[理学]固体物理答案第五章ppt课件

1、第五章第五章 能带实际能带实际5.1 一维周期场，电子的波函数一维周期场，电子的波函数 ;axsinxk ，电子的波函数为，电子的波函数为该当满足布洛赫定理。该当满足布洛赫定理。 xk假设晶格常数为假设晶格常数为a ;axicosxk lklaxfx123f 为某一确定的函数为某一确定的函数试求电子在这些形状的波矢。试求电子在这些形状的波矢。解：解： 由式由式 reRrkRr inkn 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足 xeaxkiknak 由此得由此得1 xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是于是 nikna1e

2、因此得因此得 n12skna 所以所以 0,1,2.s a12sk 2 axcosexaicosaxaicosikna 即即 niknaie 得得n232skna 所以所以 0,1,2.s a232sk 3 llka1lxflaaxfax令令1ll 得得 xexalxfaxkiknaklk 由上知由上知1eikna 可知可知2skna 所以所以 2.1,n 0,1,2.s na2sk 5.2 5.2 电子在周期场中得势能电子在周期场中得势能 0naxbm21xV222bnaxbna 当当 bnaxba1-n 当当且且4b,a 是常数。是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。试画出此势能

3、曲线，并求此势能的平均值。解：解：Oa2a3axV(x)如下图，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均如下图，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，即可，于是得于是得 dxxV4b1dxxVa1V2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb322x31xb8bm 22bm61 5.3 用近自在电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带用近自在电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。宽度。解：解： 在布里渊区边境上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示在布里渊区边境上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示式为式为ngV2E 其中其中nV是周期势场是周期势场V(

4、x)付里叶级数的系数，付里叶级数的系数， dxexVa1Vnxa2i2a2an 求得。求得。第一禁带宽度为第一禁带宽度为 dxexVa12V2Exa2i2a2a1g1 该系数可由式该系数可由式 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二禁带宽度为第二禁带宽度为 dxexVa12V2Exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbcosxb2m4b12 5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带态电子的能带 2akcos2akcos2akcos8JAEkE

5、zyxats并求能带宽度。并求能带宽度。解：解： 用紧束缚方法处置晶格的用紧束缚方法处置晶格的s态电子，当只计及最近邻格点态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，的相互作用时， 是是最最近近邻邻格格矢矢nRk inatsR,eJAEkEn 对体心立方晶格，取参考格点的坐标为对体心立方晶格，取参考格点的坐标为0，0，0，那么那么8个个最近邻格点的坐标为最近邻格点的坐标为 2a,2a,2a其能带的表示式为其能带的表示式为将上述将上述8组坐标代入能带的表示式，得组坐标代入能带的表示式，得 nRk inatseJAEkE zyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2

6、aizyx2aiatskkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkeJAE 2akcose2akcose2akcose2akcose2JAEzkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4JAEzyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8JcosAEzyxats 由余弦函数的性质，用察看法即可断定，由余弦函数的性质，用察看法即可断定，当当0kkkzyx 时，时，能带中的能量取最小值能带中的能量取最小值8JAEE0min 当当a1k,a1k,a1kzyx 时，时，能量取最大值能量取最大值8JAEE0max

7、因此能带的宽度为因此能带的宽度为16JEEEminmax 5.5由由N格原子组成的三维晶体简单晶格格原子组成的三维晶体简单晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的 ,e1xxat 为正的常数。为正的常数。1试写出该晶体的紧束缚近似波函数；试写出该晶体的紧束缚近似波函数；2证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数3对比阐明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及对比阐明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及电子基态波函数为电子基态波函数为的性质；的性质；能量的特征。能量的特征。解：解： 1按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为按紧束缚近似，三维晶体电子

8、的波函数为 latRk iRatRkeN1r , kll 一维晶体情况下，晶格常数一维晶体情况下，晶格常数a，naRl 所以所以 naxeN1x, katnak in 又又 xate1x 得得 naxnak ineeN1x, k 2 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为 reN1xiikkj,ijM1jrkki deRr1liiRrkkilatjkk ,kij latjRk ilk jRreN1l 对于一维晶体情况下，晶格常数对于一维晶体情况下，晶格常数a，naRl ，a xeNa1xiikkj,ijM1jxkki dxenaxa1naxkkia

9、atjkk ,kijii 此处此处 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeeN1 假设只取一项，那假设只取一项，那么么 nnaxeiknaedxnaxikeanaxeNa1ikxeNa10 x5.6 一矩形晶格，原胞边长一矩形晶格，原胞边长 ma10102 ， mb10104 1画出倒格子图；画出倒格子图；2以广延图和简约图两种方式，画出第一布里渊区和以广延图和简约图两种方式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；第二布里渊区；3画出自在电子的费密面。画出自在电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。设每个原胞有两个电子。解：解：jAjbbiAiaa0

10、042 倒格子基矢为倒格子基矢为jAbiAaoo4121* (1) 由于由于以以*,ba如图如图6-11所示所示,图中图中“。代表倒格点。由图可见，代表倒格点。由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形晶格的倒格子也是矩形格子。矩形格子。为基矢构成的倒格子为基矢构成的倒格子第一区第一区第二区第二区xkyk a bo1A2A3A4A1B2B3B4B2其结果如下图。其结果如下图。iA、次近邻、次近邻 iB的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图如上图)，这，这是布里渊区的广延图。是布里渊区的广延图。取恣意倒格点取恣意倒格点o作为原点，由原点至其最近邻作为原点，由

11、原点至其最近邻如采用简约方式，将第二区移入第一区，如采用简约方式，将第二区移入第一区，xkyk3简约布里渊区的面积简约布里渊区的面积 便有便有2N个形状。个形状。2*)(81oAbaA 而形状密度而形状密度2*)(162)(oANANkg 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为 201622FkkNkdkkgNF 设晶体共有设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中所以所以11112/11022 . 081 mAkoF 这就是费米圆的这就是费米圆的半径，据此做出半径，据此做出费米圆如下图。费米圆如下图。xkyk

12、oFk5.7 有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为a见图，试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。假见图，试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。假设设每个原胞有每个原胞有2个电子试画出其费米圆周。个电子试画出其费米圆周。解：解： 如下图，平面六角晶格如下图，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心为坐标原点，取六角形的中心为坐标原点，原胞也如图中画出。原胞也如图中画出。每个原胞中包含有两个原子。每个原胞中包含有两个原子。是一个复式格子。是一个复式格子。基矢基矢可由下式给出可由下式给出21a,a j a23i a23aj a23i

13、a23a21，可得到倒格基矢，可得到倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二维晶格下，取在二维晶格下，取ka3 其中其中由由 2321a233aaa 给出。给出。所以所以 j31i33a2bj31i33a2b21根据倒格基矢就可以根据倒格基矢就可以画出个倒格点，从而画出个倒格点，从而画出布里渊区如图。画出布里渊区如图。当每个原子有当每个原子有2个电子个电子时，那么二维晶格的价时，那么二维晶格的价电子面密度为电子面密度为1b2b可算出费米圆的半径可算出费米圆的半径a3.1a3316n2k2F 由此可以画出自在电子的由此可以画出自在电子的费米圆，如图中

14、的所示。费米圆，如图中的所示。2Ca338A4n 思索周期势场的微扰，对思索周期势场的微扰，对自在电子的费米圆作两点自在电子的费米圆作两点修正：修正：1在布里渊区在布里渊区的边境限处发生分裂。的边境限处发生分裂。2费米圆与布里渊区费米圆与布里渊区边境限间的交角进展钝化。边境限间的交角进展钝化。1b2b5.8 平面正三角形晶格见图，相邻原子间距为平面正三角形晶格见图，相邻原子间距为a。试求。试求1正格矢和倒格矢；正格矢和倒格矢；2画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。1a2aa解：解：1 正格原胞的基矢正格原胞的基矢如下图取为如下图取为j23i2

15、aa, i aa21 其中其中 和和 是相互垂直的是相互垂直的单位矢量。单位矢量。ij取单位矢量取单位矢量 垂直于垂直于 和和 ，那么，那么 和和 构成的体积构成的体积ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢为倒格原胞的基矢为 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 2 选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们个，它们是是 2121bb,b,b 这这6个倒格矢的中垂线围个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。形是第一布里渊区。第一布里渊区内切圆的半第一

16、布里渊区内切圆的半径为径为a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-5.9 证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于 110晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。证明：证明： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 对于一级反射，对于一级反射，n=1,那么有那么有 sin2d (1) 式中，式中，d为反射晶面族的面间距，为反射晶面族的面间距， 为布拉格角。为布拉格角。在第一布里渊区边境面上，必有在第一布里渊区边境面上，必有 2sinnKk 根据布拉格衍射公式根据布拉格衍射公式此处此处nK为被界面垂直平分的倒格矢，为被界面垂直平分的倒格矢

17、，nKk sin21 (2) 令令(1)(2)两式右边相等，便得两式右边相等，便得2221lkhaKdn (3) 式中式中a为立方晶系的晶格常数，为立方晶系的晶格常数，h,k,l为晶面指数。为晶面指数。 对于体心立方构造，其倒格子原胞是边长为对于体心立方构造，其倒格子原胞是边长为2/a的面心立方的面心立方格子，布里渊区那么是从坐标原点到最近邻的格子，布里渊区那么是从坐标原点到最近邻的12个面心的个面心的倒倒格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度nK由此得由此得正好等于面对角线长度的一半，正好等于面对角线长度的一半， 即即 aaKn22221 于

18、是从于是从(3)式给出式给出21aKdn (4) 根据衍射实际，对于体心立方格子，只需晶面指数之和为偶数根据衍射实际，对于体心立方格子，只需晶面指数之和为偶数的晶面族才干产生的晶面族才干产生1级反射，因此从级反射，因此从(3)(4)两式容易看出，与布两式容易看出，与布里渊区边境面相对应的反射晶面族的面指数为里渊区边境面相对应的反射晶面族的面指数为 . 110解：解： snRRRki0JeAEkEnsn 最最近近临临(1) 式中式中sR和和nR分别为参考原子及其最近邻的位矢。分别为参考原子及其最近邻的位矢。 在面心立方格子中，有在面心立方格子中，有12个最近邻。个最近邻。=0,12个最近邻的坐标

19、分别是个最近邻的坐标分别是sR5.10 用紧束缚方法处置面心立方晶格的用紧束缚方法处置面心立方晶格的s态电子，假设只计态电子，假设只计最最近邻的相互作用，试导出其能带表达式。近邻的相互作用，试导出其能带表达式。原点时，原点时，晶体中晶体中s态电子的能量表示为态电子的能量表示为假设只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，假设只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，当取参考原子为坐标当取参考原子为坐标对于对于s态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，JJsn ，那么从，那么从(1)式得式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1

20、, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1 , 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeJAEkE令令 zyzxyx0k2acosk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4JAE zzyyxxzzy

21、yxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2ai0eeeeeeeeeeeeJAE5.11 证明：在三维晶格中，电子的能量在证明：在三维晶格中，电子的能量在k空间中具有空间中具有 hKkEkE , ,式中式中hK为任一倒格矢。为任一倒格矢。周期性：周期性：证明：证明： ruerkrkik 2(1) 波函数波函数 rk 具有如下性质：具有如下性质： reTrrTkTkikk 2(2) (2) 代表平移算符。代表平移算符。 T显然，平面波显然，平面波可写成可写成按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电子的波函数按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电

22、子的波函数 riKkhKkhCer 2满足满足(2)式，式， hK为恣意倒格矢。为恣意倒格矢。 因此，电子波函数该当是一切因此，电子波函数该当是一切 rhKk 的线性叠加，即的线性叠加，即 rArhhhKkKKkk rKi2KKkrki2rKki2KKkhhhhhheBeeB (3) 其中其中 hhKkKkCAB 。 对比对比(1)(3)两式可知两式可知 rKiKKkkhhheBru 2(4) 容易看出，容易看出， ruk具有晶格的周期性。具有晶格的周期性。 由由(4)式还可得到式还可得到 rKiKKKkKkhhmhmeBru 2其中其中 mK也为任一倒格矢。也为任一倒格矢。 令令 hmlKK

23、K ， 那么上式可以写成那么上式可以写成 r)K(Ki2KKkKkmlllmeBru rKi2KKkrKi2lllmeBe ruekrKi2m (5) 由由(1)(5)式，有式，有 ruerhhhKkrKki2Kk rueekrKi2rKki2hh rruekkrki2 (6) 即电子波函数在即电子波函数在k空间具有平移对称性。空间具有平移对称性。由薛定谔方程由薛定谔方程 rkErHkk rKkErHhhKkhKk 结合结合(6)式，立刻得到式，立刻得到 hKkEkE 5.12 证明在任何能带中，波矢为证明在任何能带中，波矢为k和波矢为和波矢为k的形状有一样的形状有一样的能量，即的能量，即 k

24、EkEnn kEn这里这里 代表简约布里渊区中第代表简约布里渊区中第n个能带的态能量。个能带的态能量。 证明：证明： rV表示，电子波函数用表示，电子波函数用 rnk 表示，表示， 那么薛定谔方程为那么薛定谔方程为 rkErrVrmhnknnknk 222从布洛赫定理知道，波函数从布洛赫定理知道，波函数 ruernkrkink 2假设周期性势场用假设周期性势场用代入薛定谔方程，并由代入薛定谔方程，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到决议函数便可得到决议函数 runk的方程：的方程： rukErurVrukk imhnknnknk 2222442 (1) 取取(1)式的共轭复

25、式，得式的共轭复式，得 rukErurVrukk imhnknnknk*2222442 (2) 假设在假设在(1)式中用式中用 k 替代替代 k，那么有，那么有 rukErurVrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比较比较(2)(3)式可知，除了满足式可知，除了满足 ruruknnk ,*之外，之外， 显然有显然有 kEkEnn 可见，在任一能带可见，在任一能带 nE中，波矢为中，波矢为 k k一样的能量。一样的能量。和和 的两形状具有的两形状具有5.13 证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自在证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自在电子的动能，比该区侧

26、面中点处的电子动能大倍。电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大倍。 对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？证明：证明：角隅处角隅处C和侧边中点处和侧边中点处A的的波矢分别为波矢分别为ACoxkyka1akakCA22,21 k空间空间 中一个边长为中一个边长为1/a的正方形的正方形(如图如图 )。 对边长为对边长为a的二维正方格子的二维正方格子, 其第一布里渊区是其第一布里渊区是相应的自在电子能量为相应的自在电子能量为222222224282mahmkhEmahmkhECCAA 可见，可见， ACEE2 对于三维简单立方对于三维简单立方晶格，假设晶格

27、常数为晶格，假设晶格常数为a，第一布里渊区是一个边第一布里渊区是一个边长为长为1/a的立方体的立方体(如图如图)，akakCA23,21 。ACoxkykzka1此时此时相应的自在电子能量为相应的自在电子能量为2222222283282mahmkhEmahmkhECCAA 可见，可见， ACEE3 即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅 处一个自在电子的能量等于侧面中点处能量的处一个自在电子的能量等于侧面中点处能量的3倍。倍。5.14 运用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为运用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为 3322110coscoscos2akJak

28、JakJAEkEzyx 式中，式中， 3210，、 iJAEi对知晶体可视为常数；对知晶体可视为常数； 321 ， iai是晶格常数。是晶格常数。证明：证明： snRRRkiJeAEkEnsn 最近临 20 (1) 式中式中 nsRR,分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢，分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢， snJ是位矢为是位矢为 nsRR,两原子两原子s态电子波函数的交迭积分。态电子波函数的交迭积分。 在紧束缚近似条件下，在紧束缚近似条件下，s态布洛赫电子的能带可表示为态布洛赫电子的能带可表示为取取 0 sR，即以参考原子为坐标原点，即以参考原子为坐标原点，其六个最近邻的坐标分别为其六个

29、最近邻的坐标分别为 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入代入(1)式，得式，得 1120, 120, 10akiakixxeJeJAEkE 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyeJeJeJeJ (2) 留意到留意到 0 , 0 ,1a和和 0 , 0 ,1a 两原子与原点间隔相等，两原子与原点间隔相等， 应有应有 那么对于简单正交晶系，那么对于简单正交晶系， 10, 10, 1JJJ 同理同理 20,20,2JJJ 30,30,3JJJ 代入代入(2)式，并运用尤拉公式进展化简即得式

30、，并运用尤拉公式进展化简即得 33221102cos2cos2cos2akJakJakJAEkEzyx 或一致表示为或一致表示为 iiiiakJAEkE 2cos2310 5.15 设电子能谱仍和自在电子一样，试采用简约能区图方式，设电子能谱仍和自在电子一样，试采用简约能区图方式，粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域内沿内沿 100方向的电子的方向的电子的 kE图。图。 解：解：k空间中一个边长为空间中一个边长为1/a的的简单立方格子，如下图。简单立方格子，如下图。6个最近邻的倒格点，分别位于各临近区域内，它们对应的倒格个

31、最近邻的倒格点，分别位于各临近区域内，它们对应的倒格矢分别为矢分别为 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa简单立方晶格的第一布里渊区是简单立方晶格的第一布里渊区是取立方体中心的倒格点为原点，它有取立方体中心的倒格点为原点，它有在简约能区图式表示法中，在简约能区图式表示法中，一切的电子波矢一切的电子波矢k都要变都要变 换到第一布里渊区内。换到第一布里渊区内。 为简为简 单计，此题的计算只取原点单计，此题的计算只取原点o和界面上的点和界面上的点A,B。 这样，这样， 设设 k可取可取 100方向上一切方向上一切能够的值，

32、其对应的能量为能够的值，其对应的能量为 222KkmhE 1E2E6543EEEE,7E kE2a1 2a1ko02040608于是，第一区及其临近区域内沿于是，第一区及其临近区域内沿 100方向的方向的Ek图可分别求出图可分别求出 如下：如下： (1)第一布里渊区第一布里渊区0 K2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0mahEakmahEakEkBBAA 据此可作略图，如图中的据此可作略图，如图中的 1E曲线。曲线。 图中图中 2208/ mah 取作能量的单位。取作能量的单位。(2)各临近区域各临近区域当当 0 , 0 ,1aK时，那么时，那么 222222222

33、22002089,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略图如曲线作略图如曲线 2E。 当当 0 ,1, 0aK时，那么时，那么 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略图如曲线作略图如曲线 3E。 当当 0 ,1, 0aK时，那么时，那么 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略图如

34、曲线作略图如曲线 4E。 当当 aK1, 0 , 0和和 aK1, 0 , 0时，时， 所得曲线所得曲线 65,EE与曲线与曲线 43,EE重合。重合。 当当 0 , 0 ,1aK时，有时，有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略图如曲线作略图如曲线 7E。 5.16 设有晶格常数为设有晶格常数为a、2a、3a的简单正交晶格，试求：的简单正交晶格，试求：1简约布里渊区的图形及体积；简约布里渊区的图形及体积；2在自在电子近似下，费密面与简约布里渊区的各边在自在电子近似下，

35、费密面与简约布里渊区的各边境面相切时所对应的价电子数与原子数之比；境面相切时所对应的价电子数与原子数之比；3假设该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边境假设该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边境面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。解：解：1令简单正交晶格的三个晶轴分别为令简单正交晶格的三个晶轴分别为X、Y、Z轴，那轴，那么么它的基矢可写成它的基矢可写成 k3aaj2aai aa321可求出它的倒格子基矢可求出它的倒格子基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢可写成由此倒格矢可写成 kh31jh21iha2bhbhbhK32

36、1332211h而布里渊区边境面由式而布里渊区边境面由式02KkKhh 给出给出0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的几个倒格矢，得到的相应边境面可列表如下：取最短的几个倒格矢，得到的相应边境面可列表如下：边境面方程边境面方程边境面方程边境面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a132k3kzy 从上面的平面方程中，可以看到离原点最近的几个面是上

37、表中从上面的平面方程中，可以看到离原点最近的几个面是上表中列出的最前面三个方程所表示的六个平面。列出的最前面三个方程所表示的六个平面。 这六个平面围成这六个平面围成一个长方体如下图，这就是该晶格的第一布里渊区，一个长方体如下图，这就是该晶格的第一布里渊区， 它的它的体积是体积是 3321a34bbb xkzkyk2在自在电子近似下，费米面为球面。在自在电子近似下，费米面为球面。当费米面与第一布里渊区的当费米面与第一布里渊区的三对平面相切时的半径分别为三对平面相切时的半径分别为 3ak2akak321FFF1由由 312312Fn3VN3h 式可得各情况下的相应电子密度式可得各情况下的相应电子密

38、度 332F223332F322332F32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每个原胞的体积每个原胞的体积 33216aaaa 根据以上几式可求出各个原胞内所含的自在电子数根据以上几式可求出各个原胞内所含的自在电子数20.2327281a6anN0.79424a6anN6.323a6anN333333223311 由于简单正交格子是简单格子，所以每个原胞中只包含一个由于简单正交格子是简单格子，所以每个原胞中只包含一个原子，因此上面算得的原子，因此上面算得的即分别是三种情况下的即分别是三种情况下的321N,N,N自在电子数与原子数之比。自在电子数与原子数之比。

39、3 假设费米面是与简约布里渊区的各个边境面相切的椭球假设费米面是与简约布里渊区的各个边境面相切的椭球面，那么它的费米面方程可写成面，那么它的费米面方程可写成1kkkkkk2F2z2F2y2F2x321 这里的这里的321FFFk,k,k分别是椭球的三个主轴长度，由分别是椭球的三个主轴长度，由2给出。给出。椭球椭球 V中可以有中可以有 V2V3 个轨道形状。个轨道形状。思索自旋，那么在椭球费米面内可包容的电子数为思索自旋，那么在椭球费米面内可包容的电子数为 V22VN3因此晶体的电子密度为因此晶体的电子密度为 V22VNn33每个原胞所含的电子数即为每个原胞所含的电子数即为 V22nN3C由于简

40、单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子，所以由于简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子，所以CN也即是自在电子数与原子数之比。也即是自在电子数与原子数之比。为了得到为了得到CN值，必需值，必需知道椭球的体积知道椭球的体积 。 V为此。令为此。令 zrkkyrkkxrkk321FzFyFx5由由3、5两式可知两式可知42222rzyx 即变成一个半径为即变成一个半径为r的球面方程，它的体积为的球面方程，它的体积为3r34V 在作在作5式的变换时，相对应的体积变换关系为式的变换时，相对应的体积变换关系为3FFF3FFFzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkVV321321 所以所以321321FFF3FFFkkk34VrkkkV 把上式代入把上式代入4式，并利用式，并利用1、2式，即可得晶体中式，即可得晶体中自在电子数与原子数之比自在电子数与原子数之比 321FFF333Ckkk346a2222N 3a2aa2akkk2a23FFF23321 1.053 5.17 体心立方晶格，原子总数为体心立方晶格，原子总数为N 。假设电子等能面为球面，。假设电子等能面为球面，试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里渊区实践填充的电子数。渊区实践填充的电子数。解：解：因此，在第一布里渊区内实践填充的电子数