[理学]第二章 矩阵理论小结ppt课件

1、矩阵实际小结矩阵实际小结第一节第一节 矩阵及其运算矩阵及其运算第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第三节第三节 逆矩阵逆矩阵第四节第四节 矩阵实际的运用矩阵实际的运用1 1了解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、了解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、对称阵等的性质。对称阵等的性质。2 2熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。算规律。3 3了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。4 4熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的规范形。规范形。本章学习

2、要求：本章学习要求：对于概念和实际方面的内容，从高到低分别用“了解、“了解、“知道三级来表述；对于方法，运算和才干方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握、“掌握、“能或“会三级来表述。 5 5了解矩阵的秩的概念，知道满秩矩阵的性了解矩阵的秩的概念，知道满秩矩阵的性 质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。 6 6了解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条了解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条 件，会用伴随矩阵求逆矩阵，掌握用初等变换求件，会用伴随矩阵求逆矩阵，掌握用初等变换求 逆矩阵的方法。逆矩阵的方法。 7 7了解矩阵的分块及其运算。了解矩阵的分块及其运算。本章学习

3、要求：本章学习要求：对于概念和实际方面的内容，从高到低分别用“了解、“了解、“知道三级来表述；对于方法，运算和才干方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握、“掌握、“能或“会三级来表述。第二章 矩阵实际由由 m m n n 个数个数 aij ( i =1, 2, , m ; j =1, aij ( i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 2, , n ) 有序地陈列成有序地陈列成 m m 行行( (横排横排) n ) n 列列( ( 竖竖排排 ) ) 的数表的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为一个称为一个 m m 行行 n n 列的矩阵，简记为列的矩

4、阵，简记为 ( aij )m ( aij )m n , n , 通常用大写字母通常用大写字母 A A、B B、C C、表示表示. m . m 行行 n n 列的矩阵列的矩阵 A A 也写成也写成 Am Am n , n , 构成矩阵的每个数称为矩阵的元构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而素，而 aij aij 表示矩阵表示矩阵 第第 i i 行第行第 j j 列的元素列的元素. . 1.1.矩阵及其运算矩阵及其运算 一、矩阵的概念一、矩阵的概念第二章 矩阵实际有几种特殊的矩阵有几种特殊的矩阵: :1) 1) 只需一行的矩阵只需一行的矩阵 ( a1, a2, , an ) ( a1, a2, ,

5、an ) 称为行矩阵称为行矩阵 ；naaa212) 2) 只需一列的矩阵只需一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵 ; ;3) 3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O, O, 假设强调零矩假设强调零矩阵是阵是 m m 行行 n n 列的，那么记为列的，那么记为 Om Om n . n .留意：不同型的零矩阵是不相等的留意：不同型的零矩阵是不相等的. . 同型矩阵同型矩阵 矩阵相等矩阵相等第二章 矩阵实际 二、矩阵的运算二、矩阵的运算设有两个设有两个 m n 矩阵矩阵 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n , 那么矩阵那么矩阵nmijcC)(

6、nmijijba)(称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的和，记为的和，记为 C = A+B.矩阵的加法满足以下运算规律：矩阵的加法满足以下运算规律：( i ) 交换律：交换律： A + B = B + A ;( ii ) 结合律：结合律：( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;( iii ) A + O = A .A B = A + ( B ) = ( aij bij )m n .第二章 矩阵实际设设 为常数为常数, , 矩阵矩阵 A = ( aij )m A = ( aij )m n , n , 那么那么称矩阵称矩阵 ( ( aij ) m aij ) m n n 为数为

7、数 与矩阵与矩阵A A 的乘积，的乘积，记为记为 A, A, 即即nmijaA)( .212222111211mnmmnnaaaaaaaaa 数与矩阵的乘法满足以下运算规律：数与矩阵的乘法满足以下运算规律：( i ) 结合律：结合律： ( ) A = ( A ) = ( A ) ;( ii ) 分配律：分配律： ( A + B ) = A+ B , ( iii ) 1 A = A , ( 1 ) A = A .( + ) A = A+ A ;第二章 矩阵实际设矩阵设矩阵 A = ( aik )m s , B = ( bkj )s n, 那那么定义么定义 A 与与 B 的乘积的乘积 C 为为C

8、= A B.)(2211nmsjisjijibababa留意：只需第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的留意：只需第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才干相乘行数时，两个矩阵才干相乘. . sjjjisiibbbaaa2121第二章 矩阵实际矩阵乘法满足以下运算规律矩阵乘法满足以下运算规律: :(1) 结合律：结合律：( A B ) C = A ( B C ) ; (2) 分配律：分配律：A ( B + C ) = A B + A C ，(B+C) A =B A+C A ; ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) , 为常数为常数.第二章 矩阵实际将将 m m n n 矩

9、阵矩阵 A A 的行和列互换而顺序不变，得的行和列互换而顺序不变，得到的到的 n n m m 矩阵称为矩阵称为 A A 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 AT AT 或或 A A. .矩阵的转置满足以下规律：矩阵的转置满足以下规律：1) ( A T ) T = A ;2) ( A + B ) T = A T + B T ;3) ( A ) T = A T, 为常数；为常数；4) ( A B ) T = B T AT.第二章 矩阵实际1 ) 1 ) 单位矩阵单位矩阵.111nE2 ) 2 ) 对角矩阵对角矩阵.2211nnaaa第二章 矩阵实际3) 3) 三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种

10、三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种,22211211nnnnaaaaaa.21222111nnnnaaaaaa4) 对称阵：对称阵： A T = A 5) 5) 反对称阵：反对称阵： AT = AT = A A第二章 矩阵实际A A = A 2 , A A A = A 3 , A A A = A k .k个个显然有显然有 A k A l = A k + l ,( A k ) l = A k l ( 其中其中 k, l 均为正整数均为正整数 ) .设设 A、B 均为均为 n 阶方阵，普通地阶方阵，普通地( A B ) k A k B k .留意：留意：第二章 矩阵实际nA0021对于一切的

11、正整数对于一切的正整数 k .0021knkkkA第二章 矩阵实际方阵方阵 A A 构成的行列式记为构成的行列式记为 |A| |A| 或或 detA. detA. 假设假设 |A| |A| 0, 0, 那么称那么称 A A 为非奇特为非奇特( (非退化非退化) )的；假设的；假设 |A| = 0 , |A| = 0 , 那么称那么称 A A 为奇特的为奇特的. .由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：1) | A | = n | A | ;2) | A B | = | A | | B | ;3) | A m| = | A | m .非奇特方阵的积仍是非奇特方阵

12、非奇特方阵的积仍是非奇特方阵. . 非奇特方阵的转置矩阵也是非奇特方阵非奇特方阵的转置矩阵也是非奇特方阵. .1)1)计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进展一样的划分，计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进展一样的划分，以保证对应子块同型；以保证对应子块同型；2)2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才干保证对应子块能相乘；第二个矩阵行的分法一致，这样才干保证对应子块能相乘；3)3)求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置再将每个子块转

13、置. .第二章 矩阵实际A注：设矩阵注：设矩阵 A = ( aij ) mA = ( aij ) mn n 分块为分块为 TA那么那么tAAA11211tAAA22221stssAAA21TtTTAAA11211TtTTAAA22221TstTsTsAAA21第二章 矩阵实际假设矩阵假设矩阵 A A 经过某种分块后，能划分成如下方式：经过某种分块后，能划分成如下方式：,21mAAAA其中其中 A , A2 , , Am 均为方阵，那么称均为方阵，那么称 A 为准对角矩为准对角矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质阵，它有着与对角矩阵类似的性质. 如如 . | |21mAAAA第二章 矩阵实际留意：留

14、意：000ABAB或200AA000ABAB或22()()ABABAB2222ABAABBABACBC第二章 矩阵实际定义定义1 1对矩阵施行以下三种变换均称为矩阵的初等行变换对矩阵施行以下三种变换均称为矩阵的初等行变换: :1) 1) 互换矩阵的两行互换矩阵的两行 ( ( 记作记作 ri ri rj ) ; rj ) ;2) 2) 以数以数 0 0 乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行 ( ( 记作记作 ri ri ) ; ) ;3) 3) 将矩阵的某一行各元素乘以数将矩阵的某一行各元素乘以数 后加到另一行的后加到另一行的对应元素上去对应元素上去 ( ( 记作记作 ri + ri + rj )

15、.rj ) .将行换成列，那么称为矩阵的初等列变换将行换成列，那么称为矩阵的初等列变换 ( ( 所用记所用记号将号将 r r 换成换成 c ) . c ) .第二章 矩阵实际单位矩阵单位矩阵 E E 经过一次初等变换后得到的矩阵称为经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵. . 初等矩阵共三种：初等矩阵共三种：110111011),(jiP1) ri rj , 得得第第 j j 行行第第 i i 行行第二章 矩阵实际2) ri ( 0 ) ，得，得1111)(iP第第 i i 行行第二章 矩阵实际3) ri + rj ，得，得1111)(,(jiP 第 i 行第第 j j 行行第二章

16、矩阵实际设设 A A 是一个是一个 m m n n 矩阵，那么对矩阵，那么对 A A 施行一施行一次初等行变换相当于次初等行变换相当于 A A 左乘以一个相应的初等左乘以一个相应的初等矩阵；对矩阵；对 A A 施行一次列变换，相当于施行一次列变换，相当于 A A 右乘以右乘以一个相应的初等矩阵一个相应的初等矩阵. .第二章 矩阵实际A 的不为零的子式的最高阶数称为矩阵的不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩，记为的秩，记为 R ( A ).R ( A ) = k的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 k 阶子式不为零，而一切阶子式不为零，而一切 k+1 阶子式全为零。

17、阶子式全为零。初等变换不改动矩阵的秩初等变换不改动矩阵的秩. .假设矩阵假设矩阵 B 是由矩阵是由矩阵 A 经过有限次的初等变换后所得，经过有限次的初等变换后所得，那么称那么称 A 与与 B 等价等价.AB,A B同型具有相同的秩,A B具有相同的标准形,PQPAQB存在满秩矩阵 和使得方阵方阵 A 非奇特的充要条件是非奇特的充要条件是 A 可以表示为一系列初等可以表示为一系列初等矩阵的乘积矩阵的乘积. (),ijm nAaPQmn设和分别表示是阶和 阶满秩方阵，则()()()( ).R PAR AQR PAQR A假设假设 A 为为 n 阶非奇特矩阵，那么只需对阶非奇特矩阵，那么只需对 A

18、施行初等行变施行初等行变换或换或列变换，可将矩阵列变换，可将矩阵A化为单位阵化为单位阵.0( )( ),0m nl kARR AR BABB()min ( ), ( ),m kk nR ABR A R BAB()( )( ).m ll nR ABR AR Bl()( )( ).R ABR AR B秩的重要公式与结论秩的重要公式与结论第二章 矩阵实际用初等行变换求矩阵的秩的步骤用初等行变换求矩阵的秩的步骤: :mnmmnnaaaaaaaaa2122221112110000000行变换行变换右端矩阵称为阶梯形矩阵，有右端矩阵称为阶梯形矩阵，有 r 行不全为零，那么行不全为零，那么 A 的秩为的秩为

19、 r .第二章 矩阵实际假设对阶梯形矩阵再施行列变换，那么可化为最简方式：假设对阶梯形矩阵再施行列变换，那么可化为最简方式：00000000000001000001000001右端矩阵称为右端矩阵称为 A 的规范形，其左上角为一个的规范形，其左上角为一个 r 阶单位阵阶单位阵 ( r = R ( A ), 其他元素全为零其他元素全为零.第二章 矩阵实际设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，假设存在阶方阵，假设存在 n 阶方阵阶方阵 B , 使使A B = B A = E ,那么称那么称 B 为为 A 的逆矩阵，此时也称的逆矩阵，此时也称 A 可逆可逆.假设矩阵假设矩阵 A 是可逆的，那么是可逆的

20、，那么 A 的逆矩阵是独一的的逆矩阵是独一的.第二章 矩阵实际设设 a11 a22 ann 0 , 那么由定义可直接验证对角矩阵的那么由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵逆矩阵12211nnaaa.1122111nnaaa假设方阵假设方阵 A1 , A2 , , Am 均可逆，那么准对角矩阵均可逆，那么准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵121mAAA.11211mAAA第二章 矩阵实际设设 n 阶方阵阶方阵,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAAij 为元素为元素 aij 的代数余子式的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n ) , nnnnn

21、nnAAAAAAAAAAAAA21323132221212111*称为矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.那么矩阵那么矩阵第二章 矩阵实际且且,*|11AAA其中其中 A* 为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.方阵方阵 A 可逆可逆 | A | 0 ,设设 A、B 均为均为 n 阶方阵，假设阶方阵，假设 A B = E ( 或或 B A = E ) , 那么那么 B = A1 .第二章 矩阵实际*A质：常用性(1)*|;AAA AA E1(2)* |;AAA A则若 可逆，(3) ( *)()*;TTAA1(4) ()*(0);nkAkAk1(5) | *| |;nAA2(6)*)* |;nA

22、AAA则(若 可逆，11(7)*( *)()*;|AAAAAA当时，可逆可逆(8) ()*.ABBA第二章 矩阵实际1) ( A1 ) 1 = A ;2);1)(11AA 3) ( A T )1 = ( A1 ) T ;4) ( A B)1 = B 1 A1 ;5) ;|1|11AAA6) 假设假设 A B = A C 且且 A 可逆可逆 B = C .性质性质 4 还可推行到还可推行到 m 个方阵的情形，即个方阵的情形，即.)(11121121AAAAAAmm特别：特别： ( A m ) 1 = ( A1 ) m .第二章 矩阵实际矩阵性质的比较：矩阵性质的比较： ( A1 ) 1 = A

23、;( A B)1 = B 1 A1 ; ( AT ) T = A ;2*)* |nAAA( ( A B)T = B T AT ;()*.ABBA( *)()*;TTAA11( *)()*AA ( A T )1 = ( A1 ) T ;第二章 矩阵实际( A | E )初等行变换初等行变换( E | A1) .1AEEA 列变换列变换111121mAPP P E11121mEPP P A111121mAEPP P11121mEAPP P第一章 行列式求逆矩阵常用方法求逆矩阵常用方法1.1.定义定义2.2.伴随矩阵法伴随矩阵法11*|AAA3.3.初等变换法初等变换法( A | E )初等行变换初

24、等行变换( E | A1) .1AEEA 列变换列变换第一章 行列式4.4.利用分块矩阵求逆利用分块矩阵求逆121mAAA.11211mAAA11211.mAAA112mAAA第一章 行列式1ACOB1111.AA CBOB1AOCB1111.AOB CAB第一章 行列式证明矩阵可逆的常用方法证明矩阵可逆的常用方法1.1.定义定义2.2.可逆的充要条件可逆的充要条件0A 3.3.反证法反证法第一章 行列式求方阵求方阵A的高次幂的方法的高次幂的方法1.1.数学归纳法数学归纳法2.2.利用矩阵乘法的结合律利用矩阵乘法的结合律3.3.利用二项展开式利用二项展开式4.4.利用准对角矩阵求幂利用准对角矩

25、阵求幂例例210012(2, 1,2),1,.APQPQA AA 已知矩阵，其中，求矩阵例例120042010100,2?001ABPAPBA设,则例例101010.001nAA设,求例例101010.001nAA设,求例例(0,.TTAnAAE EnAAAAE设 是 阶矩阵，满足是 阶单位矩阵，是 的转置)，求例例0100502000,18060360 ,020070400abAacBABbc设则？例例AnEnEABEBA设 为 阶方阵， 为 阶单位矩阵，证明：若可逆，则也可逆.例例11111121 , *.113AA已知求例例100520021,.12001100AA已知求例例121100

26、0000,.000000innaaAaAaa已知其中0,求例例 1110002300,04500067.ABEAEAEB设且,求例例11111111,* *812 ,2111.AABAABEB已知若求矩阵例例2,101020 ,?201A BA BABEEAB设三阶方阵满足,其中 为三阶单位矩阵，若则例例1202,2040 ,202()?A BABAB BAE设三阶方阵满足,则例例2101202,001?ABABABAEB设,矩阵 满足则练练1 1(1,2,3),(1, ),.2 3TnAA 已知，求例例210012(2, 1,2),1,.APQPQA AA 已知矩阵，其中，求矩阵解解12 (

27、2, 1,2)1APQ 22AA2124242121(2, 1,2) 21QP 2100992AA例例120042010100,2?001ABPAPBA设,则2100010 ,001A200412004BPAP100212PAP1P EPE200423002030001BA解解例例101010.001nAA设,求2102010 ,001A解法一解法一数学归纳法数学归纳法3103010 ,001A10010 .001nnA由数学归纳法知例例101010.001nAA设,求解法二解法二A是初等矩阵是初等矩阵,nAE AA10010 .001nnA故En相当于对 施行 次初等列变换(把第一列加到第三

28、列)例例(0,.TTAnAAE EnAAAAE设 是 阶矩阵，满足是 阶单位矩阵，是 的转置)，求TAEAAATA EA10AEA解法二解法二TAEA右乘解法一解法一例例0100502000,18060360 ,020070400abAacBABbc设则？例例AnEnEABEBA设 为 阶方阵， 为 阶单位矩阵，证明：若可逆，则也可逆.证证()()C EABEAB CECABABCCE()()B ABC AB CE AEBCABABABCAE()()EBAEBCAE,EABC因为可逆，所以存在可逆矩阵使1()EBAEBCA故例例11111121 , *.113AA已知求解解1 *AAA11 AA51122110,11022A1521 *220.101A例例100520021,.12001100AA已知求112003311003312002500A解解例例1211000000,.000000innaaAaAaa已知其中0,求解解121000000000000nnaaAaa