[物理]数字信号处理第3章 离散傅里叶变换DFTppt课件

1、3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的根本性质离散傅里叶变换的根本性质3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT的运用举例的运用举例第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，那么定义x(n)的N点离散傅里叶变换为 10( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n WX(k)的离散傅里叶逆变换为101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2

2、)NknNnX kDFT x nX n WN 式中 ,N称为DFT变换区间长度NM，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 2jNe 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8， 那么273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk 3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W比较上面二式可得关系式22

3、( )( ),0kN-1(3.1.3)( )(),0kN-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系 3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WknN的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中X(k)隐含周期性，且周期均为N。对恣意整数m，总有(),kk mNNNWWk m N均为整数 所以(3.1.1)式中， X(k)满足1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n

4、) 实践上，任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)那么是 的一个周期，即xx( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn为了以后表达方便， 将(3.1.5)式用如下方式表示： ( )( )(3.1.7)Nx nx n图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余，即假设 n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数， 那么 (n)N=n1 例如， 55, ( )( ) ,Nx nx n 那么有55(5)(5)(0)(6)(6)(1

5、)xxxxxx所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。 假设x(n)的长度为N，且 (n)=x(n)N，那么可写出 (n)的离散傅里叶级数为xx11100010( )( )( )( )11( )( )( )NNNknknknNNNNnnnNknknNNnX kx n Wx nWx n Wx nX k WX k WNN(3.1.8) (3.1.9) 式中 ( )( )( )NX kx k Rk(3.1.10)3.2 离散傅里叶变换的根本性质离散傅里叶变换的根本性质 3.2.1 线性性质 假设x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式

6、中a、b为常数，即N=maxN1, N2，那么y(n)N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，那么x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2)图 3.2.1 循环移位过程表示图 2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 那么Y(k)=DFTy(n)=WN-kmX(k) 其中

7、X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 3. 频域循环移位定理假设X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)那 么 y ( n ) = I D F T Y ( k ) = W N n l x ( n ) (3.2.4) 3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 假设 X(k)=X1(k)X2(k) 那么110( )( )( )()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn(3.2.

8、5) 120( )( )( )()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn 1211201221( )( )( )( ) ()( )( ) ( )( )( )( )( )NNNmx nx nx nx m xn mR nX kDFT x nX kX kX kX k 循环卷积过程中，两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。 显然与普通的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为由于 所以 1221( ) ( )( )( )( )( )x nIDFT X kx nx nx nx n即循环卷积亦满足交换律。 3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=

9、DFTx(n) 那么 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0) 3.2.5 DFT的共轭对称性 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，那么二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-xop* (N-n), 0nN-1 (3.2.10) 当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到 上式更清楚地阐明了有很长序列共轭对称性的含义。如图3.2.3所示。图中*表示

10、对应点为序列取共轭后的值。 ()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列表示图 好像任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 (3.2.11) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14) 2. DFT的共轭对称性 (1) 假设x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+

11、Xop(k)Xep(k)=DFTxr (n), X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFTjxi (n), X(k)的共轭反对称分量 (2) 假设x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 (3.2.17) X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k) (3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n) 设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，那么 (1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19) (2) 假设 x(n)=x(N-m) 那 么 X ( k ) 实 偶 对 称 ， 即

12、 X ( k ) = X ( N - k ) (3.2.20) (3) 假设x(n)=-x(N-n)，那么X(k)纯虚奇对称， 即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21) 利用DFT的共轭对称性，经过计算N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT，设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 对x(n)进展DFT，得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 由(3.2.16)式、 (3.2.13)式和(3.2.14)式得到 Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2

13、(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以 X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k) 3.3 频率域采样频率域采样 设恣意序列x(n)的Z变换为( )( )nnX zx n z且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。 在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到22( )( )( ),0kN-1(3.3.1)jkNjknNz enX kX zx n exN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1 由DFT与DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 (

14、k)的主值序列， 即xx1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN 假设序列x(n)的长度为M， 那么只需当频域采样点数NM时， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否那么产生时域混叠景象。 这就是频域采样定理。 10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn(3.3.2) (3.3.3) 下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内

15、插公式和内插函数。设序列x(n)长度为M，在频域02之间等间隔采样N点，NM，那么有 21010( )( )( )( ),0,1,2,11( )( )( )( )jkNNnnz eNknNkX zx n zX kX zkNx nX zX kX k WN式中 11011011( )( )111( )1( )( )( )NNkkNNkkNNkkzX zX kNWzzzNWzX zX kz(3.3.4) (3.3.5) (3.3.6) 式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，k(z)称为内插函数。当z=ej时，(3.3.5)式和(3.3.6)式就成为x(n)的傅里叶变换X(ej)的内插

16、函数和内插公式， 即(2/)1011( )1()( )( )j Nkjk NNjkkeNeX eX k 进一步化简可得 101()22()( ) ()1 sin(/2)( )sin(/2)NjkNjX eX kkNNeN (3.3.7) (3.3.8)3.4 DFT的运用举例的运用举例 DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通讯、言语信号处置、图像处置、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达实际、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛运用。 3.4.1 用DFT计算线性卷积 假设112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx nx m xnmR n1122( )

17、( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0kL-1那么由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1* 由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图3.4.1所示的计算框图，在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因此常用DFT(FFT)计算循环卷积。 图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 在实践运用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进展滤波处置等，需求计算两个序列的线性卷积 与计算循环卷积一样，为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此

18、导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有很长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n(3.4.1) (3.4.2) 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL对照式(3.4.1)可以看出， 上式中 10( ) ()

19、()( )()( )NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n(3.4.3) 图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n

20、)x(n) 设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 那么0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4) 图 3.4.4 重叠相加法卷积表示图 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n) 3.4.2 用DF

21、T对信号进展谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 延续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进展计算，使其运用遭到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适宜数值运算，成分分析离散信号和系统的有力工具。 1. 用DFT对延续信号进展谱分析 工程实践中，经常遇到的延续信号xa(t)，频谱函数Xa(j)也是延续函数。 设延续信号xa(t)继续时间和Tp，最高频率为fc，如图2.4.5所示。xa(t)的傅里叶变换为 对xa(t)以采样间隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采样得 a(t)=Xa(nT)。设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得2(

22、)( )( )jfaaaXifFT x tx t etdt120()()NjfnTanX ifTx nT e 显然，Xa(jf)仍是f的延续周期函数，xa(t)和X(jf)如图3.4.5(b)所示。对X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点，采样间隔为F，如图3.4.5(c)所示。参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式： 11spfFNNTFT由于NT=Tp， 所以 (3.4.5) (3.4.6) 将f=kF和式(3.4.5)代入X(jf)中可得Xa(jf)的采样210()()NjknNanX jkFTx nT e 0kN-1 ( )(), ( )()aaXkX jkfx nx nT令

23、那么 21010210( )( ) ( )2( )()( )1( )1( )NjknNanNnNejknNanaXkTx n eT DFT x nx nXa nTFXa k ejknNFNXkNIDFT XkT(3.4.8) 理想低能滤波器的单位冲击呼应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图3.4.6(a)、 (b)所示。 图中sin()( )ath tt图 3.4.6 用DFT计算理想低通滤波器频响曲线 如今用DFT来分析ha(t)的频率呼应特性。由于ha(t)的继续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25s(即采样速度fs=4Hz)，采样点数N=Tp/T=3

24、2。此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 那么 H(k)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)，为了防止在DFT运算中发生频率混叠景象，要求采样速率fs满足下式 fs2fc (3.4.9) 按照(3.4.5)式，谱分辨率F=fs/N，假设坚持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必需降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。如维持fs不变，为提高分辨率可以添加采样点数N，由于NT=Tp，T=f-1s，只需添加对信号的察看时间Tp，才干添加N。 Tp和N可以按照下式进展选择:21cpfNFTF(

25、3.4.10) (3.4.11) 例 3.4.1 对实信号进展谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。假设fc不变，要求谱分辨率添加一倍，最少的采样点九和最小的记录时间是多少? 解： 因此TPmin=0.1 s， 由于要求fs2fc， 所以 110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF 2. 用DFT对序列进展谱分析 我们知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换， 即为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求minmin225

26、001000510.25pNTs()( )jjz eX eX z 对周期为N的周期序列 ， 由(2.3.10)式知道， 其频谱函数为 用DFT的隐含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并进展N点DFT得到( )x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 ( )x n( )x n( ) ( ) ( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k Rk 假设截取长度M等于 (n)的整数个周期， 即M=mN， m为正整数， 那么 x2102(1)0(

27、)( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,那么2 ()110221100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,Mjkrmrme由于 k/m=整数k/m整数 假设 的周期预先不知道， 可先截取M进展DFT， 即(),( )0,MkmXXkmk/m=整数k/m整数 x( )( )( )( )(

28、),01MMMMxnx nRnXkDFT xnkM再将截取长度扩展一倍， 截取2222( )( )( )( )( ),021MMMMxnx nRnXkDFT xnkM图 3.4.7 单位圆与非单位圆采样 例如， 要求计算序列在半径为r的圆上的频谱， 那么N个等间隔采样点为 , k=0, 1, 2, , N-1， zk点的频谱分量为 2jkNkzre210()( )( )kNjknNkz znX zX zx n r e( )( )nx nx n r令 那么 210()( ) ( ),01NjknNknX zx n eDFT x nkN(3.4.12) 3. ChirpZ变换 设序列x(n)长度为

29、N， 要分析z平面上M点频谱采样值， 分析点为zk, k=0, 1, 2, , M-1。 设 zk=AW-k, 0kM-1 式中A和W为复数， 用极坐标方式表示为00000000jjjjkkkAA eWW ezA e We(3.4.13) 式中A0和W0为实数。 当k=0时有000jzA e 将zk代入Z变换公式得到1010()( )( ),01NknknNnknnX zx nAWx n A WkM利用下面的关系式： 2221() 2nknkkn 得到: 222222221() /201/2/2() /20/2/2()( )( )( )( )( )Nknnkk nnNknnk nnnnnX zx n A WWx n A WWy nx n A Wh nW令 21/20()( ) (),01NkknX zWy n h knkM(3.4.14) 图 3.4.8 Chrip-Z变换分析频率点分布图 图