实对称矩阵的相似对角化PPT课件

1、实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,),(,)(21TnnnijaaaaATAAAA为实对称阵，故由于性质性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。,的特征值阶实对称矩阵是设An（1）两端取转置，得：TTTA两端同时右乘TT02T 性质性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。Tnaaa),(21，即是对应的特征向量A,两边取共轭，得：) 1 (ATTATTA0)(T的特征向量。的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），（），（个特征值，的

2、是三阶实对称方阵，例：设11122,111311121AAATT,13213TxxxA），（的特征向量为的属于特征值设正交，与213,0220321321xxxxxx122111A1001111000110312xxxT），（01130,2313）（）（性质性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。二、实对称矩阵的相似对角化：二、实对称矩阵的相似对角化：定理定理1：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。一定与对角矩阵相似。为对角阵。，使求正交阵为对角阵。，使求可逆阵，：设例AQQQAPPPA11)2() 1 (242422

3、2211242422221EA)7()2(2定理定理2：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。一定与对角矩阵正交相似。. 7, 2321TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(21.)221 (733T，的特征向量为的线性无关的特为属于特征值2.征向量210201122321P7221APP正交化，得：将TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(21再单位化，得：TT)535,534,532()0 ,51,52(21，TT)5 , 4 , 2(51)0 , 1 , 2(111122211bbbbbb），（），（，.323231)221 (33TT），（单位化，得：

4、，将32535032534513153252321Q7221AQQ用正交阵将实对称矩阵用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：化为对角阵的步骤：的特征向量。它们仍为属于，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将iiriiiriiiimimiriiiii), 2 , 1(,), 2 , 1(,)(2121.), 2 , 1(,)(121nrmiriimiiiriiiii由性质知；征向量个线性无关的特，求出对应的对每一个重特征值;,)(21mAi的所有相异的特征值求出为对角阵。此时即为所求的正交方阵。，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位

5、AQQAQQQQnivT1)(为对角阵。，使求正交阵为对角阵。，使求可逆阵，特征值为设AQQQAPPPAEX11)2() 1 (412020212022:12221222131),(321Q122212221),(321P。，使及正交阵求，正交相似于设210,21011111:1AQQQlkllkkAEXlkA , 0.101010101A2102101021021Q. 0, 0.lkEA三者的互求及或QPA,.PAAA似变换矩阵及相在相似时求出对角阵能否与对角阵相似，并判断从而可以的特征值及特征向量，可以求出已知的特征向量。为APPPPPnn,),(11APP1的特征值；为Ann,11. A

6、PAA，也可以求出矩阵与量，也就是已知的特征值及特征向与对角阵相似且已知反之，若1PPA.,)2 , 1, 2(,) 1 , 2, 2(,)2 , 2 , 1 (. 3 , 2 , 1,1321AiiAATTTii求满足：设三阶方阵例. 3 , 2 , 1, iiAii的特征向量。的属于特征值是3 , 2 , 1,321A且与对角阵相似。212122221),(321P3211PPA62225020731212122221911P.1122,1113111221AAATT特征向量，求的的属于特征值是），（），（个特征值，的是三阶实对称方阵，：设例011121121),(321P0212112121221211P1111PPA100001010三、矩阵的合同三、矩阵的合同BABABAPPPnnBAT合同，记为与，则称矩阵使得，阶可逆阵阶矩阵，若有为两个，定义：设.合同矩阵具有自反性、对称性、