2021年通用版小升初数学总复习同步拓展-第十九讲.行程问题(二)全国通用

1、行程问题 （二）【知识、方法梳理】行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。行 程问题的主要数量关系是：距离=速度时间。它大致分为以下三种情况：（1）相向而行 ：相遇时间 =距离速度和（2）相背而行 ：相背距离 =速度和时间。（3）同向而行 ：速度慢的在前，快的在后。追及时间 =追及距离速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离 =速度差时间。解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

2、【典例精讲】例题 1：一个游泳池长90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两人游10 分钟。已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米。在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？设甲的速度为a，乙的速度为b，a：b 的最简比为m ：n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若m n，且 m 、n 都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若 m n，且 m为奇数（或偶数）， n 为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m 1）次。甲速：乙速 =3：2，由于 32，且一奇数一偶数，一个周期内共相遇（ 2 31=）

3、5 次，共跑了 （3+2） 2=10 个全程。10 分钟两人合跑周期的个数为：60 10 90 （2+3）10=313（个）3 个周期相遇（5 3=）15（次）；13个周期相遇2 次。一共相遇： 15+2=17（次）答：二人相遇了17 次。练习 1：1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要 3 分钟，乙要3.2 分钟。两人下水后连续游了48 分钟，一共相遇了多少次？2、一游泳池道长100 米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15 分钟，甲每分钟游81 米，乙每分钟游89 米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？3、马路上有一辆

4、身长为15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时 18 千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲， 6 秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又经过了2 秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？例题 2：甲、乙两地相距60 千米。张明8 点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1 千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8 千米。张明经过多少时间到达乙地？因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这样我们可以求出两人合走60 千米所需的时间为60（1+0.8 ）=3313分钟。因此

5、，张明从甲地到乙地的时间列算式为60（1+0.8 ）2=6623（分钟）答：张明经过6623分钟到达乙地。练习 2：1、a、b两地相距90 千米。一辆汽车从a 地出发去b 地，前一半时间平均每小时行60 千米，后一半时间平均每小时行40 千米。这辆汽车经过多少时间可以到达b 地？2、甲、乙两人同时从a 点背向出发，沿400 米环行跑道行走。甲每分钟走80 米，乙蔑分钟走50 米。两人至少经过多少分钟才能在a 点相遇？3、在 300 米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5 米，乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？例题 3：一个游泳池长90 米。甲、乙二人

6、分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两人游10 分钟。已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米。在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？设甲的速度为a，乙的速度为b，a：b 的最简比为m ：n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若m n，且 m 、n 都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若 m n，且 m为奇数（或偶数）， n 为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m 1）次。甲速：乙速 =3：2，由于 32，且一奇数一偶数，一个周期内共相遇（ 2 31=）5 次，共跑了 （3+2） 2=10 个全程。10 分

7、钟两人合跑周期的个数为：60 10 90 （2+3）10=313（个）3 个周期相遇（5 3=）15（次）；13个周期相遇2 次。一共相遇： 15+2=17（次）答：二人相遇了17 次。练习 3：1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要 3 分钟，乙要3.2 分钟。两人下水后连续游了48 分钟，一共相遇了多少次？2、一游泳池道长100 米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15 分钟，甲每分钟游81 米，乙每分钟游89 米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？3、马路上有一辆身长为15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时

8、18 千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲， 6 秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又经过了2 秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？例题 4：客车和货车同时从a、b 两地相对开出。客车每小时行驶50 千米，货车的速度是客车的80%，相遇后客车继续行3.2 小时到达b 地。 a、b 两地相距多少千米？图35 13.2小时ab货车客车如图 35-1 所示，要求a、b 两地相距多少千米，先要求客、货车合行全程所需的时间。客车3.2 小时行了50 3.2=160 （千米），货车行160 千米所需的时间为：16

9、0（50 80% ）=4（小时）所以（ 50+50 80% ）4=360（千米）答： a、b两地相距360 千米。练习 4：1、甲、乙两车分别从a、b 两地同时出发相向而行，相遇点距中点320 米。已知甲的速度是乙的速度的56，甲每分钟行800 米。求 a、b 两地的路程。2、甲、乙两人分别从a、b 两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则 4 小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1 千米，则 5 小时相遇。那么a、b 两地的距离是多少千米？3、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲、乙的速度比是3：4。已知甲行了全程的13，离相遇地点还有20 千米，相遇时甲

10、比乙少行多少千米？例题 5：从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是4：5： 6。已知他上坡时的速度为每小时2.5 千米，路程全长为20 千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？要求从甲地走到乙地需多长时间，先求上坡时用的时间。上坡的路程为2011+2+3=103（千米），上坡的时间为103 2.5=43（小时），从甲地走到乙地所需的时间为：4344+5+6=5（小时）答：此人从甲地走到乙地需5 小时。练习 5：1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4。已知小亮走平

11、炉时的速度为每小时4.5 千米，他从甲地走到乙地共用了 5 小时。问：甲、乙两地相距多少千米？2、小明去登山，上午6 点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停了1 小时后按原路返回，中午11 点回到家。已知他走平路的速度为每小时4 千米，上坡速度为每小时3 千米，下坡速度为每小时6 千米。问：小明一共走了多少千米？3、青青从家到学校正好要翻一座小山，她上坡每分钟行50 米，下坡速度比上坡快40%，从就秒到学校的路程为2800 米，上学要用50 分钟。从学校回家要用多少时间？例题 6：甲、乙两人分别从a、b 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了

12、20%，乙的速度提高了30%。这样，当几b 地时，乙离a 地还有 14 千米。那么 a、 b 两地间的距离是多少千米？图35 3ba149份14千米把 a、b 两地的路程平均分成5 份，第一次相遇，甲走了3 份的路程，乙走了2 份的路程，当他们第一次相遇后，甲、乙的速度比为3（1+20% ） ：2 （1+30% ）=18 ：13。甲到达b 点还需行 2 份的路程，这时乙行了2 18 13=149份路程，从图35-3 可以看出14 千米对应（ 52149）份3（1+20% ） ：2 （1+30% ）=18 ：13 2 18 13=149（份）5（ 2+149）=159（份）14 159 5=45

13、（千米）答： a、b 两地间的距离是45 千米。练习 6：1、甲、乙两人步行的速度比是13：11，他们分别由a、b 两地同时出发相向而行，0.5 小时后相遇。如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？2、从 a地到 b地，甲要走2 小时，乙要走1 小时 40 分钟。若甲从a地出发 8 分钟后，乙从a地出发追甲。乙出发多久能追上甲？3、甲、乙两车分别从a、b两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20% ，乙的速度增加20% ，这样，当甲到达b地时，乙离a地还有 10 千米。那么， a、b两地相距多少千米？例题 7：甲、乙两班学生到离校24 千米的飞机场参观，一辆

14、汽车一次只能坐一个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知凉拌学生步行的速度相同，汽车的速度是步行的7 倍，汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学，才能使两班同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？图354甲乙131如图 35-4 所示，汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点，汽车所行路程应为乙班不行的7 倍，即比乙班学生多走6 倍，因此汽车单程比乙班步行多（6 2）=3（倍）。汽车返回与乙班相遇时，乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由此得出汽车送甲班学

15、生下车地点到几长的距离为学校到机场的距离的1/5 。列算式为 24（1+3+1）=4.8 （千米）答：汽车应在距飞机场4.8 千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场。练习 7：1、红星小学有80 名学生租了一辆40 座的车去还边观看日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离还边48 千米，汽车的速度是步行的9 倍。汽车应在距还边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达还边？2、一辆汽车把货物从甲地云往乙地往返只用了5 小时，去时所用的时间是回来的112倍，去时每小时比回来时慢17 千米。汽车往返共行了多少千米？3、甲、乙两人以同样的速度，同时从a、b两地

16、相向出发，内向遇后甲的速度提高了13，用212小时到达b地。乙的速度减少了16，再用多少小时可到达a地？例题 8：一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20% ，可以比原定时间提前1 小时到达；如果按原速行驶 120 千米后，再将速度提高25% ，则可提前40 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？此题是将行程、比例、百分数三种应用题综合在了一起。解题时，我们可先求出改车按原定速度到达乙地所需的时间，再求出甲、乙两地的路程。由车速提高20% 可知，现在速度与原来速度的比是（1+20% ）： 1=6：5，路程一定，所需时间比是速度比的反比。这样可算出原定时间为6 小时。按原速行驶120 千米后，速度提高25% 可知，现速与原速的比是（1+25% ）： 1=5：4，即所需时间比为4：5，可算出行驶120 千米后，还需23（54） 5=313（小时），这样120 千米占全程的（116313），即可算出甲、乙两地的距离。现速与原速的比：（1+20% ）： 1=6：5 原定行完全程的时间：1（65）6=6（小时）行 120 千米后，加快的速度与原速的比：（1+25% ）： 1=5：4 行 120 千米后，还需行走的时间：23（54）5=313（小时）甲、乙两地的距离：120（116 313）=270（千米）答：甲、乙两地的距离270 千米。练习 8：1、一辆车从甲地