2020考研数学一真题参考1999答案解析

1、1 2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题共 5个小题，每小题3分，满分 15分。把正确答案填写在题中横线上。) (1) 2011limtanxxxx(2) 20sin()xdxtdtdx(3) 24xyye的通解为y(4) 设n 阶矩阵a 的元素全为 1，则a 的n个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件a, b 和c 满足条件：1,( )()(),2abcp ap bp c9(),16p abc则()p a二、选择题 ( 本题共 5小题，每小题3分，满分 15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设(

2、 )f x是连续函数，( )f x是( )f x的原函数，则 ( ) (a) 当( )fx是奇函数时，( )f x必是偶函数。(b) 当( )fx是偶函数时，( )f x必是奇函数。(c) 当( )fx是周期函数时，( )f x必是周期函数。(d) 当( )fx是单调增函数时，( )f x必是单调增函数。(2) 设21cos,0( )( ),0 xxf xxx g xx其中( )g x是有界函数，则( )f x在0 x处 ( ) (a) 极限不存在 (b)极限存在，但不连续(c) 连续，但不可导 (d)可导(3) 设011,02( ),( )cos,1222 ,12nnxxaf xs xan

3、xxxx其中102( )cos,(0,1,2,),nafxn xdxn则52s等于 ( ) (a)12 (b)12 (c)34 (d)34(4) 设a 是mn矩阵，b 是nm矩阵，则(a) 当mn时，必有行列式ab0 (b)当mn时，必有行列式ab0(c) 当nm时，必有行列式ab0 (d)当nm时，必有行列式ab02 (5) 设两个相互独立的随机变量x 和y 分别服从正态分布n(0,1)和n(1,1)，则(a) 10.2p xy (b) 1p x+y1.2(c) 1p x-y0.2 (d) 1p x-y1.2三、 ( 本题满分 5分 ) 设( )yy x，( )zz x是由方程()zxf x

4、y和( , )f x y z=0所确定的函数， 其中f和f分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。四、 ( 本题满分 5分 ) 求sin()cos,xxlieyb xy dxeyax dy其中a,b 为正常数，l 为从点a2a,0沿曲线2y=2-ax x到点o(0,0)的弧 . 五、 ( 本题满分 6分) 设函数0y xx二阶可导，且0yx，01y. 过曲线yy x上任意一点,p x y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1s，区间0, x上以yy x为曲边的曲边梯形面积记为2s，并设122ss恒为1，求此曲线yy x的方程 . 六、 ( 本题满分 6

5、分 ) 试证：当0 x时，221 ln1.xxx七、 ( 本题满分 6分 ) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400n , 缆绳每米重50n，抓斗抓起的污泥重2000n，提升速度为3/m s, 在提升过程中，污泥以20/n s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？( 说明：111 ;nmj其中, ,m n s j分别表示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.) 八、 ( 本题满分 7分 ) 设s 为椭球面222122xyz的上半部分，点p( , , )x y zs

6、, 为s 在点p 处的切平面，( , , )x y z为点o(0,0,0)到平面的距离，求.( , )szdsx y z九、 ( 本题满分 7分 ) 3 设40tan,nnaxdx(1) 求211nnnaan的值；(2) 试证：对任意的常数0, 级数1nnan收敛十、 ( 本题满分 8分 ) 设矩阵153,10acabca其行列式1,a又a 的伴随矩阵*a有一个特征值0，属于0的一个特征向量为( 1, 1,1) ,t求, ,a b c和0的值 . 十一、 ( 本题满分 6分) 设a 为m 阶实对称矩阵且正定，b为mn实矩阵，tb为b的转置矩阵，试证：tb ab为正定矩阵的充分必要条件是b的秩r

7、 bn. 十二、 ( 本题满分 8分) 设随机变量x 与y 相互独立，下表列出了二维随机变量x,y联合分布律及关于x 和关于y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. y x 1y2y3yiip xxp1x182x18jjp yyp161 十三、 ( 本题满分 6分) 设总体x 的概率密度为36(),0( )0,xxxf x其他12,nxxx是取自总体x 的简单随机样本. (1) 求的矩估计量(2) 求的方差.d4 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 ( 本题共 5个小题，每小题3分，满分 15分. 把正确答案填写在题中横线上.) (1) 【答案】

8、1.3【分析】 利用0 x的等价变换和洛必达法则求函数极限.【详解】方法 1：22300011tantanlimlimtanlimtantanxxxxxxxxxxxxxxx220sec1lim3xxx洛220tanlim3xxx2201tanlim33xxxxx方法 2：222000111cossincoslimlimlimtansinsinxxxxxxxxxxxxxxx3200sincoscoscossinsinlimlim3xxxxxxxxxxxxx洛0sin1lim33xxx(2) 【答案】2sin x【分析】 欲求( , )badx t dtdx，唯一的办法是作变换，使含有( , )x

9、 t中的x“转移”到之外【详解】 令uxt，则dtdu，所以有0220sin()sinxxddxtdtududxdx220sinsinxdu duxdx(3) 【答案】22121,4xxyc ecx e其中12,cc为任意常数 . 【分析】 先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程40yy的特征方程为：240,解得122,2，故40yy的通解为22112,xxyc ec e由于非齐次项为2( ),xf xe因此原方程的特解可设为*2,xyaxe代入原方程可求得14a，故所求通解为*2211214xxyyyc ecx e(4) 【详解】因为5 ea11.111

10、.1.11.1( 对应元素相减) 两边取行列式，1.1ea1.1nnnn把第 ， ， 列加到第 列11.1111.1().11.1n提取第 列的公因子2111 .10.031().00.1nn行行行行行行-1()nn令-1()0nean，得12(10(1)nn重)，重)，故矩阵a的n个特征值是n和0(-1)n重) (5) 【答案】1 4【详解】根据加法公式有()()( )()()()()()p abcp ap bp cp acp abp bcp abc因为( )( )()p ap bp c，设()()()p ap bp cp由于,a b c两两相互独立，所

11、以有2()( )( )p abp a p bppp，2()( )()p acp a p cppp，2()( )()p bcp b p cppp，又由于abc，因此有()()0,p abcp所以()()( )()()()()()p abcp ap bp cp acp abp bcp abc2220pppppp233pp又9()16p abc，从而29()3316p abcpp，则有2933016pp23016pp，解得3144p或p6 因1()( )()2p ap bp cp，故14p，即1()4p a二、选择题(1) 【答案】 ( a ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.

12、( )f x的原函数( )f x可以表示为0( )( ),xf xf t dtc于是00()( )().utxxfxf t dtcfu duc当( )f x为奇函数时，()( )fuf u，从而有00()( )( )( )xxfxf u ducf t dtcf x即f(x)为偶函数 . 故(a) 为正确选项 . (b) 、(c) 、(d) 可分别举反例如下：2( )f xx是偶函数，但其原函数31( )13f xx不是奇函数，可排除(b) ；2( )cosf xx是周期函数， 但其原函数11( )sin224f xxx不是周期函数， 可排除 (c) ；( )f xx在区间(,)内是单调增函数，

13、但其原函数21( )2f xx在区间(,)内非单调增函数，可排除(d). (2) 【答案】 ( d ) 【详解】 由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001( )(0)1cos2(0)limlimlim0,0 xxxxf xfxfxxxxx2000( )(0)( )(0)limlimlim( )0,0 xxxf xfx g xfxg xxx从而，(0)f存在，且(0)0f，故正确选项为(d). (3) 【答案】 ( c ) 【详解】由题设知，应先将( )f x从0,1) 作偶延拓，使之成为区间 - 1,1 上的偶函数，然后再作周期 ( 周期 2) 延拓，进一步展开为

14、傅里叶级数，7 5111()( 2)()()2222ssss而12x是( )f x的间断点，按狄利克雷定理有，111(0)(0)113222( ).2224ffs(4) 【答案】 b 【详解】方法 1：a是mn矩阵，b是nm矩阵，则ab是m阶方阵，因()min( ), ( )min,r abr a r bm n. 当mn时，有()min (), ()r abr ar bnm. ()0ab x的系数矩阵的秩小于未知数的个数 ) ，故有行列式0ab，故应选 (b). 方法2：b是nm矩阵 , 当mn时 , 则()r bn ( 系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组0bx必有非零解，即存在00 x

15、，使得00bx，两边左乘a，得00abx，即0abx有非零解，从而0ab，故选 (b). 方法 3： 用排除法(a)mn，取1,00 ,0m nn mab0000ab，0ab，(a) 不成立(c)nm，取010 ,1m nn mab0ab，0ab，(c) 不成立(d)nm，取110 ,0m nn mab1ab，1ab，(d) 不成立，故选 (b).(5) 【答案】 b 【详解】根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布. 因xy和相互独立，且(0,1)xn，(1,1)yn，所以2111(,)txyn u, 2222(,)txyn u其中1()ue xy，21()d

16、xy，2()ue xy，22()d xy由期望的性质：1()()011e te xyexey，2()()011e te xyexey由独立随机变量方差的性质：1()()112d td xydxdy8 2()()1 12d td xydxdy所以1(1,2)txyn，2( 1,2)txyn( 一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发 ) a选项：10.2p xy因1(1,2)txyn由标准化的定义：若2( ,)xn u，则(0,1)xun所以，1(0,1)2xyn，将其标准化有1011102222xyxyp xypp( 保证变换过程中概率不变，所以不等号

17、的左边怎么变，右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于y轴对称，所以11022xyp，而111222xyp，所以 a错. b选项：11.2p xy将其标准化有：11 11102222xyxypp( 根据标准正态分布的对称性) 故b正确 . c选项：10.2p xy将其标准化有：( 1)0( 1)11122222xyxypp，故 c错. d选项：11.2p xy将其标准化有：( 1)1( 1)121p22222xyxyp，故 d错. 三【详解】分别在()zxf xy和( , , )0f x y z的两端对x求导数，得9 ( , )1( , )0 xyzdzdyf x yxfx ydxdx

18、dydzfffdxdx整理后得( , )( ,)( ,)yzxdydzxfx yf x yxfx ydxdxdydzfffdxdx解此方程组，得(),(0)1yxyzyzyzyzxffxffffxffxf fdzfxf fxfdxfxf fff四【详解】方法 1：凑成闭合曲线，应用格林公式. 添加从点(0,0)o沿0y到点2a,0a的有向直线段1l, 如图，则1sin()cosxxllieyb xy dxeyax dy1sin()cosxxleyb xy dxeyax dy利用格林公式，前一积分21()()2ddqpidxdyba dxdya baxy其中d为1l+l所围成的半圆域，后一积分选

19、择x为参数，得1l: , 02,0 xxxay可直接积分2220()2aibx dxa b，故23122.22iiia ba方法 2： 将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算. sin()cosxxlieyb xy dxeyax dysincos()xxlleydxeydyb xy dxaxdy前一积分与路径无关，所以10 (0,0)(2,0)sincossin0 xxxaleydxeydyey对后一积分，取l的参数方程cossinxaatyat，则sincosdxatdtdyatdt，t从0到，得()lb xy dxaxdy22223320(sinsin

20、 cossincoscos)a bta btta btatat dt22311222a ba ba从而22323110( 2)22222ia ba baa ba五【详解】如图，曲线( )yy x上点( , )p x y处的切线方程为( )( )()yy xy xxx所以切线与x轴的交点为,0yxy由于( )0,(0)1,yxy因此( )0y x(0)x于是211.22 yysy xxyy又20( )xsy t dt，根据题设1221,ss即202( )1,2 xyy t dty两边对x求导并化简得2yyy这是可降阶得二阶常微分方程，令,py则dpdp dydpypdxdy dxdy，则上述方程

21、可化为2,dpyppdy分离变量得dpdypy，解得1,pc y即1,dyc ydx从而有12xyc ec，根据(0)1, (0)1,yy可得121,0,cc故所求曲线得方程为xye六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法 1：令22( )1 ln1.f xxxx易知(1)0f又1( )2 ln2,(1)0fxxxxfx11 21( )2ln1,(1)20fxxfx232(1)( )xfxx可见，当01x时，( )0( )fxfx；当1x时，( )0( )fxfx因此，(1)2f为( )fx的最小值，即当0 x时，( )(1)20fxf，所以( )fx为单调增函数. 又因为(1)0f，所以有

22、01x时( )0fx；1x时( )0fx，所以利用函数单调性可知，1f （ ）为( )f x的最小值，即( )(1)0fxf所以有0 x时，221 ln1.xxx证法 2：先对要证的不等式作适当变形，当1x时，原不等式显然成立；当01x时，原不等式等价于1ln;1xxx当1x时，原不等式等价于1ln;1xxx令1( )ln1xf xxx则222121( )0011xfxxxxx x又因为(1)0,f利用函数单调性可知当01x时，( )0,fx即1ln;1xxx当1x时，( )0,f x即1ln;1xxx综上所述，当0 x时，221 ln1.xxx七【详解】建立坐标轴如图所示，解法 1：将抓起污

23、泥的抓斗提升至井口需做功123wwww，其中1w是克服抓斗自重所作的功；2w是克服缆绳重力作的功；3w为提出污泥所作的功. 由题意.wnmj将抓斗由x处提升到xdx处，克服缆绳重力所作的功为2dw= 缆绳每米重缆绳长提升高度50(30),x dx12 从而302050(30)22500 .wx dxj在时间间隔 ,t tdt内提升污泥需做功为3(3)dwdt原始污泥重漏掉污泥重）提升高度(200020 )3tdt将污泥从井底提升至井口共需时间3010 ,3/msm s所以10303(200020 )57000 .wt dtj因此，共需做功123120002250057

24、000)91500wwwwjj（解法 2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为w，当抓斗运动到x处时，作用力( )f x包括抓斗的自重400n , 缆绳的重力50(30)x n， 污泥的重力(200020),3xn即20170( )40050(30)20003900,33f xxxx于是30230001708539003900117000245009150033wx dxxxj八【 分析】先写出切平面方程，然后求( , , )x y z，最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点( , , )p x y zs，s在点p处的法向量为, ,2nx yz，设(,)x y z为上任意一点，则的方程为()

25、()2 ()0 x xxy yyz zz，化简得122xyxyzz由点到平面的公式，(0,0,0)o到的距离1222222222222( , , )44()()22xyxyz zaxbyczxyx y zzxyabcz从而222( , , )44sszxydszz dsx y z用投影法计算此第一类曲面积分，将s投影到xoy平面，其投影域为22( , ) |2dx yxy由曲面方程知221,( , ),22xyzx yd于是13 2222,2 12 12222zxzyxyxyxy因此222222412 122xyzzdsddxyxy故有222( , , )44sszxydszz dsx y z

26、2222200114(4)44dxyddrrdr极坐标3.2九【详解】 (1) 因为2244200111tan(1tan)tansecnnnnaaxx dxxxdxnnntan1400111tantan(1)x tnnxdxt dtnnn n又由部分和数列211111111()1,(1)11nnnniiiiisaaii iiin有lim1,nns因此2111.nnnaan(2) 先估计na的值，因为40tannnaxdx，令tantx，则2secdtxdx，即21dtdxt所以112001,11nnntat dttn所以111,(1)nannnn由于10，所以111nn收敛，从而1nnan也收

27、敛 . 十【 详解 】根据题设，*a有一个特征值0，属于0的一个特征向量为( 1, 1,1) ,t根据14 特征值和特征向量的概念，有*0,a把1a代入*aaa e中，得*,aaa ee则*aae. 把*0a代入，于是*00,aaaa即0a也即011153111011acbca，011531(1)1acbca常数0乘以矩阵153(1)acbca，需用0乘以矩阵的每一个元素00001(1)153( 53)1(1) (1)1acacbbcaca矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得000(1)1(1)( 53)1(2)( 1)1acbca因10a，a的特征值0，*a的特征值*0a，故00由(1),

28、(3)两式得00(1)( 1)acca，两边同除0，得1( 1)acca整理得ac，代入 (1) 中，得01. 再把01代入 (2) 中得3b又由1a，3b以及ac，有153310aaaaa131533110aa行行121523100aaa列列3 113( 1)23aa按第 行展开( 其中3 1( 1)的指数 3，1分别是 1的行数和列数) 3(1)2aa31a故2,ac因此02,3,2,1.abc15 十一 【详解】“必要性” . 设tb ab为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量0 x，有0,ttxb ab x即0,tbxa bx于是，0bx，即对任意的实n维列向量0 x，都有0bx

29、. (若0bx，则()00a bxa矛盾 ). 因此，0bx只有零解，故有r bn(0bx有唯一零解的充要条件是r bn). “充分性” . 因a为m阶实对称矩阵，则taa，故,tttttb abb a bb ab根据实对称矩阵的定义知tb ab也为实对称矩阵. 若r bn，则线性方程组0bx只有零解，从而对任意的实n维列向量0 x，有0bx. 又a为正定矩阵，所以对于0bx有0,tttbxa bxxb ab x故tb ab为正定矩阵 (对任意的实n维列向量0 x，有0ttxb ab x). 十二【 详解 】离散型随机变量边缘分布律的定义：,1,2,iiijijjjpp xxp xx yyp

30、i,1,2,jjijijiipp yyp xx yypj( 通俗点说就是在求关于x的边缘分布时，就把对应x的所有y都加起来，同理求关于y的边缘分布时，就把对应y的所有x都加起来 ) 故1111,iiiip yypp xx yyp即11121,p yyp xx yyp xx yy而由表知116p yy，211,8p xx yy，所以11121111,6824p xx yyp yyp xx yy又根据xy和相互独立，则有：,ijijp xx yyp xxp yy即ijijpp p因111,24p xx yy，116p yy，而1111,p xx yyp xxp yy所以11111,124146p xx yyp xxp yy16 再由边缘分布的定