材料力学第14章ppt课件

1、整理课件第第1414章章 梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介整理课件l在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组合变形问题进行分析。合变形问题进行分析。l如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太小，则小，则纵

2、向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线性的性的，这类问题称为，这类问题称为纵横弯曲纵横弯曲。14.1 梁的纵横弯曲梁的纵横弯曲整理课件受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。梁柱。1. 轴向压力与横向载荷联合作用的梁轴向压力与横向载荷联合作用的梁22d vEIMdx alx0PvlxlalQdxvdEI)(22lxalQxClABavPPyxQaxPvl 整理课件 记记 通解分别为通解分别为2kEIPxEIlQ

3、avkdxvd222alx0EIlxlalQvkdxvd)(222lxalxPlQakxBkxAvsincosalx0PlxlalQkxDkxCv)(sincoslxal整理课件u由两端挠度为零的边界条件，可以求出由两端挠度为零的边界条件，可以求出u 由由C截面的连续条件截面的连续条件xPlQakxBkxAvsincosalx0PlxlalQkxDkxCv)(sincoslxalDtgklCA , 0PlalQaalkalktgklDPlalQaalkB)()(sin)(cos)()(sinPlalQalkalktgklDkPlQaalB)()(cos)(sin)cos(整理课件klPKkaQ

4、BsinsinPktgklalkQD)(sinkxklPkaQkdxvdPlQakxklPkaQdxdvxPlQakxklPkkaQvsinsinsincossinsinsinsinsin22alx0)(sinsin)(sin)()(cossin)(sin)()()(sinsin)(sin22xlkklPalkQkdxvdPlalQxlkklPalkQdxdvxlPlalQxlkklPkalkQvlxal整理课件2la 22lEIPklumax12xvv对于集中力对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，作用在跨度中点的特殊情况，记记 3( )48QluEI33()( )tguuuu 放大系数放大

5、系数333()()22248QklklQltguutgPkEIu整理课件11sinsinsininniiiiikxxvQkaQ aPkklPlQ1xlABa1vPPyxQml-amQnan11sin ()()sin ()()sinmmiiiii ni nk lxlxQk laQ laPkklPl 整理课件例例14-1试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支梁的变形，并计算最大弯矩。梁的变形，并计算最大弯矩。解解：22222d vqqlEIxxPvdx)(22222lxxEIqvkdxvdxlABvPPyxqA整理课件通解为通解为2cossin()2qxq

6、vAkxBkxlxPPkPkqA2klklPkqBsincos12)(2) 1sinsincos1(cos2xlPqxkxklklkxPkqv221(1)8cos2qqlklk PPu由两端挠度为零的边界条件，可求出由两端挠度为零的边界条件，可求出max2lxvv整理课件)24521cos1(3845424maxuuuEIqlv0ABxdvdx )1cos1(2822maxuuqlM22lEIPklu同前，记同前，记 ，则，则 331243qltguuEIu3( )24qluEI整理课件xlABvPPyxABMB例例14-2图示简支梁受轴向压力并在一端有集中力偶作图示简支梁受轴向压力并在一端有

7、集中力偶作用，试分析其变形。用，试分析其变形。解解：xEIlMvkdxvdb222通解为通解为xPlMkxBkxAvbcossinklPMAbsin0B利用两端挠度为零的边界条件求得利用两端挠度为零的边界条件求得整理课件)sinsin(lxklkxPMvb于是于是0Axdvdx1311()()3222bbBx lMM ldvkdxPltgklEIuutg u 1()sinbMkPkll311()6sin22bM lEIuuu( )6bM luEI( )3bM luEI 整理课件)212sin1(3)(uuuu311( )()222uuutg u)(3)(3utguuu放大系数放大系数整理课件利

8、用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁问题。问题。 lABPPqxABPPyxqMoMo利用上两例结果，有利用上两例结果，有333()24qltguuEIuA0311()3222M lEIuutg u0311 ()6sin22M lEIuuu300( )( )( )2436M lM lqluuuEIEIEI整理课件由由0A，得，得203 ( )122 ( )( )qluMuu 整理课件QxClABavPPyx2. 轴向拉力与横向载荷联合作用的梁轴向拉力

9、与横向载荷联合作用的梁受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为系杆系杆或或系梁系梁 。PvxlQadxvdEI22alx022()()d vQ la lxEIPvdxl lxal 与受轴向压力的情况解法类似，可得与受轴向压力的情况解法类似，可得整理课件kPlQashkxPkshklQshkavalx0PlxlalQxlshkPkshklalQshkv)()()(lxal)(3483321maxuthuuEIQlvvx421maxuthuQlMMx整理课件在梁柱问题中以在梁柱问题中以- P代替代替P，以，以ki代替代替k，以，以ui代替代替u，并利用下列，并利

10、用下列关系：关系：ithktgkichkkiishkki,cos,sin就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。 整理课件xlABvPPyxq例例14-3 试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠度和两端转角。度和两端转角。解解：利用例14-1的结果，得 21()(1)2qchklqx lxvchkxshkxk PshklPPqlklchPkqvvlx8) 121(222max330)(324uthuuEIqldxdvxBA整理课件14.2 弹性基础上的无限长梁弹性基础上的无限长梁 具有密集或连续弹性支撑特点的梁具

11、有密集或连续弹性支撑特点的梁，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。弹性基础梁弹性基础梁 假设：假设：梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠 度成正比度成正比。 （德国科学家（德国科学家E.Wenkler于于1867年提出。）年提出。）xv(x)xyq(x)整理课件1. 微分方程及其通解微分方程及其通解 xv(x)xyq(x)()(xkvxqr( )rq xk( )v x基础支反力基础支反力 弹性基础系数，量刚为弹性基础系数，量刚为力力/长度长度2 挠度挠度 整理课件xv(x)xyq(x)(22xMdxvdEI)

12、(22xqdxMd)(44xqdxvdEI)()(44xkvxqdxvdEI整理课件44EIkEIxqxvdxxvd)()(4)(44404444vdxvd引进记号引进记号对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程)()(44xkvxqdxvdEI整理课件( )( cossin)(cossin)xxv xeAxBxeCxDx其通解为其通解为A、B、C、D为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。04444vdxvd(14-31) 整理课件xyPvMQ2. 无限长梁无限长梁（1）受集中载荷作用的无限长梁）受集中载荷作用的无限长梁 ( )

13、0 xv x依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。0 DC)sincos()(xBxAexvx0 xdxdvBA )sin(cos)(xxAexvx整理课件3300 xxd vEIQdx 38EIPA 3( )(cossin)8xPv xexxEI)sin(cos)(xxAexvx2P整理课件3( )(cossin)8xPv xexxEImax0 xvvmax0 xMM22(sincos)4xd vPMEIexxdx 2sin4xdvPexdxEI 33cos2xd vPQEIexdx 2Pk4P(14-35) 整理课件1234(cossin)sin(coss

14、in)cosxxxxexxexexxex113( )82PPv xEIk为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数 3( )(cossin)8xPv xexxEI(sincos)4xPMexx2sin4xPexEI cos2xPQex 22Pk 34PM42PQ (14-37) (14-36) 整理课件212dxd32dxd432dxd14dxd 整理课件xyMoy（2）受集中力偶作用的无限长梁）受集中力偶作用的无限长梁 ( )0 xv x依挠度的反对称性，依挠度的反对称性，仅研究原点右侧的一仅研究原点右侧的一半即可。半即可。)sincos()(xBxAe

15、xvx00 xv00 xxEI vM 02M 0A204EIMB 02( )sin4xMv xexEI整理课件303Mvk对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶作用的两种结果，应用叠加原理求解。作用的两种结果，应用叠加原理求解。 0224MEI202Mk042MMEIv 012MQEIv 整理课件xyxlqAd例例14-4如图示，集度为如图示，集度为q、分布长度为、分布长度为l 的均布载荷作的均布载荷作用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。度。解解：)sin(cos8

16、3eEIqddv整理课件()2cos()cos2l xxqelxexk30( )(cossin)8xqdv xeEIxyxlqAd30(cossin)8l xqdeEI整理课件xy2mAPPPP2m2mBCD例例14-5弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的集中力作用，如图示。梁为集中力作用，如图示。梁为20b20b工字钢，已知工字钢，已知E= =40MPa40MPa，I=2500cm=2500cm4 4，W=250cm=250cm3 3，基础系数，基础系数k= =30MPa30MPa 。若集中力。若集中力P= =100kN100kN，试求，试求B B

17、截面的变形、内力及最大应力。截面的变形、内力及最大应力。解解：1489641 . 110250010200410304mEIk整理课件以以B点为原点，根据图中各集力到点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下表点的距离求得函数值如下表载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377根据根据(14-37)式和叠加原理，并考虑到式和叠加原理，并考虑到C、D处载荷在处载荷在B截面右侧，截面右侧，其产生的转角与剪力

18、应改变符号，于是得其产生的转角与剪力应改变符号，于是得12BPvk31.64 10 m36100 101.1(0.0244 1 0.02440.1546)2 30 10 12Pk整理课件22BPk 载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.0037754.71 10326100 101.1(0.089600.08960.01168)30 10 22Pk 整理课件34BPM载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.

19、410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.003773100 10( 0.1548 1 0.15480.00791)4 1.1 15.87kN m34P整理课件42BPQ 载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.003773100 10( 0.0652 1 0.06520.00377)2

20、50.19kN 42P 整理课件B截面的最大弯曲正应力为截面的最大弯曲正应力为从从B截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有B点的集中力点的集中力影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。max()BBMW3615.87 10250 1063.48MPa整理课件xyPMo3. 半无限长梁半无限长梁( )0 xv x0 DC)sincos()(xBxAexvx仍然利用通解仍然利用通解(14-31)式式2020 xd vEIMdx 031(),2APMEI202EIMB 积分常数积分常数A和和B可由梁左端的静力边界条件求

21、出，即可由梁左端的静力边界条件求出，即330 xd vEIPdx 整理课件031( )cos(cossin)2xxv xPexM exxEI02202331( )(cossin)2cos21( )(cossin)sin)( )2sin(cossin)xxxxxxdvxPexxM exdxEId vM xEIM exxPexdxd vQ xEIPexPexxdx 整理课件40321040120232()2(2)1()2vPMkPMkMMPQMP 采用采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成式的函数表达式，上式还可写成 (14-44) 利用利用(14-44)式并应用叠加原理，就可以解决半无限

22、长梁的较复杂式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂的问题。的问题。 002(),xvPMk 2002(2)xPMk整理课件RMoxyqq/k例例14-6在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长梁，梁的左端固定，如图所示。试求固定端反力和任梁，梁的左端固定，如图所示。试求固定端反力和任意一点的挠度意一点的挠度 。解解：根据根据(14-44)式之第一式并应用叠加原理，式之第一式并应用叠加原理，kqMRkxv)(2)(30400,xv00 xv,qR022qM 由边界条件由边界条件整理课件43( )(12)qv xk1(1)qk1(cossin)xqe

23、xxk整理课件MaxyPaQaxxyPaxyMaQa例例14-7半无限长梁上作用一集中力半无限长梁上作用一集中力P，P距左端的长距左端的长度为度为a a，如图示。试求梁的挠度表示式，如图示。试求梁的挠度表示式 。解解：+=4()2aPQa)(43aPMa(14-37) 整理课件14433( ) ()2() ()() ()2Pv xxaxaaxak 1( )()2Pv xxk 44332() ()() ()24PPaxaaxak MaxyPaQax(14-37) (14-44) xyMaQa4()2aPQa)(43aPMa4032()vPMk 整理课件14.3 弹性基础上的有限长梁弹性基础上的有

24、限长梁)sincos()sincos()(xDxCexBxAexvxx1.克雷洛夫函数克雷洛夫函数 xech xsh x)()()()()(44332211xYCxYCxYCxYCxvxech xsh x整理课件)cossin(41)(sin21)()cossin(21)(cos)(4321xxshxxchxYxxshxYxxshxxchxYxxchxY142132434()()()()YYxYYxYYxYYx 21322423124244YYYYYYYY 312323334341444YYYYYYYY 0)0()0()0(, 1)0(4321YYYY克雷洛夫克雷洛夫函数函数(14-49) 整

25、理课件2. 用初参数表示的齐次微分方程的通解用初参数表示的齐次微分方程的通解 01002020303040 xxxxvvCvCMEI vEICQEI vEIC )()()()()(4303202010 xYEIQxYEIMxYxYvxv初参数初参数 (14-53) 整理课件M0 xyPdQ0l3. 用初参数法解有限长梁用初参数法解有限长梁 (1)受集中力作用的有限长梁受集中力作用的有限长梁 1( ) (),v xfxddxl)(dxf 集中力集中力P产生的附加挠度产生的附加挠度(14-54) 00010 123423( )()()()(), 0MQv xv YxYxYxYxxdEIEI0002

26、0 123423( )()()()() ()MQv xv YxYxYxYxfxdEIEI整理课件)()()(12xvxvdxf也应满足相同的齐次微分方程，故也应满足相同的齐次微分方程，故 1 1223 344 ()C ()C ()C ()C ()fxdYxdYxdYxdYxd12221212x dx dx dx dx dx dx dx dvvvvEIvEIvEIvEIvP 10c 20c 30c 43PcEI)()(43dxYEIPdxf整理课件(14-57) 0000 12342343( )()()()() ()x dMQv xv YxYxYxYxEIEIPYxdEI整理课件M0 xycQ0

27、lMc(2)受集中力偶作用的有限长梁受集中力偶作用的有限长梁 00010 123423211 1223 344( )()()()(), 0( )( ) () ()C ()C () C ()C ()MQv xv YxYxYxYxxcEIEIv xv xgxccxlgxcYxcYxcYxcYxc整理课件12221212x cx cx dx ccx cx cx cx cvvvvEIvEIvMEIvEIv 124320cCCCMCEI 0000 12342332( )()()()() ()cx cMQv xv YxYxYxYxEIEIMYxcEI(14-60) 整理课件xyblaq(x)(3)受分布载

28、荷作用的有限长梁受分布载荷作用的有限长梁 挠度表达式为挠度表达式为(14-53)式；式； bxa0 xa0000 123423( )()()()()MQv xv YxYxYxYxEIEI：431( ) ()xaqYxdEI整理课件M0 xyQ0q(x)blalxb00030 123423( )()()()()MQv xv YxYxYxYxEIEI：431( ) ()xaqYxdEI431( ) ()xbqYxdEI整理课件M0 xyQ0q(x)bla可将三段挠度统一表示成可将三段挠度统一表示成 0000 1234234433( )()()()()11( ) ()( ) ()xxabx ax b

29、MQv xv YxYxYxYxEIEIqYxdqYxdEIEI(14-63) 整理课件M0 xybQ0aq(x)cPMcdl0000 12342344333423( )()()()()11( ) ()( ) () () ()xxabx ax bcx cx dMQv xv YxYxYxYxEIEIqYxdqYxdEIEIMPYxcYxdEIEI(14-65) 整理课件xyPl例例14-8弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试求梁的弯矩方程和剪力方程。求梁的弯矩方程和剪力方程。解解：00,M PQ0，代入式（，代入式（14-53），有），有 )()()()

30、(432010 xYEIPxYxYvxv整理课件0)()(lQlM再由右端边界条件再由右端边界条件 PklYlYlYlYlYlYlYPklYlYlYlYlYlYlYv24223422310422341320)()()()()()()()()()()()()()(将将(14-67)式代回式代回(14-66)式即得梁的弯矩方程和剪力方程。式即得梁的弯矩方程和剪力方程。 (14-67) )()()()()()()()(1330202430320 xPYxYkxYkvxQxYPxYkxYkvxM(14-66) 整理课件例例14-9例例14-814-8中，设梁长中，设梁长l=2m=2m，抗弯刚度，抗弯刚

31、度 EI= =30MPa30MPa，弹性地基系数弹性地基系数k= =8MPa8MPa，P= =30kN30kN。试求解梁的剪力和弯。试求解梁的剪力和弯矩。矩。解解：146640 . 110241084mEIklY1(l)Y2(l)Y3(l)Y4(l)2.0-1.56560.95581.64901.2325代入代入(14-67)式，求得式，求得整理课件代入代入(14-66)式，求得式，求得PxYxYxYxMPxYxYxYxQ)()(2679. 2)(2747. 2)()()(2679. 2)(2747. 2)(2434320222020.9558 1.6490 1.5656 1.23252.2747(1.6490)0.9558 1.23251.5656 1.6490(0.9558)2.26790.9558 1.2325(1.6490)vPPkkPPkk 整理课件xyP=30kN0.5m0.5m0.5m0.5mM