）。解解：Li2+离子的离子的Schrodinger方程为：方程为：方程中，方程中， 分别代表分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离；的约化质量和电子到核的距离； 分别是分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量，算符、状态函数及该状态的能量， 则分别是则分别是Planck常数和真空常数和真空(zhn

12、kng)电容率。方括号内为电容率。方括号内为总总能量算符，其中第一项为动能算符，第二项为势能算符。能量算符，其中第一项为动能算符，第二项为势能算符。Ereh02222438r和E和，20和h2.14第十三页，共28页。Li2+离子离子(lz)1s态的波函数为：态的波函数为：rasea0321301270621081082744000620301623063022121rasrarasseraraDdrderaearrD（a）r06220rar0r30ar 30a又又 1s电子电子(dinz)径向分布最大值在距核径向分布最大值在距核 处；处；第十四页，共28页。drrss1*1（b）040302

13、000633026302121421627sin27sin2700aaadddreraddrdreardrraras第十五页，共28页。rasea06302127（c）21sr21srae06rrr因为因为 随着随着 的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法的方法求其最大值离核的距离。分析求其最大值离核的距离。分析 的表达式可见，的表达式可见， =0时时 最大，因而最大，因而 也最大。但实际上也最大。但实际上 不能为不能为0（电子不可能（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是落到原子核上），因此更确切的说法是 趋近于趋近于0时时1s电子的几

14、率密度电子的几率密度(md)最大。最大。（d）Li2+为单电子为单电子“原子原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和和2p态简并，即即态简并，即即 E 2s= E 2p.（e）Li原子的基组态为原子的基组态为(1s)2(2s)1 。.对对2s电子来说，电子来说，1s电子为其相邻内电子为其相邻内一组电子，一组电子，=0.85。因而：。因而：根据根据Koopmann定理，定理，Li原子的第一电离能为：原子的第一电离能为： eVEs75. 52285. 036 .13222eVEIs75. 52121s第十六页，共28页。 已知已知He原子的第一电离能原子的第

15、一电离能I1=24.59eV，试计算：，试计算：（a） 第二电离能；第二电离能；（b） 基态能量；基态能量；（c） 在在1s轨道中两个电子的互斥能；轨道中两个电子的互斥能；（d） 屏蔽常数屏蔽常数(chngsh)；（e） 根据（根据（d）所得结果求）所得结果求H-的能量。的能量。解：（a）He原子的第二(dr)电离能I2是下一电离过程所需要的最低能量，即：HeHeHeHeEEEEEIegHegHe0)()(2222.16第十七页，共28页。He+是单电子是单电子(dinz)“原子原子”， 可按单电子可按单电子(dinz)原子能级公式计算原子能级公式计算,因而：因而：HeEeVeVEIHe38.

16、5412595.13222（b）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤(bzhu)求求He原原子基态的能量：子基态的能量： 由（由（1）式得：）式得： egHegHeegHegHe2)(HeHeHeHeEEIEEI221)2() 1 (1IEEHeHe第十八页，共28页。将（将（2）式代入，得：）式代入，得：1212IIEIEEHeHeHeeVeVeVIIII97.7838.5459.2402121推而广之，含有推而广之，含有(hn yu)n个电子的多电子原子个电子的多电子原子A，其基态能量，其基态能量等于各级电离能之和的负值，即：等于各级电离能之和的负值，

17、即：niiAIE1第十九页，共28页。（c）用）用 J(s,s)表示表示He原子中两个原子中两个(lin )1s电子的互电子的互斥能，则：斥能，则：也可直接由也可直接由I2减减I1求算求算J(s,s)，两法本质相同。，两法本质相同。eVeVeVEEssJssJEEHeHeHeHe79.2938.54297.782),(),(2第二十页，共28页。（d）3 . 0704. 122595.1397.7822595.132212595.13212122eVeVevEeVEHeHe第二十一页，共28页。（e） H-是核电荷为是核电荷为1的两电子的两电子“原子原子”， 其基态其基态(j ti)为为(1s

18、)2，因而基态，因而基态(j ti)能量为：能量为：eVeVeVeVEH32.1327 . 0595.1323 . 01595.1321595.13222第二十二页，共28页。 写出下列写出下列(xili)原子能量最低的光谱支项的符号：原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si；(b)Mn；(c)Br；(d)Nb；(e)Ni解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据矢量也相互抵消，不必考虑），根据Hund规则推出原子

19、规则推出原子最低能态的自旋量子数最低能态的自旋量子数S、角量子数、角量子数L和总量子数和总量子数J，进，进而写出最稳定的光谱支项。而写出最稳定的光谱支项。（a）Si:Ne3s23p2(b)Mn：Ar4s23d5101pSLLmSmLs3; 0; 1, 1; 1, 1021012256;25; 0: , 0;25,25SSLLmSmLs2.19第二十三页，共28页。(c)Br：Ar4s23d104p5(d)Nb：Kr5s14d4101232;23; 1, 1;21,21PSLLmSmLs210120216;21; 2, 2;25,25DSLLmSmLs第二十四页，共28页。(e)Ni：Ar4s2

20、3d821012434; 3, 3; 1, 1FSLLmSmLs；第二十五页，共28页。写出Na原子的基组态、F原子的基组态和碳原子的激发态（1s22s22p13p1）存在(cnzi)的光谱支项符号。解：Na原子的基组态为（1s）2(2s)2(2p)6(3s)1。其中1s、2s和2p三个电子层皆充满电子，它们对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na原子的轨道角动量和自旋角动量仅由3s电子决定；L=0，S=1/2,故光谱项为2S；J只能为1/2，故光谱支项为F原子的基组态为原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5。与上述理由相同，该。与上述理由相同，该组态的光谱项和光谱支项只决定于组态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5组态。根据等价组态。根据等价电子组态的电子组态的“电子电子空位空位”关系关系(gun x)，(2p)5组态与组态与(2p)1组态具有相同的谱项。因此，本问题转化为推求组态具有相同的谱项。因此，本问题转化为推求(2p)1组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，S= , L=1 ，故光谱项为，故光谱项为2P